2018-2019版高中數學 第一章 計數原理 1.3 二項式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數的性質學案 新人教A版選修2-3.doc

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1.3.2　“楊輝三角”與二項式系數的性質 學習目標　1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項式乘方次數不大時的各項的二項式系數.2.理解二項式系數的性質并靈活運用． 知識點　“楊輝三角”與二項式系數的性質 (a＋b)n的展開式的二項式系數，當n取正整數時可以表示成如下形式： 思考1　從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？ 答案　在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和． 思考2　計算每一行的系數和，你又能看出什么規(guī)律？ 答案　2,4,8,16,32,64，…，其系數和為2n. 思考3　二項式系數的最大值有何規(guī)律？ 答案　當n＝2,4,6時，中間一項最大，當n＝3,5時中間兩項最大． 梳理　(1)楊輝三角的特點 ①在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數相等． ②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數都等于它“肩上”兩個數的和，即C＝C＋C. (2)二項式系數的性質 性質 內容 對稱性 C＝C，即二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等 增減性與最大值 如果二項式的冪指數n是偶數，那么展開式中間一項的二項式系數最大 如果n為奇數，那么其展開式中間兩項與的二項式系數相等且同時取得最大值 各二項式 系數的和 二項展開式中各二項式系數的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n 奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 1．楊輝三角的每一斜行數字的差成一個等差數列．(　　) 2．二項式展開式的二項式系數和為C＋C＋…＋C.(　　) 3．二項式展開式中系數最大項與二項式系數最大項相同．(　　) 類型一　與楊輝三角有關的問題 例1　(1)楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數字1以外，均能被5整除，則具有類似性質的行是(　　) A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行 (2)如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：1,2,3,3,6,4,10，…，記這個數列的前n項和為S(n)，則S(16)等于(　　) A．144 B．146 C．164 D．461 考點　二項式系數的性質 題點　與楊輝三角有關的問題 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)由題意，第6行為1,6,15,20,15,6,1，第7行為1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去兩端數字1以外，均能被7整除． (2)由題干圖知，數列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，…，第15項是C，第16項是C，所以S(16)＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C) ＝C＋C－1＝164. 反思與感悟　解決與楊輝三角有關的問題的一般思路 跟蹤訓練1　如圖所示，在由二項式系數所構成的楊輝三角中，第________行中從左至右的第14個數與第15個數的比為2∶3. 考點　二項式系數的性質 題點　與楊輝三角有關的問題 答案　34 解析　由題意設第n行的第14個數與第15個數的比為2∶3，它等于二項展開式的第14項和第15項的二項式系數的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，從左至右第14個數與第15個數的比是2∶3. 類型二　二項式系數和問題 例2　已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 求下列各式的值： (1)a0＋a1＋a2＋…＋a5； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5. 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 解　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. (2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由(2x－1)5的通項Tk＋1＝C(－1)k25－kx5－k知a1，a3，a5為負值， 所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243. (3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35， 得2(a1＋a3＋a5)＝1－35. 所以a1＋a3＋a5＝＝－121. 引申探究 在本例條件下，求下列各式的值： (1)a0＋a2＋a4； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5； (3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解　(1)因為a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35. 所以a0＋a2＋a4＝＝122. (2)因為a0是(2x－1)5展開式中x5的系數， 所以a0＝25＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. (3)因為(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 所以兩邊求導數得10(2x－1)4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 反思與感悟　二項展開式中系數和的求法 (1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數之和為f(1)， 奇數項系數之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數項系數之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 跟蹤訓練2　在二項式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項式系數之和； (2)各項系數之和； (3)所有奇數項系數之和． 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 解　設(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二項式系數之和為C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各項系數之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 將兩式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝， 即所有奇數項系數之和為. 