2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 習題課 二項式定理學案 新人教A版選修2-3.doc

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習題課　二項式定理 學習目標　1.能熟練地掌握二項式定理的展開式及有關概念.2.會用二項式定理解決與二項式有關的簡單問題． 1．二項式定理及其相關概念 二項式定理 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，稱為二項式定理 二項式系數(shù) C(k＝0,1，…，n) 通項 Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1，…n) 二項式定理的特例 (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn 2．二項式系數(shù)的四個性質(zhì)(楊輝三角的規(guī)律) (1)對稱性：C＝C； (2)性質(zhì)：C＝C＋C； (3)二項式系數(shù)的最大值：當n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值，即最大；當n是奇數(shù)時，中間的兩項相等，且同時取得最大值，即＝最大； (4)二項式系數(shù)之和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n，所用方法是賦值法． 類型一　二項式定理的靈活應用 例1　(1)(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝________. 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中特定項的系數(shù) 答案　(1)B　(2)－1 解析　(1)方法一　(1－)6的展開式的通項為C(－)m＝C(－1)m，(1＋)4的展開式的通項為C()n＝C，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4. 令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)等于C(－1)0C＋C(－1)1C＋C(－1)2C＝－3. 方法二　(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)，于是(1－)6(1＋)4的展開式中x的系數(shù)為C1＋C(－1)11＝－3. (2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2的系數(shù)為C＋aC， 則10＋5a＝5，解得a＝－1. 反思與感悟　兩個二項式乘積的展開式中特定項問題 (1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點． (2)找到構成展開式中特定項的組成部分． (3)分別求解再相乘，求和即得． 跟蹤訓練1　(1)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式的常數(shù)項為(　　) A．－40 B．－20 C．20 D．40 (2)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝________. 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中特定項的系數(shù) 答案　(1)D　(2)120 解析　(1)令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1， 故5的展開式中常數(shù)項即為5的展開式中與x的系數(shù)之和． 5的展開式的通項為Tk＋1＝(－1)kC25－kx5－2k， 令5－2k＝1，得k＝2， ∴展開式中x的系數(shù)為C25－2(－1)2＝80， 令5－2k＝－1，得k＝3， ∴展開式中的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40， ∴5的展開式中常數(shù)項為80－40＝40. (2)f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 例2　5的展開式中的常數(shù)項是________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 答案　 解析　方法一　原式＝5， ∴展開式的通項為＝(k1＝0,1,2，…，5)． 當k1＝5時，T6＝()5＝4， 當0≤k1<5時，的展開式的通項公式為 ＝＝(k2＝0,1,2，…，5－k1)． 令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5. ∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或 ∴常數(shù)項為4＋CC2＋CC()3 ＝4＋＋20＝. 方法二　原式＝5＝[(x＋)2]5 ＝(x＋)10. 求原式的展開式中的常數(shù)項，轉化為求(x＋)10的展開式中含x5項的系數(shù)，即C()5. ∴所求的常數(shù)項為＝. 反思與感悟　三項或三項以上的展開問題，應根據(jù)式子的特點，轉化為二項式來解決，轉化的方法通常為配方法，因式分解，項與項結合，項與項結合時，要注意合理性和簡捷性． 跟蹤訓練2　(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 答案　30 解析　方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的項為T3＝C(x2＋x)3y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項為Cx4x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30. 