2018年秋高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運算 2.2.1 向量加法運算及其幾何意義學案 新人教A版必修4.doc
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2.2.1 向量加法運算及其幾何意義 學習目標:1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量加法的幾何意義及其運算律.(難點)2.掌握向量加法運算法則,能熟練地進行加法運算.(重點)3.數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別.(易混點) [自 主 預 習探 新 知] 1.向量加法的定義 定義:求兩個向量和的運算,叫做向量的加法. 對于零向量與任一向量a,規(guī)定0=a+0=a. 2.向量求和的法則 三角 形法則 已知非零向量a,b,在平面內(nèi)任取一點A,作=a,=b,則向量A叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=+= 平行 四邊 形法則 已知兩個不共線向量a,b,作=a,=b,以,為鄰邊作?ABCD,則對角線上的向量A=a+b. 3.向量加法的運算律 (1)交換律:a+b=b+a. (2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c). [基礎自測] 1.思考辨析 (1)a+(b+c)=(a+b)+c.( ) (2)+=0.( ) (3)求任意兩個非零向量的和都可以用平行四邊形法則.( ) [解析] (1)正確.(2)正確.(3)錯誤.平行四邊形法則只適用于求兩個不共線的向量的和. [答案] (1)√ (2)√ (3) 2.++等于( ) A. B. C. D. C [++=++=.] 3.如圖221,在平行四邊形ABCD中,+=________. 圖221 [由平行四邊形法則可知+=.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量加法運算法則的應用 [探究問題] 1.求作兩個向量和的法則有哪些?這些法則的物理模型是什么? 提示:(1)平行四邊形法則,對應的物理模型是力的合成等. (2)三角形法則,對應的物理模型是位移合成等. 2.設A1,A2,A3,…,An(n∈N,且n≥3)是平面內(nèi)的點,則一般情況下,+++…+的運算結(jié)果是什么? 提示:將三角形法則進行推廣可知+++…+=. (1)如圖222,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,F(xiàn)為線段DE延長線上一點,DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個向量): 圖222 ①+=________;②+=________;③++=________. (2)①如圖223甲所示,求作向量和a+b. ②如圖223乙所示,求作向量和a+b+c. 甲 乙 圖223 [思路探究] (1)先由平行四邊形的性質(zhì)得到有關的相等向量,并進行代換,然后用三角形法則化簡. (2)用三角形法則或平行四邊形法則畫圖. (1)①?、凇、邸(1)如題圖,由已知得四邊形DFCB為平行四邊形,由向量加法的運算法則可知: ①+=+=. ②+=+=. ③++=++=. (2)①首先作向量=a,然后作向量=b,則向量=a+b.如圖所示. ②法一(三角形法則):如圖所示,首先在平面內(nèi)任取一點O,作向量=a,再作向量=b,則得向量=a+b,然后作向量=c,則向量=(a+b)+c=a+b+c即為所求. 法二(平行四邊形法則):如圖所示,首先在平面內(nèi)任取一點O,作向量=a,=b,=c,以OA,OB為鄰邊作?OADB,連接OD,則=+=a+b.再以OD,OC為鄰邊作?ODEC,連接OE,則=+=a+b+c即為所求.] 母題探究:1.在例1(1)條件下,求+. [解] 因為BC∥DF,BD∥CF,所以四邊形BCFD是平行四邊形, 所以+=. 2.在例1(1)圖形中求作向量++. [解] 過A作AG∥DF交CF的延長線于點G, 則+=作=,連結(jié), 則=++,如圖所示. [規(guī)律方法] 1.向量求和的注意點: (1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用. (2)兩個向量的和向量仍是一個向量. (3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用. 2.利用三角形法則時,要注意兩向量“首尾順次相連”,其和向量為“起點指向終點”的向量;利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”,其和向量為共起點的“對角線”向量. 提醒:(1)當兩個向量不共線時,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的;(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半. 向量加法運算律的應用 (1)設a=(+)+(+),b是一個非零向量,則下列結(jié)論正確的有________.(將正確答案的序號填在橫線上) ①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|. (2)如圖224,E,F(xiàn),G,H分別是梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點,化簡下列各式: 圖224 ①++; ②+++. [思路探究] 根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接,再運用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加. [解] (1)由條件得:(+)+(+)=0=a,故選①③. (2)①++=++=++=+=; ②+++=+++=++=+=0. [規(guī)律方法] 向量加法運算律的意義和應用原則: (1)意義: 向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù),實現(xiàn)恰當利用向量加法法則運算的目的.,實際上,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行. (2)應用原則: 利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序. [跟蹤訓練] 1.已知正方形ABCD的邊長等于1,則|+++|=________. 2 [|+++|=|+++|=|+|=2||=2.] 向量加法的實際應用 如圖225,用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上,∠ACW=150,∠BCW=120,求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計) 圖225 [思路探究] →→ [解] 如圖所示,設,分別表示A,B所受的力,10 N的重力用表示,則+=. 易得∠ECG=180-150=30, ∠FCG=180-120=60. ∴||=||cos 30=10=5, ||=||cos 60=10=5. ∴A處所受的力為5 N,B處所受的力為5 N. [規(guī)律方法] 利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟 [跟蹤訓練] 2.如圖226所示,一架飛機從A地按北偏東35的方向飛行800 km到達B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院,求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和. 圖226 [解] 設,分別表示飛機從A地按北偏東35的方向飛行800 km,從B地按南偏東55的方向飛行800 km,則飛機飛行的路程指的是||+||; 兩次飛行的位移的和指的是+=. 依題意,有||+||=800+800=1 600(km), 又α=35,β=55,∠ABC=35+55=90, 所以||== =800(km). 其中∠BAC=45,所以方向為北偏東35+45=80. 從而飛機飛行的路程是1 600 km,兩次飛行的位移和的大小為800 km,方向為北偏東80. [當 堂 達 標固 雙 基] 1.化簡++等于( ) A. B. C. D. C [++=.] 2.對于任意一個四邊形ABCD,下列式子不能化簡為的是( ) A.++ B.++ C.++ D.++ C [在A中++=+=;在B中++=+=;在C中++=+=;在D中++=+=+=.] 3.在菱形ABCD中,∠DAB=60,||=1,則|+|=________. 1 [在菱形ABCD中,連接BD(圖略), ∵∠DAB=60,∴△BAD為等邊三角形, 又∵||=1,∴||=1, |+|=||=1.] 4.若a表示“向東走8 km”,b表示“向北走8 km”,則|a+b|=________,a+b的方向是________. 8 km 東北方向 [如圖所示,作=a,=b, 則a+b=+=. 所以|a+b|=|| ==8(km), 因為∠AOB=45, 所以a+b的方向是東北方向.] 5.如圖227所示,設O為正六邊形ABCDEF的中心,求下列向量: 圖227 (1)+; (2)+. [解] (1)由題圖可知,四邊形OABC為平行四邊形.由向量加法的平行四邊形法則,得+=. (2)由題圖可知,===, ∴+=+=.- 配套講稿:
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