2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.3 二項式定理 1.3.1 二項式定理學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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1.3.1 二項式定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題. 知識點 二項式定理及其相關(guān)概念 思考1 我們在初中學(xué)習(xí)了(a+b)2=a2+2ab+b2,試用多項式的乘法推導(dǎo)(a+b)3,(a+b)4的展開式. 答案 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4. 思考2 能用類比方法寫出(a+b)n(n∈N*)的展開式嗎? 答案 能,(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn (n∈N*). 梳理 二項式定理 公式(a+b)n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn,稱為二項式定理 二項式系數(shù) C(k=0,1,…,n) 通項 Tk+1=Can-kbk 二項式定理的特例 (1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxk+…+Cxn 1.(a+b)n展開式中共有n項.( ) 2.在公式中,交換a,b的順序?qū)Ω黜棝]有影響.( ) 3.Can-kbk是(a+b)n展開式中的第k項.( ) 4.(a-b)n與(a+b)n的二項式展開式的二項式系數(shù)相同.( √ ) 類型一 二項式定理的正用、逆用 例1 (1)求4的展開式. 考點 二項式定理 題點 運用二項式定理求展開式 解 方法一 4=(3)4+C(3)3+C(3)22+C(3)3+C4=81x2+108x+54++. 方法二 4=4=(1+3x)4=[1+C3x+C(3x)2+C(3x)3+C(3x)4]=(1+12x+54x2+108x3+81x4)=++54+108x+81x2. (2)化簡:C(x+1)n-C(x+1)n-1+C(x+1)n-2-…+(-1)kC(x+1)n-k+…+(-1)nC. 考點 二項式定理 題點 逆用二項式定理求和、化簡 解 原式=C(x+1)n+C(x+1)n-1(-1)+C(x+1)n-2(-1)2+…+C(x+1)n-k(-1)k+…+C(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn. 引申探究 若(1+)4=a+b(a,b為有理數(shù)),則a+b=________. 答案 44 解析 ∵(1+)4=1+C()1+C()2+C()3+C()4=1+4+18+12+9=28+16,∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44. 反思與感悟 (1)(a+b)n的二項展開式有n+1項,是和的形式,各項的冪指數(shù)規(guī)律是:①各項的次數(shù)和等于n;②字母a按降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n逐項減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由0逐項加1直到n. (2)逆用二項式定理可以化簡多項式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點,向二項展開式的形式靠攏. 跟蹤訓(xùn)練1 化簡:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 考點 二項式定理 題點 逆用二項式定理求和、化簡 解 原式=C(2x+1)5-C(2x+1)4+C(2x+1)3-C(2x+1)2+C(2x+1)-C(2x+1)0=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5. 類型二 二項展開式通項的應(yīng)用 例2 已知二項式10. (1)求展開式第4項的二項式系數(shù); (2)求展開式第4項的系數(shù); (3)求第4項. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式特定項的系數(shù) 解 10的展開式的通項是 Tk+1=C(3)10-kk=C310-kk (k=0,1,2,…,10). (1)展開式的第4項(k=3)的二項式系數(shù)為C=120. (2)展開式的第4項的系數(shù)為C373=-77 760. (3)展開式的第4項為T4=T3+1=-77 760. 反思與感悟 (1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(k∈{0,1,2,…,n}),它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等,要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念. (2)第k+1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號,而此項的二項式系數(shù)為C.例如,在(1+2x)7的展開式中,第四項是T4=C17-3(2x)3,其二項式系數(shù)是C=35,而第四項的系數(shù)是C23=280. 跟蹤訓(xùn)練2 已知n展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162. (1)求n的值; (2)求展開式中含x3的項,并指出該項的二項式系數(shù). 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式特定項的系數(shù) 解 (1)因為T3=C()n-22=4C, T2=C()n-1=-2C, 依題意得4C+2C=162,所以2C+C=81, 所以n2=81,n∈N*,故n=9. (2)設(shè)第k+1項含x3項,則Tk+1=C()9-kk=(-2)kC,所以=3,k=1, 所以第二項為含x3的項為T2=-2Cx3=-18x3. 二項式系數(shù)為C=9. 例3 已知在n的展開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求n; (2)求含x2的項的系數(shù); (3)求展開式中所有的有理項. