2018高中數(shù)學(xué) 初高中銜接讀本 專題3.1 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)高效演練學(xué)案.doc

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第1講 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì) 二次函數(shù)是初中函數(shù)的主角，所蘊含的函數(shù)性質(zhì)豐富，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)． 【知識梳理】 1.二次函數(shù)解析式的三種形式： 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0). 頂點式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標(biāo)為(m，n). 零點式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f (x)的零點. 2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱 3.二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”。 【高效演練】 1. 拋物線 y ＝( x －2) 2 +3的頂點坐標(biāo)是（　?。? A. (2,3) B. (－2,3) C. (2，－3) D. (－2，－3) 【解析】二次函數(shù) y ＝ a ( x － h ) 2 + k ( a ≠0)的頂點坐標(biāo)是( h ， k )， 所以y ＝( x －2) 2 +3的頂點坐標(biāo)是(2，3)，故選：A. 【答案】A 2. 把拋物線 y ＝－ x 2 向右平移1個單位，然后向下平移3個單位，則平移后拋物線的表達式為（　　）． A. y ＝－( x －1) 2 +3 B. y ＝－( x +1) 2 +3 C. y ＝－( x －1) 2 －3 D. y ＝－( x +1) 2 －3 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象平移規(guī)律可知： 把拋物線向右平移1個單位，然后向上平移3個單位， 則平移后拋物線的解析式為：故選C. 【答案】C 3．對于二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（　?。? A. 開口向下 B．對稱軸是x=﹣1 C．頂點坐標(biāo)是（1，2） D．與x軸有兩個交點 【解析】二次函數(shù)y=（x﹣1）2+2的圖象開口向上，頂點坐標(biāo)為（1，2），對稱軸為直線x=1，拋物線 與x軸沒有公共點．故選：C． 【答案】C 4．已知反比例函數(shù)y=（a≠0），當(dāng)x＞0時，它的圖象y隨x的增大而減小，那么二次函數(shù)y=ax2﹣ax的圖象只可能是（　　） A B． C． D． 5．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點M是直線y=2與x軸之間的一個動點，且點M是拋物線y=x2+bx+c的頂點，則方程x2+bx+c=1的解的個數(shù)是（　?。? A． 0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2 【解析】分三種情況： 點M的縱坐標(biāo)小于1，方程x2+bx+c=1的解是2個不相等的實數(shù)根； 點M的縱坐標(biāo)等于1，方程x2+bx+c=1的解是2個相等的實數(shù)根；[] 點M的縱坐標(biāo)大于1，方程x2+bx+c=1的解的個數(shù)是0． 故方程x2+bx+c=1的解的個數(shù)是0，1或2．故選：D． 【答案】D 6．若拋物線y=2x2﹣mx﹣m的對稱軸是直線x=2，則m=　8　． 【解析】由題意得，﹣=2，解得m=8． 【答案】8 7. 已知拋物線 y ＝ ax 2 + bx + c ( a ＞0)的對稱軸為直線 x ＝1，且經(jīng)過點(－1， y 1 )，(2， y 2 )，試比較 y 1 和 y 2 的大?。?y 1 __________ y 2 (填“＞”“＜”或“＝”)． 【解析】試題解析：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1， 而1-（-1）=2，2-1=1， ∴點（-1，y1）離對稱軸的距離比點（2，y2）要遠(yuǎn)， ∴y1＞y2． 【答案】＞ 8．如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（2，0），（0，2）， 則拋物線的對稱軸是　??；若y＞2，則自變量x的取值范圍是　?。? 【解析】∵拋物線與x軸的交點坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（2，0）， ∵對稱軸為x==； ∵拋物線與y軸的交點坐標(biāo)分別為（0，2），對稱軸為x=， ∴拋物線還經(jīng)過點（1，2）， ∴y＞2，則自變量x的取值范圍是 0＜x＜1， 【答案】x=，0＜x＜1． 9.某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(元)滿足一次函數(shù)． (1) 寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價之間的函數(shù)關(guān)系式； (2) 若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？ 10.