2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題27 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義.doc

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專題27 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義 【熱點聚焦與擴展】 平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)． 1、向量的投影： （1）有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果實數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時，，當(dāng)與軸反向時，，則稱為軸上有向線段的值. （2）點在直線上的投影：若點在直線外，則過作于，則稱為在直線上的投影；若點在直線上，則在在直線上的投影與重合.所以說，投影往往伴隨著垂直. （3）向量的投影：已知向量，若的起點在所在軸（與同向）上的投影分別為，則向量在軸上的值稱為在上的投影，向量稱為在上的投影向量. 2、向量的投影與向量夾角的關(guān)系：通過作圖可以觀察到，向量的夾角將決定投影的符號，記為向量的夾角 （1）為銳角：則投影（無論是在上的投影還是在上的投影）均為正 （2）為直角：則投影為零 （3）為鈍角：則投影為負(fù) 3、投影的計算公式：以在上的投影為例，通過構(gòu)造直角三角形可以發(fā)現(xiàn) （1）當(dāng)為銳角時，，因為，所以 （2）當(dāng)為銳角時，，因為，所以即 （3）當(dāng)為直角時，，而，所以也符合 綜上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角 4、數(shù)量積與投影的關(guān)系（數(shù)量積的幾何定義）： 向量數(shù)量積公式為，可變形為或，進而與向量投影找到聯(lián)系 （1）數(shù)量積的投影定義：向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影，即（記為在上的投影） （2）投影的計算公式：由數(shù)量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數(shù)量積和模長進行求解： 即數(shù)量積除以被投影向量的模長 5、數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題 （1）圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影），例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點） （2）從模長角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個模長是定值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大最小的問題 【經(jīng)典例題】 例1.【2018屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】設(shè)向量， 滿足， ，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 設(shè)向量和向量的夾角為， 則向量在向量方向上的投影為．選D． 例2.【2018屆福建省閩侯縣第八中學(xué)高三上期末】已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 例3.【2018屆云南省曲靖市第一中學(xué)高三上監(jiān)測卷（四）】已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為（ ）x.kw A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵單位向量與的夾角為 ∴ ∴， ∴ 向量在向量方向上的投影為： ，故選A. 例4.設(shè)， ， ，且，則在上的投影的取值范圍( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可知 當(dāng) 故當(dāng)時， 取得最小值為，即 當(dāng)時， ，即 綜上所述 故答案選 點睛：由已知求得及，代入投影公式，對分類后利用二次函數(shù)求最值，在分類討論時需要討論完整，不要漏掉哪種情況，討論完可以檢查下是否把整個實數(shù)全部取完. 例5.如圖，菱形的邊長為為中點，若為菱形內(nèi)任意一點（含邊界），則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 答案D. 【名師點睛】（1）從本例也可以看出投影計算數(shù)量積的一個妙用，即在求數(shù)量積最值時，如果其中一個向量位置確定，那么只需看另一向量在該向量處的投影即可，這種方法往往能夠迅速找到取得最值的情況 （2）在找到取到最值的點位置后，發(fā)現(xiàn)利用投影計算數(shù)量積并不方便（投影，不便于計算），則要靈活利用其他方法把數(shù)量積計算出來（尋求基底，建系等）.正所謂：尋找最值用投影，而計算時卻有更多方法供選擇. 例6.【2018屆衡水金卷四】已知平面向量a,b，a=7,b=4，且a+b=6，則a在b方向上的投影是__________． 【答案】138 點睛：本題的核心問題是計算數(shù)量積，求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用． 例7．【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三第十四次考】若非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=2|b|=2，則a-b在b方向上的投影為__________． 【答案】-1 【解析】分析：先求出|a|、|b|和a與b的夾角，然后根據(jù)投影的定義求解． 詳解：將a+b=a-b兩邊平方整理得a?b=0， ∴a⊥b． 將|a-b|=2|b|兩邊平方整理得|a|=3． 又2b=2，故|b|=1． 設(shè)向量a-b與b的夾角為θ， 則a-b在b方向上的投影為|a-b|cosθ=|a-b|?(a-b)?b|a-b|?|b|=(a-b)?b|b| =a?b-b2|b|=-1． 點睛：解答本題的關(guān)鍵是正確掌握一個向量在另一個向量方向上的投影的定義，利用定義可將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算．另外，數(shù)量積的幾何意義是計算數(shù)量積的一種重要方法． 例8．已知點在橢圓上，點滿足（）（是坐標(biāo)原點），且，則線段在軸上的設(shè)影長度的最大值為__________． 【答案】15 【解析】∵， 則線段OP在x軸上的投影長度為 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立． ∴線段OP在x軸上的投影長度的最大值為15. 答案：15 例9.【2018屆河北省衡水中學(xué)高三第十次模擬】若平面向量， 滿足，則在方向上投影的最大值是________． 【答案】 【解析】由可得： ∴ 在方向上投影為 故最大值為： 例10.【2018屆河南省中原名校高三上第一次考評】已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點，則AP （AB＋AC）＝_________． 【答案】6 【解析】設(shè)BC的中點為D，則AD⊥BC， 【精選精練】 1．【2018屆山東省淄博市部分學(xué)校高三12月摸底】已知向量，則向量在向量上的投影是 A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】D 【解析】向量在向量上的投影是 ,選D. 2.【2018屆河南省商丘市高三第二次模擬】已知平面向量，且，則在上的投影為（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】因為，所以所以 所以所以在上的投影為 故選A. 3．【2018屆河北省武邑中學(xué)高三上學(xué)期期末】已知點，則向量在方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， ，向量在方向上的投影為，故選A． 4．【2018屆貴州省遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】已知向量的夾角為60，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 5．【2018屆江西省南昌市高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練】已知向量， 滿足，且，則向量 在方向上的投影為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由=（1，2），可得||=， ?（+）=2，可得?+=2， ∴=﹣3，∴向量在方向上的投影為. 故答案為：D. 6.已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且，則向量在向量方向上的投影為( ) A. 3 B. C. -3 D. 【答案】B 【解析】△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為2,且， 本題選擇B選項. 7．【2018屆河南省鄭州市第一中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)】的外接圓的圓心為，半徑為1， ，且，則向量在向量方向上的投影為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意可得： ，即： , 即外接圓的圓心為邊的中點，則是以為斜邊的直角三角形， 結(jié)合有： ， 則向量在向量方向上的投影為. 本題選擇D選項. 8.【2018屆湖南省（長郡中學(xué)、衡陽八中）、江西?。喜校┑仁男８呷诙温?lián)考】已知向量， 滿足， ， ，則向量在向量上的投影為__________． 【答案】 9．【2018屆廣西桂林、賀州、崇左三市高三第二次聯(lián)合調(diào)研】已知向量， 的夾角為，且， ，則向量在向量方向上的投影為__________． 【答案】 【解析】投影為. 10．【2018屆衡水金卷一】已知向量，若向量與共線，則向量在向量放向上的投影為__________． 【答案】0 【解析】向量， ，向量，∵向量與共線，∴，即，∴向量，∴向量在向量方向上的投影為，故答案為0. 11．已知向量a=-1,2，b=m,1，若向量a在b方向上的投影為1，則m=__________． 【答案】34 【解析】∵向量a=-1,2，b=m,1,向量a在b方向上的投影長為1 ∴a?bb=|-m+2|m2+1=1,解得m=34. 故答案為：34. 12．已知為直角三角形的外接圓，是斜邊上的高，且，，點為線段的中點，若是中繞圓心運動的一條直徑，則_________ 【答案】-5 ，所以解得，再由為的中點可得，所以，進而 答案： .