1010 抽樣方法 總體分布的估計

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1、10.10 抽樣方法 總體分布的估計 一、明確復習目標 　 1.會用隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣等常用的抽樣方法從總體中抽取樣本 2.會用樣本頻率分布去估計總體分布 3.了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì) 4.了解線性回歸的方法和簡單應(yīng)用 二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò) 1.簡單隨機抽樣：設(shè)一個總體的個體數(shù)為N．如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機抽樣. ⑴簡單隨機抽樣的特點:逐個抽取，不放回抽樣,各個個體被抽到的概率相等.簡單隨機抽樣方法是其他更復雜抽樣方法的基礎(chǔ)． (2)簡單隨機抽樣的兩種方法: ①抽簽法：編號寫簽,

2、攪拌均勻，逐個抽取.先后抽取概率均等. 抽簽法簡便易行，適用于個體數(shù)不太多總體． 　 ②隨機數(shù)表法：“三步曲”：第一步，將總體中的個體編號；第二步，選定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號碼 2.系統(tǒng)抽樣:當總體中的個體數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣． 系統(tǒng)抽樣的步驟：（總體中的個體的個數(shù)為N，樣本容量為n） ①采用隨機的方式將總體中的個體編號.為簡便起見，有時可直接采用個體所帶有的號碼，如考生的準考證號、街道上各戶的門牌號，等等 ②確定分段(部分)的間隔k當是整數(shù)時，k=;當不是整數(shù)時，

3、先從總體中用簡單隨機抽樣剔除一些個體,使剩下的總體中個體數(shù)能被n整除，取k=. ③在第一段用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號. ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個編號+k,第3個編號+2k，……） 與簡單隨機抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的. 可以證明:當n不能整除N時,先刎除的個體與其它個體一樣,被抽的概率也是1/N. 3.分層抽樣: 當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層. 簡單隨機抽樣,系統(tǒng)抽樣,分層抽

4、樣都是等概率抽樣,簡單隨機抽樣是基礎(chǔ),系統(tǒng)抽樣的第一部分和分層抽樣的每一層都采用簡單隨機抽樣. 隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣 4.頻率分布：用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示. 5.總體分布：從總體中抽取一個個體，就是一次隨機試驗，從總體中抽取一個容量為n的樣本，就是進行了n次試驗，試驗連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布. 總體分布是不易知道的,通常

5、用“樣本頻率分布估計總體分布”，這是統(tǒng)計的基本思想方法，樣本容量越大,估計越精確. 總體密度曲線 b a x O y 6.總體密度曲線:如果ξ是連續(xù)型隨機變量,就把ξ的取值區(qū)間分組,當樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率,那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間（a，b）內(nèi)取值的概率等于該區(qū)間上總體密度曲線與x軸、直線x=a、x=b所圍成曲邊梯形的面積。 　　總體分布密度密度曲線函數(shù)y=f

6、(x)的兩條基本性質(zhì)： 　?、賔(x) ≥0(x∈R)；②由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為1。 7.正態(tài)分布: 象測量的誤差、產(chǎn)品的尺寸等總體分布密度曲線可用 ，（σ＞0，-∞＜x＜∞） 近似表示,這樣的分布中正態(tài)分布, 記為,f(x)叫正態(tài)分布密度函數(shù).其中π是圓周率；e是自然對數(shù)的底；x是隨機變量的取值；μ為正態(tài)分布的均值；σ是正態(tài)分布的標準差. (1)正態(tài)分布由參數(shù)μ、σ唯一確定，如果隨機變量～N(μ，σ2)，根據(jù)定義有：μ=E，σ=D。 (2)正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)： ①在x軸的上方，與x軸不相交。 ②關(guān)于直線x =μ對稱。 ③在x =μ時位于最高點。 ④當x <

7、μ時，曲線上升；當x >μ時，曲線下降。并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。 ⑤當μ一定時，曲線的形狀由σ確定。σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。 8.標準正態(tài)曲線:當μ=0、σ=l時，叫標準正態(tài)總體， 分布密度函數(shù):，（-∞＜x＜+∞）,相應(yīng)的曲線叫標準正態(tài)曲線. 標準正態(tài)總體N（0，1）中，總體取值小于的概率，P(x0時, 可由標準正態(tài)分布表查得.當時，； Φ（0）=0.5.． 任何正態(tài)分布的概率問題均可通過轉(zhuǎn)化成標準正態(tài)總體. 9.假設(shè)檢驗的思想:小概率事件不能

8、發(fā)生——假設(shè)某種指標服從正態(tài)分布N（μ，σ2）；（2）確定一次試驗中的取值a；（2）作出統(tǒng)計推斷：若a∈（μ－3σ，μ+3σ），則接受假設(shè)，若a（μ－3σ，μ+3σ），則拒絕假設(shè). 10．線性回歸: 變量與變量之間的關(guān)系大致可分為為兩類:確定的函數(shù)關(guān)系,和不確定的相關(guān)關(guān)系,不確定的兩變量之間也有規(guī)律可循,回歸分析就是研究這種相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)理統(tǒng)計方法. 如果n組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2),……(xn,yn)對應(yīng)的點大致分布在一條直線附近,這條直線就叫回歸直線,方程為，其中a、b是待定系數(shù)． ，,　, 三、雙基題目練練手 1.一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和