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式的特定項 解 通項公式為 Tk+1=C(-3)k=C(-3)k. (1)∵第6項為常數(shù)項,∴當(dāng)k=5時,有=0,即n=10. (2)令=2,得k=(10-6)=2, ∴所求的系數(shù)為C(-3)2=405. (3)由題意得, 令=t(t∈Z), 則10-2k=3t,即k=5-t.∵k∈N, ∴t應(yīng)為偶數(shù). 令t=2,0,-2,即k=2,5,8. ∴第3項,第6項與第9項為有理項,它們分別為405x2,-61 236,295 245x-2. 反思與感悟 (1)求二項展開式的特定項的常見題型 ①求第k項,Tk=Can-k+1bk-1;②求含xk的項(或xpyq的項);③求常數(shù)項;④求有理項. (2)求二項展開式的特定項的常用方法 ①對于常數(shù)項,隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項); ②對于有理項,一般是先寫出通項公式,其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其屬于整數(shù),再根據(jù)數(shù)的整除性來求解; ③對于二項展開式中的整式項,其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項一致. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)若9的展開式中x3的系數(shù)是-84,則a=________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 1 解析 展開式的通項為Tk+1=Cx9-k(-a)kk =C(-a)kx9-2k(0≤k≤9,k∈N). 當(dāng)9-2k=3時,解得k=3,代入得x3的系數(shù), 根據(jù)題意得C(-a)3=-84,解得a=1. (2)已知n為等差數(shù)列-4,-2,0,…的第六項,則n的二項展開式的常數(shù)項是________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式的特定項 答案 160 解析 由題意得n=6,∴Tk+1=2kCx6-2k, 令6-2k=0得k=3,∴常數(shù)項為C23=160. 1.(x+2)n的展開式共有11項,則n等于( ) A.9 B.10 C.11 D.8 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 B 解析 因為(a+b)n的展開式共有n+1項,而(x+2)n的展開式共有11項,所以n=10,故選B. 2.1-2C+4C-8C+…+(-2)nC等于( ) A.1 B.1 C.(-1)n D.3n 考點 二項式定理 題點 逆用二項式定理求和、化簡 答案 C 解析 逆用二項式定理,將1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n. 3.n的展開式中,常數(shù)項為15,則n的值為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 D 解析 展開式的通項為Tk+1=C(x2)n-k(-1)kk=(-1)kCx2n-3k.令2n-3k=0,得n=k(n,k∈N*),若k=2,則n=3不符合題意,若k=4,則n=6,此時(-1)4C=15,所以n=6. 4.在24的展開式中,x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有( ) A.3項 B.4項 C.5項 D.6項 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求多項展開式中的特定項 答案 C 解析 24的展開式的通項為Tk+1=C()24-kk=C,故當(dāng)k=0,6,12,18,24時,冪指數(shù)為整數(shù),共5項. 5.求二項式(-)9展開式中的有理項. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求多項展開式中的特定項 解 Tk+1=C=(-1)kC,令∈Z(0≤k≤9),得k=3或k=9, 所以當(dāng)k=3時,=4,T4=(-1)3Cx4=-84x4, 當(dāng)k=9時,=3,T10=(-1)9Cx3=-x3. 綜上,展開式中的有理項為-84x4與-x3. 1.注意區(qū)分項的二項式系數(shù)與系數(shù)的概念. 2.要牢記Can-kbk是展開式的第k+1項,不要誤認(rèn)為是第k項. 3.求解特定項時必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),根據(jù)具體要求,令其為特定值. 一、選擇題 1.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,則S等于( ) A.x4 B.x4+1 C.(x-2)4 D.x4+4 考點 二項式定理 題點 逆用二項式定理求和、化簡 答案 A 解析 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C(x-1)4+C(x-1)3+C(x-1)2+C(x-1)+C=[(x-1)+1]4=x4,故選A. 2.設(shè)i為虛數(shù)單位,則(1+i)6展開式中的第3項為( ) A.-20i B.15i C.20 D.-15 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式中的特定項 答案 D 解析 (1+i)6展開式中的第3項為Ci2=-15. 3.(x-y)10的展開式中x6y4的系數(shù)是( ) A.-840 B.840 C.210 D.-210 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式特定項的系數(shù) 答案 B 解析 在通項公式Tk+1=C(-y)kx10-k中,令k=4,即得(x-y)10的展開式中x6y4的系數(shù)為C(-)4=840. 4.在n的展開式中,若常數(shù)項為60,則n等于( ) A.3 B.6 C.9 D.12 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 B 解析 Tk+1=C()n-kk=2kC. 令=0,得n=3k. 根據(jù)題意有2kC=60,驗證知k=2,故n=6. 5.若(1+3x)n(n∈N*)的展開式中,第三項的二項式系數(shù)為6,則第四項的系數(shù)為( ) A.4 B.27 C.36 D.108 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式特定項的系數(shù) 答案 D 解析 Tk+1=C(3x)k,由C=6,得n=4,從而T4=C(3x)3,故第四項的系數(shù)為C33=108. 