2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文 (II).doc

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2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文 (II) 考試時(shí)間：2019年4月23日 一、單選題（共12小題，每小題5分）。 高二年級(jí)期中考試文數(shù)答案 ．B ．命題“存在一個(gè)無理數(shù),它的平方是有理數(shù)”的否定是（　　） C．存在一個(gè)有理數(shù),它的平方是有理數(shù) D．存在一個(gè)無理數(shù),它的平方不是有理數(shù) ．B【解析】當(dāng)時(shí)，如果同時(shí)等于零，此時(shí)是實(shí)數(shù)，不是純虛數(shù)，因此不是充分條件；而如果已經(jīng)為純虛數(shù)，由定義實(shí)部為零，虛部不為零可以得到，因此是必要條件，故選B。 ．設(shè)，則“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 ．D 解：由函數(shù)的解析式可得：， 則．即的值為． ．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則f′（1）的值為（ ） A． B． C． D． ．C ．將某選手的6個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分，4個(gè)剩余分?jǐn)?shù) 的平均分為91．現(xiàn)場(chǎng)作的6個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以表示：則4個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為（ ） A． B． C． D． ．C ．已知函數(shù)，則當(dāng)取得極大值時(shí)，x的值應(yīng)為（ ） A． B． C． D． ．D ．直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是（ ） A． B． C． D． ．B ．橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. ．A 解： ． 已知過雙曲線的右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線僅與雙曲線的右支有一個(gè)交點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． ．C 解：，使得成立，則，∵，，∴ ．已知，若，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． ．B 解：如圖，此三視圖還原為一個(gè)三棱錐。 ．如右圖，一個(gè)多面體的正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的等腰直角三角形 且直角邊長(zhǎng)為2，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該多面體的體積是（ ） A． B． C． D． ．A 解：當(dāng)時(shí)，，則 ．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則有（ ） A． B． C． D． ．D 解：直線與相切，由解得； 直線與相切，可得切點(diǎn)或 ．已知函數(shù)，，若直線與兩函數(shù)的圖象均相切，則（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空題 ． 解： ．復(fù)數(shù)滿足：；則 ． ．41 根據(jù)題中所列的前幾項(xiàng)的規(guī)律可知其通項(xiàng)應(yīng)為＝n，所以當(dāng)n＝6時(shí)，，. ．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝6，(a，t為互質(zhì)的正整數(shù))，由以上等式，可推測(cè)a，t的值，則a＋t＝________. ． 解：曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為，∴， ∴，∴ ．設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，令， 則的值為___________． ． 解：，考慮的幾何意義即可得，點(diǎn)在線段上，則，∴ ．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),分別是該橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，則的最小值為 ． 三、解答題 ．（1）若p為真，則； （2）若q為真，則；由題意知，是真命題， ∴ ．已知,命題：對(duì)任意，不等式恒成立；命題：曲線 在任意一點(diǎn)處的切線斜率均大于． (Ⅰ）若為真命題，求的取值范圍； (Ⅱ）若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． ．(1)由等高條形圖知喜歡數(shù)學(xué)的女生有人， 喜歡數(shù)學(xué)的男生有人 ------------------2分 列聯(lián)表： 喜歡旅游 不喜歡旅游 合計(jì) 女生 35 15 50 男生 25 25 50 合計(jì) 60 40 100 ------------------6分 (2)∵的觀測(cè)值 ------------------10分 ∴不能在犯錯(cuò)誤的前提不超過0.010，即有99%的把握認(rèn)為“喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)”。-------12分 ．為了調(diào)查喜歡數(shù)學(xué)是否與性別有關(guān)，調(diào)查人員就“是否喜歡數(shù)學(xué)”這個(gè)問題，在某學(xué)校分別隨機(jī)調(diào)研了50名女生和50名男生，根據(jù)調(diào)研結(jié)果得到如圖所示的等高條形圖． （Ⅰ）完成下列列聯(lián)表： 喜歡數(shù)學(xué) 不喜歡數(shù)學(xué) 合計(jì) 女生 男生 合計(jì) (Ⅱ）能否有超過的把握認(rèn)為“喜歡數(shù)學(xué)與性別有關(guān)”. 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (參考公式：，其中) ．解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為2x(m)，高為. ----------2分 故長(zhǎng)方體的體積為，而 -----------4分 令，解得x=0（舍去）或，因此x=1. -----------6分 當(dāng)0＜x＜10時(shí)，；當(dāng)時(shí)，， -----------8分 故在x=10處V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（x）的最大值。 -----------10分 從而最大體積（cm3），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20cm，高為15cm. 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20cm時(shí)，寬為10cm，高為15cm時(shí)，體積最大，最大體積為3000cm3。-----------12分 ．現(xiàn)將一根長(zhǎng)為180 cm的木條制造成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的木質(zhì)框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為，問該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ ． ．在四棱錐中，平面，，，且， 為線段上一點(diǎn)． （Ⅰ）求證：平面平面； (Ⅱ）若且，求證：平面， 并求四棱錐的體積． ．解：（Ⅰ）拋物線的焦點(diǎn) ，雙曲線的漸近線為， -------------------2分 不妨取，即，∴焦點(diǎn)到漸近線的距離為，-------------4分 ∵，∴ ------------------------------------------6分 （Ⅱ）設(shè)所在直線的方程為，代入中，得， 設(shè)，則有，從而． 則． ------------------------------------------8分 設(shè)所在直線的方程為，同理可得． ，所在直線的方程為， 即． ------------------------------------------10分 又，即，代入上式，得， 即 ．∵，∴是此方程的一組解， 所以直線恒過定點(diǎn)． ------------------------------------------12分 ．已知雙曲線：的離心率為，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為．已知點(diǎn)為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，過作兩條直線交拋物線于，且分別是線段的中點(diǎn)． （Ⅰ）求拋物線的方程； （Ⅱ）若，證明：直線過定點(diǎn)． ．解：（Ⅰ）由，因?yàn)樵跁r(shí)有極大值， 所以，從而得或，--------------------3分， ①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在時(shí)有極小值，不合題意，舍去；-------------------4分 ②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意。 ∴所求的 ------------------6分 （Ⅱ）由（1）知，所以等價(jià)于等價(jià)于 ，即， 記，則，------------------8分 由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 所以，------------------9分 對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，等價(jià)于，即，----10分 記因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，，∵，∴k=1,2,3,4， 故的最大值為4. ------------------12分 ．已知函數(shù)，且時(shí)有極大值. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若為的導(dǎo)函數(shù)，不等式（為正整數(shù)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最大值.（注：）