《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.4 正態(tài)分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.4 正態(tài)分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
2.4 正態(tài)分布
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.利用實際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小.3.會用正態(tài)分布去解決實際問題．
知識點一 正態(tài)曲線
思考 函數(shù)f(x)＝，x∈R的圖象如圖所示．試確定函數(shù)f(x)的解析式．
答案 由圖可知，該曲線關(guān)于直線x＝72對稱，最大值為，由函數(shù)表達(dá)式可知，函數(shù)圖象的對稱軸為x＝μ，
∴μ＝72，且＝，∴σ＝10.
∴f(x)＝(x∈R)．
梳理 (1)正態(tài)曲線
函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ，σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)
①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；
③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
④曲線與x軸之間的面積為1；
⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；
⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體的分布越集中，如圖乙所示：
知識點二 正態(tài)分布
一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a
5)．
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 正態(tài)分布下的概率計算
解 因為X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－15)＝P(X≤－3)
＝[1－P(－3c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xμ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解．
跟蹤訓(xùn)練2 已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于( )
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 正態(tài)分布下的概率計算
答案 C
解析 ∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，對稱軸是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故選C.
類型三 正態(tài)分布的應(yīng)用
例3 有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布N(20,4)．若這批零件共有5 000個，試求：
(1)這批零件中尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比；
(2)若規(guī)定尺寸在24～26 mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個？
考點 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
解 (1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，
μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm間的零件所占的百分比大約是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26 mm間的零件所占的百分比大約是＝2.15%.
因此尺寸在24～26 mm間的零件大約有5 0002.15%≈108(個)．
反思與感悟 解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，其關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時應(yīng)熟練掌握正態(tài)分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率，在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結(jié)合思想．
跟蹤訓(xùn)練3 在某次考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)已知該班同學(xué)成績在80～85分的有17人，該班同學(xué)成績在90分以上的有多少人？
考點 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
解 ∵成績服從正態(tài)分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
∴成績在(75,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%，成績在(80,85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.13%，設(shè)該班有x人，則x34.13%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成績在(70,90]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%，成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.28%，即有502.28%≈1(人)，即成績在90分以上的僅有1人．
1．設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有( )
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
考點 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念
題點 正態(tài)曲線
答案 A
解析 根據(jù)正態(tài)曲線的特點：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)曲線：當(dāng)μ一定時，σ越大，曲線的最高點越低且較平穩(wěn)，反過來，σ越小，曲線的最高點越高且較陡峭．故選A.
2．正態(tài)分布N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關(guān)系為( )
A．P1＝P2 B．P1＜P2
C．P1＞P2 D．不確定
考點 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念
題點 正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用
答案 A
解析 根據(jù)正態(tài)曲線的特點，圖象關(guān)于x＝0對稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．
3．設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0無實數(shù)根的概率為，則μ等于( )
A．1 B．2
C．4 D．不能確定
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 C
解析 因為方程x2＋4x＋ξ＝0無實數(shù)根的概率為，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4.
4．已知服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]和(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)取值的概率分別為68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年級1 000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152)，則此次考試成績在區(qū)間(60,120]內(nèi)的學(xué)生大約有( )
A．997人 B．972人 C．954人 D．683人
考點 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
答案 C
解析 依題意可知μ＝90，σ＝15，故P(60c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xμ＋a)，
若b<μ，則P(X<μ－b)＝.
一、選擇題
1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝，則這個正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是( )
A．10與8 B．10與2
C．8與10 D．2與10
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 求正態(tài)分布的均值或方差
答案 B
解析 由正態(tài)密度函數(shù)的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.
2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ≤4)＝0.84，則P(ξ≤0)等于( )
A．0.16 B．0.32
C．0.68 D．0.84
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 正態(tài)分布下的概率計算
答案 A
解析 ∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，∴μ＝2，
∵P(ξ≤4)＝0.84，
∴P(ξ≥4)＝1－0.84＝0.16，
∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16.
3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6]內(nèi)的概率為( )(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
考點 正態(tài)分布的概念及性質(zhì)
題點 正態(tài)分布下的概率計算
答案 B
解析 由正態(tài)分布的概率公式，知P(－3<ξ≤3)＝0.682 6，P(－6<ξ≤6)＝0.954 4，
故P(3<ξ≤6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故選B.
4.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為( )(附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4)
A．2 386 B．2 718 C．4 772 D．3 413
考點 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
答案 D
解析 由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，
∴P(0≤X≤1)＝0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.
∴落在陰影部分的點的個數(shù)x的估計值為＝，∴x＝10 0000.341 3＝3 413，故選D.
5．設(shè)X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是( )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)>P(Y≤t)
D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)>P(Y≥t)
考點 正態(tài)分布密度函數(shù)的概念
題點 正態(tài)曲線
答案 C
解析 由題圖可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B錯；
當(dāng)t為任意正數(shù)時，由題圖可知P(X≤t)>P(Y≤t)，
而P(X≤t)＝1－P(X≥t)，P(Y≤t)＝1－P(Y≥t)，
∴P(X≥t)96)，
所以P(X≤64)＝(1－0.954 4)
＝0.045 6＝0.022 8.
所以P(X>64)＝0.977 2.
又P(X≤72)＝[1－P(7272)＝0.841 3，
P(6464)－P(X>72)
＝0.135 9.
13．某人騎自行車上班，第一條路線較短但擁擠，到達(dá)時間X(分鐘)服從正態(tài)分布N(5,1)；第二條路線較長不擁擠，X服從正態(tài)分布N(6,0.16)．若有一天他出發(fā)時離點名時間還有7分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？若離點名時間還有6.5分鐘，問他應(yīng)選哪一條路線？
考點 正態(tài)分布的應(yīng)用
題點 正態(tài)分布的實際應(yīng)用
解 還有7分鐘時：
若選第一條路線，即X～N(5,1)，能及時到達(dá)的概率
P1＝P(X≤7)
＝P(X≤5)＋P(5
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2018-2019版高中數(shù)學(xué)
第二章
隨機(jī)變量及其分布
2.4
正態(tài)分布學(xué)案
新人教A版選修2-3
2018
2019
高中數(shù)學(xué)
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