2018-2019年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2.2 第一課時 組合與組合數(shù)公式學案 新人教A版選修2-3.doc

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第一課時　組合與組合數(shù)公式 [教材研讀] 預(yù)習教材P21～24，思考以下問題 1．組合的概念是什么？ 2．什么是組合數(shù)？組合數(shù)公式是怎樣的？ 3．組合數(shù)有怎樣的性質(zhì)？ [要點梳理] 1．組合的定義 從n個不同元素中取出m(n≥m)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合． 2．組合數(shù)的概念、公式、性質(zhì) [自我診斷] 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) 1．從a，b，c三個不同的元素中任取兩個元素的一個組合是C.(　　) 2．從1,3,5,7中任取兩個數(shù)相乘可得C個積．(　　) 3．1,2,3與3,2,1是同一個組合．(　　) 4．C＝543＝60.(　　) [答案]　1.　2.√　3.√　4. 思考：區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題的關(guān)鍵是什么？ 提示：關(guān)鍵是看它有無順序，有順序的是排列問題，無順序的是組合問題． (1)判斷下列問題是組合問題還是排列問題： ①設(shè)集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的子集中含有3個元素的有多少個？ ②某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種車票？多少種票價？ ③3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法？ ④把3本相同的書分給5個學生，每人最多得1本，有幾種分配方法？ (2)從5個不同元素a，b，c，d，e中任取2個，寫出所有不同的組合． [思路導(dǎo)引]　對于(1)關(guān)鍵是看有無順序，有順序的是排列問題，無順序的即為組合問題；對于(2)每次取出兩個元素即可，無順序，但注意不重不漏． [解]　(1)①因為本問題與元素順序無關(guān)，故是組合問題． ②因為甲站到乙站，與乙站到甲站車票是不同的，故是排列問題，但票價與順序無關(guān)，甲站到乙站，與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題． ③因為分工方法是從5種不同的工作中取出3種，按一定次序分給3個人去干，故是排列問題． ④因為3本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需考慮他們的順序，故是組合問題． (2)要寫出所有的組合，首先要把元素按一定順序排好，然后按順序用圖示的方法將各個組合逐個標出．如圖所示： 因此可得所有組合為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 區(qū)分排列與組合的方法 區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標志是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題． 【溫馨提示】　排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別 聯(lián)系：二者都是從n個不同的元素中取m(n≥m)個元素． 區(qū)別：排列與元素的順序有關(guān)，組合與元素的順序無關(guān)，只有元素相同且順序也相同的兩個排列才是相同的排列．只要兩個組合的元素相同，不論元素的順序如何，都是相同的組合． [跟蹤訓(xùn)練] 判斷下列問題是組合問題還是排列問題． (1)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成一件工作，有多少種不同的選法？ (2)從a，b，c，d四名學生中選兩名學生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？ (3)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？ (4)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？ (5)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？ (6)某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？ [解]　(1)兩名學生完成的是同一件工作，沒有順序，是組合問題． (2)兩名學生完成兩件不同的工作，有順序，是排列問題． (3)單循環(huán)比賽要求每兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題． (4)冠、亞軍是有順序的，是排列問題． (5)命中的4槍均為2槍連中，為相同的元素，沒有順序，是組合問題． (6)命中的4槍中恰有3槍連中，即連中3槍和單中1槍，有順序，是排列問題． 題型二　組合數(shù)的計算與證明 思考：我們知道，“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念，那么，“組合”與“組合數(shù)”是同一個概念嗎？為什么？ 提示：“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念，“組合”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)． (1)計算： ①C－CA； ②C＋2C＋C； ③C＋C＋C＋C＋C＋C. (2)證明：mC＝nC. [思路導(dǎo)引]　利用組合數(shù)公式及性質(zhì)求解． [解]　(1)①C－CA＝C－A＝－765＝210－210＝0. ②原式＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C＝C＝＝161700. ③原式＝(C＋C)＋C＋C＋C＋C＝(C＋C)＋C＋C＋C＝…＝C＋C＝C＝C＝＝462. (2)證明：左邊＝m＝＝n＝nC＝右邊，∴mC＝nC. (1)有關(guān)組合數(shù)的兩個公式的應(yīng)用范疇是有所區(qū)別的，C＝常用于n，m為具體自然數(shù)的題目，一般偏向于具體組合數(shù)的計算；公式C＝常用于n，m為字母或含有字母的式子的題目，一般偏向于方程的求解或有關(guān)組合數(shù)的恒等式的證明． (2)關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)1(C＝C) ①該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對稱性，即從n個不同的元素中取出m個元素的每一個組合，都對應(yīng)著剩下的n－m個元素的一個組合，反過來也一樣，這是一一對應(yīng)的關(guān)系． ②當m>時，通常不直接計算C，而改為計算C. (3)關(guān)于組合數(shù)的性質(zhì)2(C＝C＋C) ①形式特點：公式的左端下標為n＋1，右端下標為n，相差1，上標左端與右端的一個相同，右端的另一個比它們少1； ②作用：常用于有關(guān)組合數(shù)式子的化簡或組合數(shù)恒等式的證明．應(yīng)用時要注意公式的正用、逆用和變形用．正用是將一個組合數(shù)拆成兩個，逆用則是“合二為一”，使用變形C＝C－C，為某些項前后抵消提供了方便，在解題中要注意靈活應(yīng)用． [跟蹤訓(xùn)練] 1．計算：C＋C的值． [解]　∵∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10. ∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466. 2．求使3C＝5A成立的x值． [解]　根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式，原方程可化為 3＝5， 即＝，即為(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2. 經(jīng)檢驗知x＝11時原式成立． 3．證明下列各等式． (1)C＝C； (2)C＋C＋C…＋C＝C. [證明]　(1)右邊＝ ＝ ＝＝C＝左邊，∴原式成立． (2)左邊＝(C＋C)＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C＝(C＋C)＋…＋C＝(C＋C)＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝右邊，∴原式成立． 現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名． (1)從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？ (2)從中選出2名男教師或2名女教師去外地學習，有多少種不同的選法？ (3)從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？ [思路導(dǎo)引]　利用組合數(shù)C求解時，確定好m、n的值，結(jié)合兩個計數(shù)原理解題． [解]　(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即有C＝＝45種不同的選法． (2)可把問題分兩類：第1類，選出2名男教師，有C種方法；第2類，選出2名女教師，有C種方法，即共有C＋C＝21種不同的選法． (3)從6名男教師中選2名的選法有C種，從4名女教師中選2名的選法有C種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有CC＝＝90種不同的選法． 解答簡單的組合問題的思路 (1)弄清楚做的這件事是什么；(2)分析這件事是否需分類或分步完成；(3)結(jié)合兩計數(shù)原理利用組合數(shù)公式求出結(jié)果． [跟蹤訓(xùn)練] 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球． (1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？ (2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？ (3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？ [解]　(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是C＝＝56. (2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是C＝＝21. (3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是C＝＝35. 1.本節(jié)課的重點是組合的概念、組合數(shù)公式及其性質(zhì)、簡單的組合應(yīng)用問題，難點是組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)組合概念的理解，見典例1； (2)組合數(shù)的計算與證明，見典例2； (3)會解決簡單的組合應(yīng)用題，見典例3. 3.本節(jié)課的易錯點是利用組合數(shù)性質(zhì)C＝C解題時，易誤認為一定有x＝y(tǒng)，從而導(dǎo)致解題錯誤．事實上，C＝C?