在數(shù)學(xué)拓展課上，小明同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對新函數(shù)y=x2﹣2|x|的圖象和性質(zhì)進行了探究，探究過程如下： 【初步嘗試】求二次函數(shù)y=x2﹣2x的頂點坐標(biāo)及與x軸的交點坐標(biāo)； 【類比探究】當(dāng)函數(shù)y=x2﹣2|x|時，自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，下表為y與x的幾組對應(yīng)值． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 ﹣1 0 3 … ①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中描點，并畫出了函數(shù)圖象的一部分，請你畫出該函數(shù)圖象的另一部分； ②根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)． 【深入探究】若點M（m，y1）在圖象上，且y1≤0，若點N（m+k，y2）也在圖象上，且滿足y2≥3恒成立，求k的取值范圍． 【分析】利用配方法將y=x2﹣2x化為頂點式，即可求出頂點坐標(biāo)，令y=0，解方程x2﹣2x=0，求出x的值，即可得出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)； 類比探究：①根據(jù)表中數(shù)據(jù)描點連線，即可畫出該函數(shù)圖象的另一部分； ②根據(jù)畫出的函數(shù)圖象，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)； 深入探究：根據(jù)圖象可知y1≤0時，﹣2≤m≤2；y2≥3時，m+k≤﹣3或m+k≥3，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出k的取值范圍． 【解析】【初步嘗試】∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1， ∴此拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，﹣1）； 令y=0，則x2﹣2x=0， 解得x1=0，x2=2， ∴此拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（0，0），（2，0）； 【類比探究】①如圖所示： ②函數(shù)圖象的性質(zhì)： 1．圖象關(guān)于y軸對稱； 2．當(dāng)x取1或﹣1時，函數(shù)有最小值﹣1； 【深入探究】根據(jù)圖象可知， 當(dāng)y1≤0時，﹣2≤m≤2， 當(dāng)y2≥3時，m+k≤﹣3或m+k≥3， 則k≤﹣5或k≥5． 故k的取值范圍是k≤﹣5或k≥5． 【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 11. 【問題情境】已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長為多少時，它的周長最??？最小值是多少？ 【數(shù)學(xué)模型】 設(shè)該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數(shù)表達式為y=2（x+）（x＞0）． 【探索研究】 小彬借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)y=x+的圖象性質(zhì)． （1）結(jié)合問題情境，函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是x＞0，下表是y與x的幾組對應(yīng)值． x … 1 2 3 m … y … 4 3 2 2 2 3 4 … ①寫出m的值； ②畫出該函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，得出當(dāng)x=　1　時，y有最小值，y最小=　2?。? 提示：在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（?。┲禃r，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．試用配方法求函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值，解決問題（2） 【解決問題】 （2）直接寫出“問題情境”中問題的結(jié)論． 【分析】（1）①由題意可得m=4；②根據(jù)圖象所反映的特點寫出即可；根據(jù)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進行配方即可得到最小值； （2）根據(jù)完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，進行配方得到y(tǒng)=2[（﹣）2+2 ]，即可求出答案； 【解析】（1）①由題意m=4． ②函數(shù)y=x+的圖象如圖： 觀察圖象可知，當(dāng)x=1時，函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值是2． 故答案為1，2． y=x+==+2 ∵x＞0，所以 ≥0， 所以當(dāng)x=1時，的最小值為0， ∴函數(shù)y=x+（x＞0）的最小值是2． （2）∵y=2[（﹣）2+2 ]=2（﹣）2+4， ∴當(dāng)=時，y的值最小，最小值為4， ∴當(dāng)x=時，y的值最小，最小值為4， 答：矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0）， 當(dāng)該矩形的長為 時，它的周長最小，最小值是4 ． 【點評】本題主要考查對完全平方公式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用學(xué)過的性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．