2018-2019學年高中數(shù)學 第二講 參數(shù)方程 三 直線的參數(shù)方程講義（含解析）新人教A版選修4-4.doc

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三 直線的參數(shù)方程 1．直線的參數(shù)方程 (1)過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)為(t為參數(shù))． (2)由α為直線的傾斜角知 α∈[0，π)時，sin α≥0. 2．直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義 參數(shù)t的絕對值表示參數(shù)t所對應的點M到定點M0的距離． (1)當M0M―→與e(直線的單位方向向量)同向時，t取正數(shù)． (2)當M0M―→與e反向時，t取負數(shù)． (3)當M與M0重合時，t＝. 直線的參數(shù)方程 [例1]　已知直線l：(t為參數(shù))． (1)分別求t＝0,2，－2時對應的點M(x，y)； (2)求直線l的傾斜角； (3)求直線l上的點M(－3，0)對應的參數(shù)t，并說明t的幾何意義． [思路點撥]　(1)直接代入t的值求解； (2)把直線的參數(shù)方程化為普通方程求傾斜角或把直線的參數(shù)方程化為標準形式求傾斜角； (3)利用參數(shù)t的幾何意義，即M0M―→＝te求解． [解]　(1)由直線l：(t為參數(shù))知，當t＝0,2，－2時，分別對應直線l上的點(－，2)，(0,3)，(－2，1)． (2)法一：把直線l：(t為參數(shù))化為普通方程為y－2＝(x＋)，設直線l的傾斜角為α，則k＝tan α＝(0≤α<π)，解得α＝.故直線l的傾斜角為. 法二：易知直線l：(t為參數(shù))， 則直線l過定點M0(－，2)，且傾斜角為， 故直線l的傾斜角為. (3)由(2)可知直線l的單位向量e＝＝，且M0(－，2)， 又已知M(－3，0)， 所以M0M―→＝(－2，－2)＝－4＝－4e， 所以點M(－3，0)對應的參數(shù)t＝－4，幾何意義為|M0M―→|＝4，且M0M―→與e方向相反． 理解并掌握直線參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，弄清參數(shù)t的幾何意義，即直線上動點M到定點M0的距離等于參數(shù)t的絕對值是解決此類問題的關(guān)鍵． 1．直線(t為參數(shù))的傾斜角為(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　因為 所以因為θ∈[0，π)，所以θ＝. 2．一直線過P0(3,4)，傾斜角α＝，求此直線與直線3x＋2y＝6的交點M與P0之間的距離． 解：設直線的參數(shù)方程為 將它代入已知直線3x＋2y－6＝0， 得3＋2＝6， 解得t＝－， ∴|MP0|＝|t|＝. 直線的參數(shù)方程的應用 [例2]　已知直線l過點P(2,0)，斜率為，直線l和拋物線y2＝2x相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，求： (1)P，M兩點間的距離|PM|； (2)點M的坐標，線段AB的長|AB|. [思路點撥]　首先由參數(shù)方程的概念求出直線l的參數(shù)方程，然后再利用參數(shù)的幾何意義求解． [解]　(1)因為直線l過點P(2,0)，斜率為，設直線的傾斜角為α，則tan α＝，cos α＝，sin α＝，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 因為直線l和拋物線相交，將直線l的參數(shù)方程代入拋物線y2＝2x中， 整理得8t2－15t－50＝0. 因為Δ＝(－15)2＋4850>0， 所以設這個二次方程的兩個實根為t1，t2. 則t1＋t2＝，t1t2＝－， 因為M為AB的中點，根據(jù)t的幾何意義， 所以|PM|＝＝. (2)因為中點M所對應的參數(shù)為tM＝，將此值代入直線l的參數(shù)方程①，得點M坐標為 即M， |AB|＝|t2－t1|＝＝. 求解直線與圓或圓錐曲線有關(guān)的弦長時，不必求出交點坐標，根據(jù)直線參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義即可求得結(jié)果，與常規(guī)方法相比較，較為簡捷． 3．直線l通過P0(－4,0)，傾斜角α＝，l與圓x2＋y2＝7相交于A，B兩點． (1)求弦長|AB|； (2)求A，B兩點坐標． 解：(1)∵直線l通過P0(－4,0)，傾斜角α＝， ∴直線l的參數(shù)方程為 代入圓方程，得2＋2＝7. 整理得t2－4t＋9＝0.① 設A，B對應的參數(shù)分別t1和t2， 由根與系數(shù)的關(guān)系得t1＋t2＝4，t1t2＝9， ∴|AB|＝|t2－t1|＝＝2. (2)解①得t1＝3，t2＝，代入直線參數(shù)方程 得A點坐標，B點坐標. 4．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝. (1)求C的普通方程和l的傾斜角； (2)設點P(0,2)，l和C交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|. 