類型三　二項式系數性質的應用 例3　已知f(x)＝(＋3x2)n展開式中各項的系數和比各項的二項式系數和大992. (1)求展開式中二項式系數最大的項； (2)求展開式中系數最大的項． 考點　展開式中系數最大(小)的項問題 題點　求展開式中系數最大(小)的項 解　令x＝1，則二項式各項系數的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數之和為2n.由題意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5為奇數，∴展開式中二項式系數最大的項為中間的兩項，它們分別為T3＝C(3x2)2＝90x6，T4＝C(3x2)3＝270. (2)展開式的通項公式為Tk＋1＝C3k， 假設Tk＋1項系數最大， 則有 ∴ 即∴≤k≤，∵k∈N，∴k＝4， ∴展開式中系數最大的項為T5＝C(3x2)4＝405. 反思與感悟　(1)二項式系數的最大項的求法 求二項式系數的最大項，根據二項式系數的性質對(a＋b)n中的n進行討論． ①當n為奇數時，中間兩項的二項式系數最大． ②當n為偶數時，中間一項的二項式系數最大． (2)展開式中系數的最大項的求法 求展開式中系數的最大項與求二項式系數最大項是不同的，需要根據各項系數的正、負變化情況進行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式中系數的最大項，一般采用待定系數法．設展開式中各項系數分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項最大，應用解出k，即得出系數的最大項． 跟蹤訓練3　寫出(x－y)11的展開式中： (1)二項式系數最大的項； (2)項的系數絕對值最大的項； (3)項的系數最大的項和系數最小的項； (4)二項式系數的和； (5)各項系數的和． 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 解　(1)二項式系數最大的項為中間兩項： T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6. (2)(x－y)11展開式的通項為 Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk， ∴項的系數的絕對值為|C(－1)k|＝C， ∴項的系數的絕對值等于該項的二項式系數，其最大的項也是中間兩項，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6. (3)由(2)知中間兩項系數絕對值相等， 又∵第6項系數為負，第7項系數為正， 故項的系數最大的項為T7＝Cx5y6，項的系數最小的項為T6＝－Cx6y5. (4)展開式中，二項式系數的和為C＋C＋C＋…＋C＝211. (5)令x＝y＝1，得展開式中各項的系數和為C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0. 1．觀察圖中的數所成的規(guī)律，則a所表示的數是(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 考點　二項式系數的性質 題點　與楊輝三角有關的問題 答案　B 解析　由題圖知，下一行的數是其肩上兩數的和，所以4＋a＝10，得a＝6. 2．(1＋x)2n＋1的展開式中，二項式系數最大的項所在的項數是(　　) A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3 考點　展開式中系數最大(小)的項問題 題點　求展開式中二項式系數最大(小)的項 答案　C 解析　2n＋1為奇數，展開式中中間兩項的二項式系數最大，分別為第項，第項，即第n＋1項與第n＋2項，故選C. 3．已知n展開式中，各項系數的和與其各項二項式系數的和之比為64，則n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 考點　二項式系數的性質 題點　二項式系數與項的系數問題 答案　C 解析　令x＝1，各項系數和為4n，二項式系數和為2n，故有＝64，所以n＝6. 4．設(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為________． 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 答案?。?5 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.① 又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k， ∴當k＝4時，x4的系數a4＝16.② 由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15. 5．已知n的展開式中前三項的二項式系數的和等于37，則展開式中二項式系數最大的項的系數為________． 考點　展開式中系數的和問題 題點　多項展開式中系數的和問題 答案　 解析　由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，解得n＝8(負值舍去)，則第5項的二項式系數最大，T5＝C(2x)4＝x4，該項的系數為. 1．二項式系數的性質可從楊輝三角中直觀地看出． 2．求展開式中的系數或展開式中的系數的和、差的關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據所求的展開式系數和特征來確定．一般地對字母賦的值為0,1或－1，但在解決具體問題時要靈活掌握． 3．注意以下兩點：(1)區(qū)分開二項式系數與項的系數． (2)求解有關系數最大時的不等式組時，注意其中k∈{0,1,2，…，n}． 一、選擇題 1．如圖是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘，a，b是某行的前兩個數，當a＝7時，b等于(　　) A．20 B．21 C．22 D．23 考點　二項式系數的性質 題點　與楊輝三角有關的問題 答案　C 解析　根據觀察可知，每一行除開始和末尾的數外，中間的數分別是上一行相鄰兩個數的和，當a＝7時，上面一行的第一個數為6，第二個數為16，所以b＝6＋16＝22. 2．若n(n∈N*)的展開式中只有第6項系數最大，則該展開式中的常數項為(　　) A．210 B．252 C．462 D．10 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 答案　A 解析　由于展開式中只有第6項的系數最大，且其系數等于其二項式系數，所以展開式項數為11，從而n＝10，于是得其常數項為C＝210. 3．已知關于x的二項式n展開式的二項系數之和為32，常數項為80，則a的值為(　　) A．1 B．1 C．2 D．2 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 答案　C 解析　由條件知2n＝32，即n＝5，在通項公式Tk＋1＝C()5－kk＝Cak中，令15－5k＝0，得k＝3.所以Ca3＝80，解得a＝2. 4．(x－1)11的展開式中，x的奇次冪的系數之和是(　　) A．2 048 B．－1 023 C．－1 024 D．1 024 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 答案　D 解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11， 令x＝－1，則－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，① 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，② ＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024. 5．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，則a8的值為(　　) A．