2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明:分析法與綜合法講義(含解析)湘教版選修1 -2.doc
《2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明:分析法與綜合法講義(含解析)湘教版選修1 -2.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明:分析法與綜合法講義(含解析)湘教版選修1 -2.doc(12頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
5.2.1 直接證明:分析法與綜合法 [讀教材填要點] 綜合法和分析法 綜合法 分析法 定義 從數(shù)學題的已知條件出發(fā),經(jīng)過逐步的邏輯推理,最后達到待證結論或需求的問題,稱為綜合法 從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā),一步一步地探索下去,最后達到題設的已知條件,稱為分析法 特點 從“已知”看“可知”,由因導果,尋找必要條件 從“未知”看“需知”,執(zhí)果索因,尋找充分條件 [小問題大思維] 1.綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理? 提示:綜合法與分析法的推理過程是演繹推理,因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理,從而得到的每一個結論都是正確的,不同于合情推理中的“猜想”. 2.綜合法與分析法有什么區(qū)別? 提示:綜合法是從已知條件出發(fā),逐步推向未知,每步尋找的是必要條件;分析法是從待求結論出發(fā),逐步靠攏已知,每步尋找的是充分條件. 綜合法的應用 已知a,b是正數(shù),且a+b=1,求證:+≥4. [自主解答] 法一:∵a,b∈R+且a+b=1, ∴a+b≥2. ∴≤. ∴+==≥4. 當且僅當a=b=時,取“=”號. 法二:∵a,b∈R+, ∴a+b≥2>0,+≥2 >0. ∴(a+b)≥4. 又因為a+b=1, ∴+≥4. 當且僅當a=b=時,取“=”號. 法三:∵a,b∈R+,且a+b=1, ∴+=+ =1+++1≥2+2 =4. 當且僅當a=b=時,取“=”號. 保持例題條件不變,求證:+≥9. 證明:法一:∵a>0,b>0,且a+b=1. ∴+=+=4+++1 ≥5+2 =5+4=9. 當且僅當=,即a=2b=時等號成立. 法二:∵a>0,b>0,且a+b=1. ∴+=(a+b)=4+++1 ≥5+2 =5+4=9. 當且僅當=,即a=2b=時等號成立. 綜合法證明問題的步驟 (1)分析條件,選擇方向:確定已知條件和結論間的聯(lián)系,合理選擇相關定義、定理等. (2)轉化條件,組織過程:將條件合理轉化,書寫出嚴密的證明過程. 特別地,根據(jù)題目特點選取合適的證法可以簡化解題過程. 1.在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,若a2=b(b+c),求證:A=2B. 證明:∵a2=b(b+c), ∴cos A===, cos 2B=2cos2B-1=22-1 =22-1==, ∴cos A=cos 2B. 又A,B是三角形的內(nèi)角,∴A=2B. 分析法的應用 當a+b>0時,求證:≥(a+b). [自主解答] 要證 ≥(a+b), 只需證()2≥2, 即證a2+b2≥(a2+b2+2ab),即證a2+b2≥2ab. 因為a2+b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立, 所以≥(a+b)成立.綜上所述,不等式得證. 分析法的證明過程及書寫形式 (1)證明過程:確定結論與已知條件間的聯(lián)系,合理選擇相關定義、定理對結論進行轉化,直到獲得一個顯而易見的命題即可. (2)書寫形式:要證…,只需證…,即證…,然后得到一個明顯成立的條件,所以結論成立. 2.已知a>6,求證:-<-. 證明:法一:要證-<-, 只需證+<+ ?(+)2<(+)2 ?2a-9+2<2a-9+2 ?< ?(a-3)(a-6)<(a-5)(a-4) ?18<20, 因為18<20顯然成立, 所以原不等式-<-成立. 法二:要證-<-, 只需證<, 只需證+>+. ∵a>6, ∴a-3>0,a-4>0,a-5>0,a-6>0. 又∵a-3>a-5, ∴>, 同理有>, 則+>+. ∴-<-. 綜合法與分析法的綜合應用 已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C為等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A,B,C的對邊,求證:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1. [自主解答] 法一:要證(a+b)-1+(b+c)-1 =3(a+b+c)-1, 只需證+=, 即證+=3, 化簡,得+=1, 即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c). 所以只需證c2+a2=b2+ac. 因為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列, 所以B=60, 所以cos B==. 所以a2+c2-b2=ac,所以原式成立. 法二:因為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列, 所以B=60. 由余弦定理,有b2=c2+a2-2accos 60, 所以c2+a2=ac+b2. 兩邊加ab+bc,得 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 兩邊同時除以(a+b)(b+c),得 +=1, 所以+=3. 即+=. 所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1. 綜合法與分析法的適用范圍 (1)綜合法適用的范圍: ①定義明確的題型,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,求證無條件的等式或不等式問題等; ②已知條件明確,且容易通過找已知條件的必要條件逼近欲得結論的題型. (2)分析法適用的范圍: 已知條件不明確,或已知條件簡便而結論式子較復雜的問題. 3.(1)設x≥1,y≥1,證明:x+y+≤++xy; (2)設1ab+bc+ca. [證明] 法一:(分析法) 要證a2+b2+c2>ab+bc+ca, 只需證2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca), 只需證(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)>0, 只需證(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0, 因為a,b,c∈R, 所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0. 又因為a,b,c不全相等, 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0. 