9、頻率分別為40、0.125，則n的值為 ( ) A.640 B.320 C.240 D.160 2.(2006江蘇)某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則｜x－y｜的值為（ ） （A）1　　　　 （B）2　　　　　 （C）3　　　　　（D）4 3.（2006重慶）為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為歲－18歲的男生體重（㎏），得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學生中體重在的學生人數(shù)是 (

10、 ) （A）20 （B）30 （C）40 （D）50 4.某廠生產(chǎn)的零件外直徑ξ～N（8.0，1.52）（mm），今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為7.9 mm和7.5 mm，則可認為 A.上、下午生產(chǎn)情況均為正常 B.上、下午生產(chǎn)情況均為異常 C.上午生產(chǎn)情況正常，下午生產(chǎn)情況異常 D.上午生產(chǎn)情況異常，下午生產(chǎn)情況正常 5. 隨機變量ξ～N（0，1），如果P（ξ<1）=0.8413，則P（－1<ξ<0）=_______. 6.為考慮廣告費用x與銷售額y之間的關(guān)系，抽取了5家餐廳，得到如下數(shù)據(jù)：(表中單位是

11、千元) 廣告費 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0 銷售額 19.0 44.0 40.0 52.0 53.0 現(xiàn)要使銷售額達到6萬元，則需廣告費用為______.（保留兩位有效數(shù)字） ◆答案:1-4.BDCC; 4.根據(jù)3σ原則，在8+3×1.5=8.45,與8－3×1.5=7.55,之外時為異常.答案：C; 5.P（－1<ξ<0）=P（0<ξ<1）=Φ（1）－Φ（0）=0.8413－0.5=0.3413. 6.先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬元. 答案：1.5萬元 四、經(jīng)典例題做一做 【例1】某批零件共160個，其中，一級品

12、48個，二級品64個，三級品32個，等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同. 解：（1）簡單隨機抽樣法：可采取抽簽法，將160個零件按1～160編號，相應(yīng)地制作1～160號的160個簽，從中隨機抽20個.顯然每個個體被抽到的概率為=. （2）系統(tǒng)抽樣法：將160個零件從1至160編上號，按編號順序分成20組，每組8個.然后在第1組用抽簽法隨機抽取一個號碼，如它是第k號（1≤k≤8），則在其余組中分別抽取第k+8n（n=1，2，3，…，19）號，此時每個個體被抽到的概率為. （3）分層抽樣法：按比例

13、=，分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取48×=6個，64×=8個，32×=4個，16×=2個，每個個體被抽到的概率分別為，，，，即都是. 綜上可知，無論采取哪種抽樣，總體的每個個體被抽到的概率都是. 點評：三種抽樣方法的共同點就是每個個體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性. y a ox 3 x 2 1 【例2】設(shè)隨機變量ξ的概率密度函數(shù)為 , 求(1)常數(shù)a的值; (2)P(ξ<2)及F(x)=P(ξ

14、)=P(ξ

15、即1－P（ξ<80）≥1－0.01，∴P（ξ<80）≤0.01. ∴Φ（）≤0.01=Φ（－2.327）. ∴≤－2.327. ∴d≤81.1635. 故d至少為81.1635. ◆提煉方法：（1）若ξ～N（μ，σ），則η=～N（0，1）.（2）標準正態(tài)分布的密度函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，x<0時，f（x）為增函數(shù)，x>0時，f（x）為減函數(shù). 【例4】 (2006湖北)在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70，100）。已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名。 （Ⅰ）試問此次參賽的學生總數(shù)約為多少人？ （Ⅱ）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的

16、學生，試問設(shè)獎的分數(shù)約為多少分？ 可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表 x0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278

17、 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 解：（1）設(shè)參賽學生的分布數(shù)為ξ，因

18、為ξ～N(70,100)，由條件知： 這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％ 因此，參賽總?cè)藬?shù)約為 （2）假定設(shè)獎的分數(shù)線為分，則 即，查表得，解得 故設(shè)獎的分數(shù)線約為83分. 【研討.欣賞】 設(shè)有一樣本x1，x2，…，xn，其標準差為sx，另有一樣本y1，y2，…，yn，其中yi=3xi+2（i=1，2，…，n），其標準差為sy，求證：sy=3sx. 證明：∵=， ∴= = ==3+2. ∴sy2=［（y12+y22+…+yn2）－n 2］ =［（3x1+2）2+（3x2+2）2+…+（3xn+2）2－n（3+2）2］

19、 =［9（x12+x22+…+xn2）+12（x1+x2+…+xn）+4n－n（92+12+4）］ =［（x12+x22+…+xn2）－n2］=9sx2. ∵sx≥0，sy≥0， ∴sy=3sx. 五．提煉總結(jié)以為師 1、理解三種抽樣方法的特點； 2、用樣本的頻率去估計總體分布； 3、正態(tài)分布的意義、主要性質(zhì)及應(yīng)用； 4、了解線性回歸的方法，會求線性回歸方程。 同步練習 10.10 抽樣方法 總體分布的估計 【選擇題】 1.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本，則某特定個體入樣的概率是 A. B. C.