方法二　(x2＋x＋y)5為5個x2＋x＋y之積，其中有兩個取y，兩個取x2，一個取x即可，所以x5y2的系數(shù)為CCC＝30. 例3　今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 考點　二項式定理的綜合應用 題點　整除和余數(shù)問題 答案　A 解析　求第810天是星期幾，實質(zhì)是求810除以7的余數(shù)，應用二項式定理將數(shù)變形求余數(shù)． 因為810＝(7＋1)10＝710＋C79＋…＋C7＋1＝7M＋1(M∈N*)， 所以第810天相當于第1天，故為星期一． 反思與感悟　(1)利用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項式定理展開，只考慮后面(或前面)一、二項就可以了． (2)解決求余數(shù)問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式． 跟蹤訓練3　設a∈Z，且0≤a<13，若512 017＋a能被13整除，則a＝________. 考點　二項式定理的綜合應用 題點　整除和余數(shù)問題 答案　1 解析　∵512 017＋a＝(52－1)2 017＋a＝C522 017－C522 016＋C522 015－…＋C521－1＋a， 能被13整除，0≤a<13. 故－1＋a能被13整除，故a＝1. 類型二　二項式系數(shù)的綜合應用 例4　已知n. (1)若展開式中第五項、第六項、第七項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)； (2)若展開式中前三項的二項式系數(shù)之和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 考點　展開式中系數(shù)最大(小)的項問題 題點　求展開式中系數(shù)最大(小)的項 解　(1)由已知得2C＝C＋C， 即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14. 當n＝7時展開式中二項式系數(shù)最大的項是第四項和第五項， ∵T4＝C4(2x)3＝x3，T5＝C3(2x)4＝70x4， ∴第四項的系數(shù)是，第五項的系數(shù)是70. 當n＝14時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是第八項，它的系數(shù)為C727＝3 432. (2)由C＋C＋C＝79，即n2＋n－156＝0. 得n＝－13(舍去)或n＝12. 設Tk＋1項的系數(shù)最大， ∵12＝12(1＋4x)12， 由 解得9.4≤k≤10.4. ∵0≤k≤n，k∈N， ∴k＝10. ∴展開式中系數(shù)最大的項是第11項， 即T11＝12C410x10＝16 896x10. 反思與感悟　解決此類問題，首先要分辨二項式系數(shù)與二項展開式的項的系數(shù)，其次理解記憶其有關性質(zhì)，最后對解決此類問題的方法作下總結，尤其是有關排列組合的計算問題加以細心． 跟蹤訓練4　已知n展開式中二項式系數(shù)之和比(2x＋xlg x)2n展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和少112，第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項的值為1 120，求x. 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理的簡單應用 解　依題意得2n－22n－1＝－112， 整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4， 所以第二個展開式中二項式系數(shù)最大的項是第五項． 依題意得C(2x)4(xlg x)4＝1 120， 化簡得x4(1＋lg x)＝1， 所以x＝1或4(1＋lg x)＝0， 故所求x的值為1或. 1．在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式特定項的系數(shù) 答案　C 解析　因為(1＋x)6的展開式的第(k＋1)項為Tk＋1＝Cxk，x(1＋x)6的展開式中含x3的項為Cx3＝15x3，所以系數(shù)為15. 2．在(x＋y)n的展開式中，第4項與第8項的系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項是(　　) A．第6項 B．第5項 C．第5、6項 D．第6、7項 考點　展開式中系數(shù)最大(小)的項問題 題點　求二項式系數(shù)最大(小)的項 答案　A 解析　∵C＝C，∴n＝3＋7＝10， ∴展開式中系數(shù)最大的項是第6項． 3．已知x>0，則(1＋x)1010的展開式中的常數(shù)項為(　　) A．1 B．(C)2 C．C D．C 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 答案　D 解析　(1＋x)1010＝10＝10＝20.設其展開式的通項為Tk＋1，則Tk＋1＝Cx10－k，當k＝10時，為常數(shù)項．故選D. 4．當n為正奇數(shù)時，7n＋C7n－1＋C7n－2＋…＋C7被9除所得的余數(shù)是(　　) A．0 B．2 C．7 D．8 考點　二項式定理的綜合應用 題點　整除和余數(shù)問題 答案　C 解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C9n－1＋C9n－2－…＋C9(－1)n－1＋(－1)n－1.