所以原不等式a2+b2+c2>ab+bc+ca成立. 法二:(綜合法) 因為a,b,c∈R, 所以(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0. 又因為a,b,c不全相等, 所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2>0. 所以(a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)+(c2+a2-2ca)>0. 所以2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca). 所以a2+b2+c2>ab+bc+ca. 1.命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的證明過程:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”,此過程應用了( ) A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法 解析:結合推理及分析法和綜合法的定義可知,B正確. 答案:B 2.在△ABC中,若sin Bsin C=cos2,則下列等式一定成立的是( ) A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C 解析:∵sin Bsin C=cos2 ==, ∴cos(B+C)=1-2sin Bsin C, ∴cos Bcos C-sin Bsin C=1-2sin Bsin C, ∴cos Bcos C+sin Bsin C=1,∴cos(B-C)=1. 又0b>c,且a+b+c=0,求證:0 B.a(chǎn)-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 解析:0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0. 答案:C 4.命題“函數(shù)f(x)=x-xln x在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)=x- xln x求導得f′(x)=-ln x,當x∈(0,1)時,f′(x)=-ln x>0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應用了________的證明方法. 解析:由證明過程可知,該證明方法為綜合法. 答案:綜合法 5.將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整:要證≥ab,只需證a2+b2≥2ab,也就是證______,即證________,由于________顯然成立,因此原不等式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0 6.已知x>0,y>0,且x+y=1,試分別用綜合法與分析法證明:≥9. 證明:法一:(綜合法) 左邊== =4+2+1≥5+4=9. 當且僅當x=y(tǒng)=時等號成立. 法二:(分析法)要證≥9成立, ∵x,y∈R+且x+y=1,∴y=1-x. 只需證明≥9成立, 即證(1+x)(1-x+1)≥9x(1-x), 即證2+x-x2≥9x-9x2, 即證4x2-4x+1≥0,即證(2x-1)2≥0,此式顯然成立, 所以原不等式成立. 一、選擇題 1.已知a,b,c∈R,那么下列命題中正確的是( ) A.若a>b,則ac2>bc2 B.若>,則a>b C.若a3>b3且ab<0,則> D.若a2>b2且ab>0,則< 解析:對于A:若c=0,則A不成立,故A錯; 對于B:若c<0,則B不成立,B錯; 對于C:若a3>b3且ab<0, 則所以>,故C對; 對于D:若則D不成立. 答案:C 2.設a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項,則+的最小值為( ) A.8 B.4 C.1 D. 解析:是3a與3b的等比中項?3a3b=3?3a+b=3?a+b=1, 因為a>0,b>0,所以≤=?ab≤, 所以+==≥=4. 答案:B 3.已知△ABC中,cos A+cos B>0,則必有( ) A.00,得cos A>-cos B, ∴cos A>cos(π-B). ∵02),q=2-a2+4a-2(a>2),則p與q的大小關系是________. 解析:p=a-2++2≥2+2=4,當且僅當a=3時等號成立. -a2+4a-2=2-(a-2)2<2,∴q<22=4≤p. 答案:p>q 8.若對任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是________. 解析:∵a≥=對任意x>0恒成立, 設μ=x++3(x>0). ∴只需a≥恒成立即可. 又∵μ=x++3≥5,當且僅當x=1時“=”成立. ∴0<≤.∴a≥. 答案: 三、解答題 9.已知數(shù)列{an}的首項a1=5,Sn+1=2Sn+n+5,(n∈N*). (1)證明數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列. (2)求an. 解:(1)證明:由條件得 Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n≥2) ① 又Sn+1=2Sn+n+5, ② ②-①得an+1=2an+1(n≥2), 所以===2. 又n=1時,S2=2S1+1+5,且a1=5, 所以a2=11, 所以==2, 所以數(shù)列{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)因為a1+1=6,所以an+1=62n-1=32n, 所以an=32n-1. 10.已知a,b,m為非零實數(shù),且a2+b2+2-m=0,++1-2m=0. (1)求證:+≥; (2)求證:m≥. 證明:(1)(分析法)要證+≥成立, 只需證(a2+b2)≥9, 即證1+4++≥9,即證+≥4. 根據(jù)基本不等式,有+≥2 =4成立, 所以原不等式成立. (2)(綜合法)因為a2+b2=m-2,+=2m-1, 由(1),知(m-2)(2m-1)≥9, 即2m2-5m-7≥0,解得m≤-1或m≥. 因為a2+b2=m-2>0,+=2m-1>0, 所以m≥.- 配套講稿:
如PPT文件的首頁顯示word圖標,表示該PPT已包含配套word講稿。雙擊word圖標可打開word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國旗、國徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設計者僅對作品中獨創(chuàng)性部分享有著作權。
- 關 鍵 詞:
- 2019年高中數(shù)學 第5章 推理與證明 5.2 直接證明與間接證明 5.2.1 直接證明:分析法與綜合法講義含解析湘教版選修1 -2 2019 年高 數(shù)學 推理 證明 直接 間接 分析 綜合法 講義
裝配圖網(wǎng)所有資源均是用戶自行上傳分享,僅供網(wǎng)友學習交流,未經(jīng)上傳用戶書面授權,請勿作他用。
鏈接地址:http://zhongcaozhi.com.cn/p-6151903.html