6.在二項式的展開式中,若前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,則展開式中有理項的項數(shù)為( ) A.5 B.4 C.3 D.2 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求多項展開式中的特定項 答案 C 解析 二項展開式的前三項的系數(shù)分別為1,C,C2,由其成等差數(shù)列,可得2C=1+C2?n=1+,所以n=8(n=1舍去).所以展開式的通項Tk+1=Ck.若為有理項,則有4-∈Z,所以k可取0,4,8,所以展開式中有理項的項數(shù)為3. 7.設(shè)函數(shù)f(x)=則當(dāng)x>0時,f(f(x))表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為( ) A.4 B.6 C.8 D.10 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式的特定項 答案 B 解析 依據(jù)分段函數(shù)的解析式, 得f(f(x))=f(-)=4, ∴Tk+1=C(-1)kxk-2. 令k-2=0,則k=2,故常數(shù)項為C(-1)2=6. 二、填空題 8.7的展開式中倒數(shù)第三項為________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式的特定項 答案 解析 由于n=7,可知展開式中共有8項, ∴倒數(shù)第三項即為第六項, ∴T6=C(2x)25=C22=. 9.若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+nx+1(n∈N*),且a∶b=3∶1,那么n=________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 11 解析 a=C,b=C.∵a∶b=3∶1, ∴==,即=3, 解得n=11. 10.已知正實數(shù)m,若x10=a0+a1(m-x)+a2(m-x)2+…+a10(m-x)10,其中a8=180,則m的值為________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 2 解析 由x10=[m-(m-x)]10,[m-(m-x)]10的二項展開式的第9項為Cm2(-1)8(m-x)8, ∴a8=Cm2(-1)8=180, 則m=2.又m>0,∴m=2. 11.使n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 5 解析 展開式的通項公式Tk+1=C(3x)n-kk, ∴Tk+1=3n-kC,k=0,1,2,…,n. 令n-k=0,n=k, 故最小正整數(shù)n=5. 三、解答題 12.若二項式6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A,常數(shù)項為B,且B=4A,求a的值. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 解 ∵Tk+1=Cx6-kk=(-a)kC, 令6-=3,則k=2,得A=Ca2=15a2; 令6-=0,則k=4,得B=Ca4=15a4. 由B=4A可得a2=4,又a>0, ∴a=2. 13.已知在n的展開式中,第9項為常數(shù)項,求: (1)n的值; (2)展開式中x5的系數(shù); (3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù). 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求多項展開式中的特定項 解 已知二項展開式的通項為Tk+1=Cn-kk=(-1)kn-kC. (1)因為第9項為常數(shù)項,即當(dāng)k=8時,2n-k=0, 解得n=10. (2)令210-k=5,得k=(20-5)=6. 所以x5的系數(shù)為(-1)64C=. (3)要使2n-k,即為整數(shù),只需k為偶數(shù),由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6項,分別為展開式的第1,3,5,7,9,11項. 四、探究與拓展 14.設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),n的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點Ai(i,ai) (i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=________. 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案 3 解析 由題意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4). 即a0=1,a1=3,a2=4. 由n的展開式的通項公式知Tk+1=Ck(k=0,1,2,…,n). 故=3,=4,解得a=3. 15.設(shè)f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中含x項的系數(shù)是19(m,n∈N*). (1)求f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)的最小值; (2)當(dāng)f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)取最小值時,求f(x)的展開式中含x7項的系數(shù). 考點 二項展開式中的特定項問題 題點 求二項展開式特定項的系數(shù) 解 (1)由題設(shè)知m+n=19,所以m=19-n, 含x2項的系數(shù)為C+C=C+C =+ =n2-19n+171=2+. 因為n∈N*,所以當(dāng)n=9或n=10時,x2項的系數(shù)的最小值為2+=81. (2)當(dāng)n=9,m=10或n=10,m=9時,x2項的系數(shù)取最小值,此時x7項的系數(shù)為C+C=C+C=156.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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