因為n為正奇數(shù)，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余數(shù)為7. 5．設(2－1)n的展開式的各項系數(shù)之和為M，二項式系數(shù)之和為N，若M,8，N三數(shù)成等比數(shù)列，則展開式中第四項為________． 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　二項展開式中系數(shù)的和問題 答案　－160x 解析　當x＝1時，可得M＝1，二項式系數(shù)之和N＝2n， 由題意，得MN＝64，∴2n＝64，∴n＝6. ∴第四項T4＝C(2)3(－1)3＝－160x. 1．兩個二項展開式乘積的展開式中特定項問題 (1)分別對每個二項展開式進行分析，發(fā)現(xiàn)它們各自項的特點． (2)找到構成展開式中特定項的組成部分． (3)分別求解再相乘，求和即得． 2．三項或三項以上的展開問題 應根據(jù)式子的特點，轉化為二項式來解決(有些題目也可轉化為計數(shù)問題解決)，轉化的方法通常為配方、因式分解、項與項結合，項與項結合時要注意合理性和簡捷性． 3．用二項式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮后面(或者前面)一、二項就可以了． 4．求二項展開式中各項系數(shù)的和差：賦值代入． 5．確定二項展開式中的最大或最小項：利用二項式系數(shù)的性質(zhì)． 一、選擇題 1．二項式12的展開式中的常數(shù)項是(　　) A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求二項展開式的特定項 答案　C 解析　二項展開式中的通項公式為Tk＋1＝Cx12－kk＝C2k，令12－k＝0，得k＝8. ∴常數(shù)項為第9項． 2．(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中特定項的系數(shù) 答案　D 解析　因為(1＋x)8的通項為Cxk，(1＋y)4的通項為Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通項為CCxkyt. 令k＝2，t＝2，得x2y2的系數(shù)為CC＝168. 3．若(x＋3y)n的展開式中所有項的系數(shù)的和等于(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和，則n的值為(　　) A．15 B．10 C．8 D．5 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　二項展開式中系數(shù)的和問題 答案　D 解析　由于(7a＋b)10的展開式中二項式系數(shù)的和為C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y(tǒng)＝1，則由題設知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5. 4．若二項式7的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)a等于(　　) A．2 B. C．1 D. 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　由特定項或特定項的系數(shù)求參數(shù) 答案　C 解析　二項式7的展開式的通項公式為Tk＋1＝C(2x)7－kk＝C27－kakx7－2k， 令7－2k＝－3，得k＝5. 故展開式中的系數(shù)是C22a5，即C22a5＝84，解得a＝1. 5．設m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 考點　展開式中系數(shù)最大(小)的項問題 題點　求展開式中二項式系數(shù)最大(小)的項 答案　B 解析　∵(x＋y)2m展開式中二項式系數(shù)的最大值為C，∴a＝C.同理，b＝C. ∵13a＝7b，∴13C＝7C， ∴13＝7，∴m＝6. 6．二項式6的展開式中不含x3項的系數(shù)之和為(　　) A．20 B．24 C．30 D．36 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　二項展開式中系數(shù)的和問題 答案　A 解析　由二項式的展開式的通項公式Tk＋1＝C(－1)kx12－3k，令12－3k＝3，解得k＝3，故展開式中x3項的系數(shù)為C(－1)3＝－20，而所有系數(shù)和為0，不含x3項的系數(shù)之和為20. 7．在(1＋x)n(n為正整數(shù))的二項展開式中，奇數(shù)項的和為A，偶數(shù)項的和為B，則(1－x2)n的值為(　　) A．0 B．AB C．A2－B2 D．A2＋B2 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　二項展開式中系數(shù)的和問題 答案　C 解析　∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2. 8．9192被100除所得的余數(shù)為(　　) A．1 B．81 C．－81 D．992 考點　二項式定理的綜合應用 題點　整除和余數(shù)問題 答案　B 解析　利用9192＝(100－9)92的展開式，或利用(90＋1)92的展開式． 方法一　(100－9)92＝C10092－C100919＋C1009092－…－C100991＋C992. 展開式中前92項均能被100整除，只需求最后一項除以100的余數(shù)． 由992＝(10－1)92＝C1092－…＋C102－C10＋1. 前91項均能被100整除，后兩項和為－919，因原式為正，可從前面的數(shù)中分離出1 000，結果為1 000－919＝81， ∴9192被100除可得余數(shù)為81. 