2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 三角恒等變形 1 同角三角函數(shù)的基本關系學案 北師大版必修4.doc

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1　同角三角函數(shù)的基本關系 內(nèi)容要求　1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2x＋cos2 x＝1，＝tan x (重點).2.會運用以上兩個基本關系式進行求值、化簡、證明(難點)． 知識點　同角三角函數(shù)的基本關系 【預習評價】 1．已知α是第二象限角，sin α＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D. 答案　A 2．已知α是第四象限角，且tan α＝－，則sin α＝(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　A 題型一　利用同角基本關系式求值 【例1】　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 解　∵cos α＝－<0，且cos α≠－1， ∴α是第二或第三象限角， (1)當α是第二象限角時，則 sin α＝ ＝ ＝， tan α＝＝＝－. (2)當α是第三象限角時，則 sin α＝－＝－，tan α＝. 規(guī)律方法　同角三角函數(shù)的基本關系揭示了同角之間的三角函數(shù)關系，其最基本的應用是“知一求二”，要注意這個角所在的象限，由此來決定所求的是一解還是兩解，同時應體會方程思想的應用． 【訓練1】　已知sin α＝m(|m|≤1)，求tan α的值． 解　當m＝0時，cos α＝1，tan α＝＝0； 當m＝1時，α的終邊在y軸上，cos α＝0，tan α無意義； 當α在第一、四象限時，cos α＞0， ∴cos α＝＝ ∴tan α＝＝； 當α在第二、三象限時，cos α＜0， ∴cos α＝－＝－. ∴tan α＝＝＝. 題型二　已知正切求值 【例2】　已知tan α＝2.求： (1)； (2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α. 解　(1)原式＝＝＝－2. (2)原式＝ ＝＝＝1. 規(guī)律方法　知切求弦常見的有兩類： 1．求關于sin α、cos α的齊次式值的問題，如果cos α≠0，則可將被求式化為關于tan α的表達式，然后整體代入tan α的值，從而完成被求式的求值問題． 2．若不是sin α，cos α的齊次式，可利用方程組的消元思想求解．如果已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意將分母的1化為sin2α＋cos2α，將其代入，再轉(zhuǎn)化為關于tan α的表達式后求值． 【訓練2】　已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1. 求：(1)tan α； (2). 解?。?）由條件得 ＝1 ?＝1 ?4tan2α－3tan α－1＝0 ?tan α＝－或tan α＝1. (2)原式＝， 當tan α＝－時，原式＝； 當tan α＝1時，原式＝. 方向1　三角函數(shù)式的化簡 【例3－1】　化簡tan α，其中α是第二象限角． 解　因為α是第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α ＝tan α ＝tan α ＝ ＝ ＝－1. 方向2　三角恒等式的證明 【例3－2】　求證：＝. 證明　左邊＝＝ ＝＝＝右邊，所以等式成立． 方向3　利用sin αcos α與sin αcos α的關系解題 【例3－3】　已知在△ABC中，sin A＋cos A＝. (1)求sin Acos A的值； (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形； (3)求sin A－cos A的值． 解　(1)∵sin A＋cos A＝， 兩邊平方得1＋2sin Acos A＝， ∴sin Acos A＝－. (2)由(1)sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴角A為鈍角， ∴△ABC是鈍角三角形． (3)(sin A－cos A)2 ＝1－2sin Acos A ＝. 由(2)知sin A－cos A＞0， ∴sin A－cos A＝. 規(guī)律方法　1.三角函數(shù)式化簡的三種常用技巧 (1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的． (2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的． (3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構造sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次數(shù)，達到化簡的目的． 2．證明三角恒等式的原則是由繁到簡．常用的方法有： (1)從一邊開始，證得它等于另一邊； (2)證明左右兩邊都等于同一個式子； (3)變更論證，即通過化除為乘、左右相減等，轉(zhuǎn)化成證明與其等價的等式. 課堂達標 1．已知sin α＝，α∈(0，π)，則tan α等于(　　) A. B. C． D． 解析　∵sin α＝，α∈(0，π)， ∴cos α＝＝， ∴tan α＝＝. 答案　D 2．已知tan α＝－，那么sin2α＋2sin αcos α－3cos2α的值是(　　) A．－ B．－ C．3 D．－3 解析　sin2α＋2sin αcos α－3cos2α ＝ ＝， 將tan α＝－代入上式得－3. 答案　D 3．若tan α＝2，且α∈，則sin＝________. 解析　∵tan α＝＝2，∴sin α＝2cos α， 又∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝. ∵α∈，∴cos α＝－. ∴sin＝cos α＝－. 答案?。? 4．已知sin αcos α＝，則sin α－cos α＝________. 解析　(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α ＝1－2sin αcos α＝. 則sin α－cos α＝. 答案　 5．已知sin α＋cos α＝m，求sin3α＋cos3α的值． 解　∵sin α＋cos α＝m，∴sin αcos α＝. ∴sin3α＋cos3α＝(sin α＋cos α)(sin2α－sin αcos α＋cos2α) ＝m(1－)＝(3－m2)． 課堂小結 1．“同角”有兩層含義：一是“角相同”；二是“任意性”，即關系式恒成立，與角的表達形式無關．如：sin23α＋cos23α＝1等． 2．已知角α的一個三角函數(shù)值，求α的其他兩個三角函數(shù)值時，要特別注意角所在的象限，以確定三角函數(shù)值的符號． 3．計算、化簡或證明三角函數(shù)式時常用的技巧： (1)“1”的代換．為了解題的需要，有時可以將1用“sin2α＋cos2α”代替． (2)切化弦．利用商數(shù)關系把切函數(shù)化為弦函數(shù)． (3)整體代換．將計算式適當變形使條件可以整體代入，或?qū)l件適當變形找出與算式之間的關系. 基礎過關 1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A．tan α＝－ B．cos α＝－ C．sin α＝－ D．tan α＝ 解析　由商數(shù)關系可知A、D均不正確，當α為第二象限角時，cos α<0，sin α>0，故B正確． 答案　B 2．已知＝2，則sin θcos θ的值是(　　) A. B． C. D．－ 解析　由題意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2， 解得sin θcos θ＝. 答案　C 3．已知α是第二象限的角，tan α＝－，則cos α等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析　∵α是第二象限角，∴cos α<0. 又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－， ∴cos α＝－. 答案　C 4．若α為第三象限角，則＋＝________. 解析　∵α為第三象限角， ∴sin α<0，cos α<0， ∴原式＝＋ ＝＋＝－1－2 ＝－3. 答案　－3 5．已知sin αcos α＝且<α<，則cos α－sin α＝______. 解析　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝， ∵<α<，∴cos α0，即A為銳角． 將sin A＝ 兩邊平方得2sin2A＝3cos A. ∴2cos2A＋3cos A－2＝0， 解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)， ∴A＝. 答案　 12．求證：－＝. 證明　方法一 左邊＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝右邊．∴原式成立． 方法二　∵＝＝， ＝＝， ∴－＝.∴原式成立． 13．(選做題)已知關于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的兩根為sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求： (1)m的值; (2)＋的值; (3)方程的兩根及此時θ的值． 解　(1)由根與系數(shù)的關系可知， Sin θ＋cos θ＝，① sin θcos θ＝m，② 將①式平方得1＋2sin θcos θ＝， 所以sin θcos θ＝，代入②得m＝. (2)＋ ＝＋ ＝＝sin θ＋cos θ＝. (3)因為已求得m＝， 所以原方程化為2x2－(＋1)x＋＝0， 解得x1＝，x2＝. 所以或 又因為θ∈(0，π)，所以θ＝或.