解：(1)由消去參數(shù)α，得＋y2＝1， 即C的普通方程為＋y2＝1. 由ρsin＝得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*) 將代入(*)，化簡得y＝x＋2. 所以直線l的傾斜角為. (2)易知點P(0,2)在直線l上，可設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))， 代入＋y2＝1并化簡，得5t2＋18t＋27＝0， Δ＝(18)2－4527＝108>0， 設A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0， 所以t1<0，t2<0， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝. 一、選擇題 1．直線(t為參數(shù))的傾斜角為(　　) A．70 B．10 C．160 D．140 解析：選B　將直線的參數(shù)方程化為(t為參數(shù))，故其傾斜角為10，故選B. 2．直線(t為參數(shù))的斜率為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選A　直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為y－1＝－(x－3)，則直線的斜率k＝－. 3．若直線(t為參數(shù))與圓(φ為參數(shù))相切，那么直線傾斜角α為(　　) A. B. C. D.或 解析：選D　直線可化為＝tan α，即y＝tan αx， 圓方程可化為(x－4)2＋y2＝4， ∴由＝2?tan2α＝， ∴tan α＝，又α∈[0，π)，∴α＝或. 4．下列可以作為直線2x－y＋1＝0的參數(shù)方程的是(　　) A.(t為參數(shù)) B.(t為參數(shù)) C.(t為參數(shù)) D.(t為參數(shù)) 解析：選C　直線2x－y＋1＝0經(jīng)過點(1,3)，斜率k＝2，可得直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))．直線還經(jīng)過點(2,5)，相應的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 二、填空題 5．已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，則它的普通方程是________． 解析：由直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))， 消去參數(shù)t整理得3x－4y＋5＝0. 答案：3x－4y＋5＝0 6．直線上與點A(－2,3)的距離等于的點的坐標是________． 解析：設P(－2－t,3＋t)是直線上滿足條件的點，則(－t)2＋(t)2＝()2，t2＝，t＝，則P(－3,4)或(－1,2)． 答案：(－3,4)或(－1,2) 7．設直線的參數(shù)方程為點P在直線上，且與點M0(－4,0)的距離為，若該直線的參數(shù)方程改寫成(t為參數(shù))，則在這個方程中點P對應的t值為________． 解析：由|PM0|＝知，t＝，代入第一個參數(shù)方程，得點P的坐標分別為(－3,1)或(－5，－1)，再把點P的坐標代入第二個參數(shù)方程可得t＝1或t＝－1. 答案：1 三、解答題 8．設直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (1)求直線的普通方程； (2)將參數(shù)方程的一般形式化為參數(shù)方程的標準形式． 解：(1)把t＝代入y＝10－4t， 得y＝10－， 化簡得4x＋3y－50＝0， 所以直線的普通方程為4x＋3y－50＝0. (2)把參數(shù)方程變形為 令t′＝－5t，即有(t′為參數(shù))為參數(shù)方程的標準形式． 9．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的單位長度，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ＝8cos θ. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C交于A，B兩點，求弦長|AB|. 解：(1)由ρsin2θ＝8cos θ，得ρ2sin2θ＝8ρcos θ， 故曲線C的直角坐標方程為y2＝8x. (2)將直線l的參數(shù)方程化為標準形式為 (t′為參數(shù))，代入y2＝8x， 并整理得3t′2－16t′－64＝0， 則t1′＋t2′＝，t1′t2′＝－， 所以|AB|＝|t1′－t2′|＝＝. 10．經(jīng)過P(－2,3)作直線交拋物線y2＝－8x于A，B兩點． (1)若線段AB被P平分，求AB所在直線方程； (2)當直線的傾斜角為時，求|AB|. 解：設AB的參數(shù)方程是(t為參數(shù))． 代入拋物線方程，整理得 t2sin2α＋(6sin α＋8cos α)t－7＝0. 于是t1＋t2＝－，t1t2＝－. (1)若P為AB的中點，則t1＋t2＝0. 即6sin α＋8cos α＝0?tan α＝－. 故AB所在的直線方程為y－3＝－(x＋2)． 即4x＋3y－1＝0. (2)|AB|＝|t1－t2|＝ ＝ ＝. 又α＝， ∴|AB|＝ ＝8.