新版高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式學案 理 北師大版

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2、 1 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． (對應學生用書第49頁) [基礎知識填充] 1．同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數(shù)關系

3、：tan α＝. 2．誘導公式 組序 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變 符號看象限 記憶規(guī)律 奇變偶不變，符號看象限 [知識拓展]　1.誘導公式的兩個應用：(1)求值：負化正，大化小，化到銳

4、角為終了． (2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了． 2．“1”代換sin2α＋cos2α＝1. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，則tan α＝恒成立．(　　) (3)sin(π＋α)＝－sin α成立的條件是α為銳角．(　　) (4)誘導公式的記憶口訣中“奇變偶不變，符號看象限”，其中的“奇、偶”是指的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍，“變與不變”指函數(shù)名稱是否變化．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知α是第

5、二象限角，sin α＝，則cos α等于(　　) A．－　 B．－　　　C．　　　D． B　[∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－＝－.] 3．cos－sin＝________. 　[cos－sin＝cos＋sin＝cos＋sin ＝cos ＋sin ＝＋＝.] 4．已知tan α＝2，則的值為________． 　[∵tan α＝2， ∴＝＝＝.] 5．已知sin＝，α∈，則sin(π＋α)＝________. －　[因為sin＝cos α＝，α∈，所以sin α＝＝，所以sin(π＋α)＝－sin α＝－.] (對應學生用書第50頁) 同角

6、三角函數(shù)基本關系式的應用 　(1)已知sin αcos α＝，且＜α＜，則cos α－sin α的值為(　　) A．－　 B． C．－ D． (2)(20xx·全國卷Ⅲ)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A． B． C．1 D． (1)B　(2)A　[(1)∵＜α＜， ∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α， ∴cos α－sin α＞0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. (2)∵tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝，故選A．]

7、[規(guī)律方法]　同角三角函數(shù)關系式及變形公式的應用方法 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化. (2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. (3)注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. [跟蹤訓練]　(1)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α的值等于(　　) 【導學號：7914010

8、5】 A． B．－ C． D．－ (2)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，則sin θ－cos θ的值為(　　) A． B．－ C． D．－ (1)D　(2)B　[(1)法一：因為α為第四象限的角，故cos α＝＝＝， 所以tan α＝＝＝－. 法二：因為α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的終邊上取一點P(12，－5)，則tan α＝＝－.故選D． (2)因為(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，則(sin θ－cos θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin θ

9、·cos θ＝1－2sin θcos θ＝.又因為θ∈，所以sin θ＜cos θ， 即sin θ－cos θ＜0， 所以sin θ－cos θ＝－.] 誘導公式的應用 　(1)化簡sin(－1 071°)sin 99°＋sin (－171°)·sin(－261°)的結果為(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 (2)已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1} C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2} (1)C　(2)C　[(1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·

10、sin 261° ＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0. (2)當k為偶數(shù)時，A＝＋＝2； k為奇數(shù)時，A＝－＝－2.] [規(guī)律方法]　利用誘導公式的方法與步驟 (1)方法：利用誘導公式應注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關系，尤其是角之間的互余、互補關系，選擇恰當?shù)墓?，向所求角和三角函?shù)進行化歸． (2)步驟： 易錯警示：利用誘導公式的關鍵是符號問題． [跟蹤訓練]　(1)(20xx·南昌一模)(1)若sin＝，則cos＝_____

11、___. (2)計算：＝________. (1)　(2)－1　[cos＝cos＝sin＝. (2)原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1.] 同角關系式與誘導公式的綜合應用 　(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. (2)(20xx·鄭州質檢)已知cos＝2sin，則的值為________. 【導學號：79140106】 (1)－　(2)　[(1)由題意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝. tan＝tan＝－ ＝－＝－＝－. (2)∵cos＝2sin， ∴－sin α＝－2cos α，

12、則sin α＝2cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝. ＝ ＝＝cos2α－＝.] [規(guī)律方法]　三角函數(shù)求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝進行弦切互化. (2)和積轉換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關系進行變形、轉化. (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan等. (4)利用相關角的互補、互余等特殊關系可簡化解題步驟. [跟蹤訓練]　(1)已知sin α＝，α是第二象限角，則tan(π－α)＝________. (2)(20xx·湖北調考)已知tan＝5，則＝(　　) A． B．－ C．± D．－ (1)　(2)B　[(1)∵sin α＝，α是第二象限角， ∴cos α＝－， ∴tan α＝－，故tan(π－α)＝－tan α＝. (2)∵tan＝＝＝－＝5，∴tan x＝－，∴＝＝＝－，故選B．]