10 B．45 C．－9 D．－45 考點　二項式定理 題點　逆用二項式定理求和、化簡 答案　B 解析　x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，∴a8＝C＝C＝45. 6．設n的展開式的各項系數和為M，二項式系數和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數為(　　) A．－150 B．150 C．300 D．－300 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數 答案　B 解析　由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tk＋1＝C(5x)4－kk＝(－1)k54－kC， 令4－＝1，得k＝2， 所以展開式中x的系數為(－1)252C＝150. 7．已知(2x－1)n二項展開式中，奇次項系數的和比偶次項系數的和小38，則C＋C＋C＋…＋C的值為(　　) A．28 B．28－1 C．27 D．27－1 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 答案　B 解析　設(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次項的系數和為A，偶次項的系數和為B. 則A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…. 由已知可知，B－A＝38.令x＝－1， 得，a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n， 即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n， 即B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8. 由二項式系數性質可得， C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1. 8．關于下列(a－b)10的說法，錯誤的是(　　) A．展開式中的二項式系數之和是1 024 B．展開式的第6項的二項式系數最大 C．展開式的第5項或第7項的二項式系數最大 D．展開式中第6項的系數最小 考點　二項式系數的性質 題點　二項式系數與項的系數問題 答案　C 解析　由二項式系數的性質知C＋C＋C＋…＋C＝210＝1 024，故A正確．二項式系數最大的項為C，是展開式的第6項，故B正確．由展開式的通項為Tk＋1＝Ca10－k(－b)k＝(－1)kCa10－kbk知，第6項的系數－C最小，故D正確． 二、填空題 9．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若數列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一個單調遞增數列，則k的最大值是________． 考點　二項式系數的性質 題點　利用二項式系數的性質進行計算 答案　6 解析　(1＋x)n展開式的各項系數為其二項式系數，當n＝10時，展開式的中間項第六項的二項式系數最大，故k的最大值為6. 10．在n的展開式中，所有奇數項系數之和為1 024，則中間項系數是________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數 答案　462 解析　∵二項式的展開式中所有項的二項式系數和為2n，而所有偶數項的二項式系數和與所有奇數項的二項式系數和相等，故由題意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展開式共12項，中間項為第六項、第七項，其系數為C＝C＝462. 11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____. 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 答案　7 解析　令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12. 令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12， ∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27， ∴l(xiāng)og2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7. 三、解答題 12．設(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)求a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 解　(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100. (2)令x＝1， 可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，① 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1， 可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.② 與①式聯立相減得 a1＋a3＋…＋a99＝. (4)由①②可得，(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－…＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1. (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|，即(2＋x)100的展開式中各項系數的和，在(2＋x)100的展開式中，令x＝1，可得各項系數的和為(2＋)100. 13．已知n展開式的二項式系數之和為256. (1)求n； (2)若展開式中常數項為，求m的值； (3)若(x＋m)n展開式中系數最大項只有第6項和第7項，求m的取值情況． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數求參數 解　(1)二項式系數之和為2n＝256，可得n＝8. (2)設常數項為第k＋1項，則 Tk＋1＝Cx8－kk＝Cmkx8－2k， 故8－2k＝0，即k＝4，則Cm4＝，解得m＝. (3)易知m>0，設第k＋1項系數最大． 則化簡可得≤k≤. 由于只有第6項和第7項系數最大， 所以即 所以m只能等于2. 四、探究與拓展 14．設(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，則＝________. 考點　展開式中系數的和問題 題點　二項展開式中系數的和問題 答案?。? 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，兩式相減得2(a1＋a3＋a5)＝－63，兩式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，故＝－. 15．已知(＋x2)2n的展開式的系數和比(3x－1)n的展開式的系數和大992，求2n的展開式中： (1)二項式系數最大的項； (2)系數的絕對值最大的項． 考點　展開式中系數最大(小)的項問題 題點　求展開式中系數最大(小)的項 解　由題意得22n－2n＝992，解得n＝5. (1)10的展開式中第6項的二項式系數最大， 即T6＝C(2x)55＝－8 064. (2)設第k＋1項的系數的絕對值最大， 則Tk＋1＝C(2x)10－kk ＝(－1)kC210－kx10－2k. ∴得 即 ∴≤k≤，k∈N，∴k＝3， 故系數的絕對值最大的是第4項 T4＝(－1)3C27x4＝－15 360x4.