方法二　(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C. 前91項均能被100整除，剩下兩項為9290＋1＝8 281，顯然8 281除以100所得余數(shù)為81. 二、填空題 9．若6的二項展開式中，常數(shù)項為，則二項式系數(shù)最大的項為________． 考點　展開式中系數(shù)最大(小)的項問題 題點　求展開式中系數(shù)最大(小)的項 答案　x3或－x3 解析　6二項展開式的通項為Tk＋1＝C(x2)6－kk＝Ca－kx12－3k，令12－3k＝0，得k＝4， ∴Ca－4＝，解得a＝2， 當a＝2時，二項式系數(shù)最大的項為C(x2)33 ＝x3. 當a＝－2時，二項式系數(shù)最大的項為C(x2)33＝－x3. 10.3的展開式中常數(shù)項為________． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中的特定項 答案?。?0 解析　3＝6展開式的通項公式為Tk＋1＝C(－1)kx6－2k.令6－2k＝0，解得k＝3.故展開式中的常數(shù)項為－C＝－20. 11．(1.05)6的計算結果精確到0.01的近似值是________． 考點　二項式定理的綜合應用 題點　整除和余數(shù)問題 答案　1.34 解析　(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C0.05＋C0.052＋C0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34. 12．已知n的展開式中含x的項為第6項，設(1－x＋2x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，則a1＋a2＋…＋a2n＝________. 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　二項展開式中系數(shù)的和問題 答案　255 解析　因為n的展開式的通項是C(－1)kx2n－3k(k＝0,1,2，…，n)，因為含x的項為第6項，所以當k＝5時，2n－3k＝1，即n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝28＝256.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a2n＝255. 三、解答題 13．在二項式n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列． (1)求展開式中的常數(shù)項； (2)求展開式中系數(shù)最大的項． 考點　展開式中系數(shù)最大(小)的項問題 題點　求展開式中系數(shù)最大(小)的項 解　(1)二項式n的展開式中，前三項的系數(shù)分別為1，，. 根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)． 故二項式n的展開式的通項為Tk＋1＝C2－kx4－k.令4－k＝0，求得k＝4，可得展開式中的常數(shù)項為T5＝C4＝. (2)設第k＋1項的系數(shù)最大，則由求得2≤k≤3.因為k∈Z，所以k＝2或k＝3，故系數(shù)最大的項為T3＝7x2或T4＝7x. 四、探究與拓展 14．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m＝________. 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　多項展開式中系數(shù)的和問題 答案　－3或1 解析　在(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9中， 令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9， 即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9， 令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)＝(2＋m)9. ∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39， ∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39， ∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39， 可得2m＋m2＝3，解得m＝1或－3. 15．已知(1＋m)n(m是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為256，展開式中含有x項的系數(shù)為112. (1)求m，n的值； (2)求展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和； (3)求(1＋m)n(1－x)的展開式中含x2項的系數(shù)． 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中特定項的系數(shù) 解　(1)由題意可得2n＝256，解得n＝8， ∴展開式的通項為Tk＋1＝Cmk， ∴含x項的系數(shù)為Cm2＝112， 解得m＝2或m＝－2(舍去)． 故m，n的值分別為2,8. (2)展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為C＋C＋C＋C＝28－1＝128. (3)(1＋2)8(1－x)＝(1＋2)8－x(1＋2)8， ∴含x2項的系數(shù)為C24－C22＝1 008.