2018-2019學年高中數(shù)學 第1章 立體幾何初步 1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.2 空間幾何體的體積課時作業(yè) 蘇教版必修2.doc

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1.3.2 空間幾何體的體積 [學業(yè)水平訓練] 1.如圖，ABC-A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C-AA′B′B的體積是________． 解析：設(shè)此三棱柱ABC-A′B′C′的高為h，底面△ABC的面積為S，則其體積為V＝Sh＝1，又VC-A′B′C′＝Sh＝. ∴VC-AA′B′B＝V－VC-A′B′C′＝1－＝. 答案： 2．側(cè)面是正三角形的正三棱錐，體積是，則其表面積為________． 解析：設(shè)正三棱錐的棱長為a，則其高h＝ ＝a，所以V＝a2a＝a3.由a3＝，解得a＝2.所以S表＝4a2＝a2＝4. 答案：4 3．如果一個圓柱、一個圓錐的底面直徑和高都等于一個球的直徑，則圓柱、球、圓錐的體積之比為________． 解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱、圓錐的高均為2R， ∴V圓柱＝πR22R＝2πR3，V圓錐＝πR22R＝R3，V球＝πR3，∴V圓柱∶V球∶V圓錐＝3∶2∶1. 答案：3∶2∶1 4．若一圓臺的上、下底面圓半徑之比為1∶2，體積為7π，高為1，則此圓臺的側(cè)面積為________． 解析：由圓臺體積公式可求得上、下底面圓半徑分別為和2，由此易得母線長為2.由圓臺側(cè)面積公式得S圓臺側(cè)＝π(＋2)2＝6π. 答案：6π 5．圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑是10 cm，有一個實心鐵球浸沒于容器的水中，若取出這個鐵球，測得容器的水面下降了 cm，則這個鐵球的表面積為________cm2. 解析：設(shè)該鐵球的半徑為r cm，則由題意得πr3＝π102，解得r3＝53，∴r＝5 cm， ∴這個鐵球的表面積S＝4π52＝100π(cm2)． 答案：100π 6.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為V1、V2的兩部分，那么V1∶V2＝________. 解析：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh. ∵E、F分別為AB、AC的中點， ∴S△AEF＝S， V1＝h(S＋S＋ )＝Sh， V2＝Sh－V1＝Sh，∴V1∶V2＝7∶5. 答案：7∶5 7．正四棱柱的體對角線長為3 cm，它的表面積為16 cm2，求它的體積． 解：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a cm，高為h cm， 則解得或 所以V正四棱柱＝a2h＝41＝4(cm3)或V正四棱柱＝a2h＝()2＝(cm3)． 8.如圖所示的圖形是一個底面直徑為20 cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6 cm，高為20 cm的圓錐體鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降多少厘米？ 解：因為玻璃杯是圓柱形，所以鉛錘取出后，水面下降部分的體積實際是一個小圓柱的體積，這個圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20 cm的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個小圓柱的高就是水面下降的高度． 因為圓錐形鉛錘的體積為 π()220＝60π(cm3)． 設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為π(202)2x＝100πx(cm3)． 所以60π＝100πx， 解得x＝0.6 cm. 則鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6 cm. [高考水平訓練] 1．設(shè)三棱柱ABC－A1B1C1為正三棱柱，底面邊長及側(cè)棱長均為a，E，F(xiàn)分別是AA1，CC1的中點，則幾何體B－EFB1的體積為________． 解析：取BB1的中點D，連結(jié)DE，DF，則△DEF≌△BAC， ∴三棱錐B－EFB1可分為兩個體積相等的三棱錐B1－DEF和B－DEF. ∴VB－EFB1＝VB－DEF＋VB1－DEF ＝S△DEF(B1D＋BD) ＝S△ABCBB1＝a2a＝a3. 答案：a3 2．如圖，一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使球浸入水中且水面恰好與鐵球頂部相切．將球取出后，容器內(nèi)的水深是________． 解析：鐵球取出后，容器內(nèi)水的體積不變，設(shè)球被取出后容器內(nèi)水深為h. ∵△ABC是正三角形，O為△ABC的中心， ∴AO1＝3OM＝3r，注水后圓錐的底面半徑O1C＝r，球取出后的圓錐底面半徑為h. 由題意，πr3＋π(h)2h＝π(r)23r， 解得h＝r. 答案：r 3．如圖，在邊長為a的正方形中，剪下一個扇形和一個圓，分別作為一個圓錐的側(cè)面和底，求此圓錐的體積． 解：設(shè)圓的半徑為r，扇形的半徑為x，則＝2πx＝πx. 又∵＝2πr，∴πx＝2πr. ∴x＝4r，AC＝x＋r＋r. ∴(5＋)r＝a，∴r＝()a. 又∵圓錐的高h＝＝r， ∴圓錐體積V＝πr2h ＝πa3. 4．如圖所示的△OAB繞x軸和y軸各旋轉(zhuǎn)一周，各自會產(chǎn)生怎樣的幾何體，分別計算其表面積與體積． 解：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體是一個上、下底面半徑分別為2,3，高為3的圓臺，挖去了一個底面半徑為3，高為3的圓錐，如圖(1)所示．其表面積是圓臺的半徑為2的底面積、圓臺的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積之和． 圓臺的母線長是，圓錐的母線長是3，故表面積 S1＝π22＋π(2＋3)＋π33＝(4＋5＋9)π； 體積為V1＝π(22＋32＋23)3－π323＝π(4＋9＋6－9)＝10π. 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體是一個大圓錐挖去了一個小圓錐，如圖(2)所示， 此時大圓錐的底面半徑為3，母線長為3，高為3，小圓錐的底面半徑為3，母線長為，高為1，這個空間幾何體的表面積是這兩個圓錐的側(cè)面積之和， 故表面積S2＝π33＋π3＝(9＋3)π； 體積為V2＝π323－π321＝9π－3π＝6π. 綜上可知，繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積是 (4＋5＋9)π，體積是10π；繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積是(9＋3)π，體積是6π.