20、 D. 2. 某公司在甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項調(diào)查為②.則完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法 C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D.簡單隨機抽樣法，分層抽樣法 分析：此題為抽樣方法的選取問題.當總體中個體較多時宜采用系統(tǒng)抽樣；當總體中的個體差異較大時，宜采用分層抽樣；當總體中個體較少時，宜采用隨機

21、抽樣. 3.（2004年江蘇，6）某校為了了解學生的課外閱讀情況，隨機調(diào)查了50名學生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學生這一天平均每人的課外閱讀時間為( ) A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h 4..如果隨機變量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1， 則P（－1＜ξ≤1）等于 ( ) A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2） 【填空題】 5.（2003全國）某公司生產(chǎn)三種型號的轎車，產(chǎn)

22、量分別為1200輛、6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取______輛、______輛、______輛. 6.（2006全國Ⅱ）一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）。為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在（元）月收入段應(yīng)抽出_____人。 ◆練習簡答：1-4.CBBB; 3.一天平均每人的課外閱讀時間應(yīng)為一天的總閱讀時間與學生數(shù)的比，即=0.9 h.,答案：B

23、 4.對正態(tài)分布，μ=Eξ=3，σ2=Dξ=1，故P（－1＜ξ≤1）=Φ（1－3）－Φ（－1－3）=Φ（－2）－Φ（－4）=Φ（4）－Φ（2）.答案：B 5. 分層抽樣，抽樣比例為=，分別有6輛、30輛、10輛; 6.25人. 【解答題】 7. 某批零件共160個，其中，一級品48個，二級品64個，三級品32個，等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同. 剖析：要說明每個個體被取到的概率相同，只需計算出用三種抽樣方法抽取個體時，每個個體被取到的概率. 解：（1）簡單隨機抽樣法：可采取抽簽法，

24、將160個零件按1～160編號，相應(yīng)地制作1～160號的160個簽，從中隨機抽20個.顯然每個個體被抽到的概率為=. （2）系統(tǒng)抽樣法：將160個零件從1至160編上號，按編號順序分成20組，每組8個.然后在第1組用抽簽法隨機抽取一個號碼，如它是第k號（1≤k≤8），則在其余組中分別抽取第k+8n（n=1，2，3，…，19）號，此時每個個體被抽到的概率為. （3）分層抽樣法：按比例=，分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取48×=6個，64×=8個，32×=4個，16×=2個，每個個體被抽到的概率分別為，，，，即都是. 綜上可知，無論采取哪種抽樣，總體的每個個體被抽到的概率都是.

25、評述：三種抽樣方法的共同點就是每個個體被抽到的概率相同，這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性. 8. 已知連續(xù)型隨機變量ε的概率密度函數(shù)，且f(x) ≥0，求常數(shù)k的值，并計算概率P(1.5≤ε<2.5)。 　 分析:凡是計算連續(xù)型隨機變量ε的密度函數(shù)f(x)中的參數(shù)、概率P(a≤ε≤b)都需要通過求面積來轉(zhuǎn)化而求得。若f(x) ≥0且在[a，b]上為線性，那么P(a≤ε≤b)的值等于以b-a為高，f(a)與f(b)為上、下底的直角梯形的面積，即 。 解: ∵ ∴； 　 9. 一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利

26、潤x（萬元）分別服從正態(tài)分布N（8，32）和N（6，22），投資者要求利潤超過5萬元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個方案? 解：對第一個方案，有x～N（8，32），于是P（x>5）=1－P（x≤5）=1－F（5）=1－Φ（）=1－Φ（－1）=1－［1－Φ（1）]=Φ（1）=0.8413. 對第二個方案，有x～N（6，22），于是P（x>5）=1－P（x≤5）=1－F（5）=1－Φ（）=1－Φ（－0.5）=Φ（0.5）=0.6915. 相比之下，“利潤超過5萬元”的概率以第一個方案為好，可選第一個方案. 10.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設(shè)計的，如

27、果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），問車門應(yīng)設(shè)計多高？ 解：設(shè)公共汽車門的設(shè)計高度為x cm，由題意，需使P（ξ≥x）＜1%. ∵ξ～N（173，72），∴P（ξ≤x）=Φ（）＞0.99. 查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽車門的高度應(yīng)設(shè)計為190 cm，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞. 【探索題】已知測量誤差ξ～N（2，100）（cm），必須進行多少次測量，才能使至少有一次測量誤差的絕對值不超過8 cm的頻率大于0.9? 解：設(shè)η表示n次測量中絕對誤差不超過8 cm的次數(shù)，則η～B（n，p）. 其中P=P（|ξ|<8）=Φ（）－Φ（）=Φ（0.6）－1+Φ（1）=0.7258－1+0.8413=0.5671. 由題意，∵P（η≥1）>0.9，n應(yīng)滿足P（η≥1）=1－P（η=0）=1－（1－p）n>0.9， ∴n>==2.75. 因此，至少要進行3次測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過8 cm的概率大于0.9.