函數(shù)圖象與圖象變換

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1、本資料來源2012屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn) 函數(shù)圖象與圖象變換 函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用.因此，考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法，掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì). ●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖，求b的范圍. ●案例探究 ［例1］對(duì)函數(shù)y=f(x)定義域中任一個(gè)x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；(2)若函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x+2)=f(2－x),且

2、方程f(x)=0恰好有四個(gè)不同實(shí)根，求這些實(shí)根之和. 命題意圖：本題考查函數(shù)概念、圖象對(duì)稱問題以及求根問題.屬★★★★★級(jí)題目. 知識(shí)依托：把證明圖象對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化到點(diǎn)的對(duì)稱問題. 錯(cuò)解分析：找不到問題的突破口，對(duì)條件不能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. 技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化. (1)證明：設(shè)(x0,y0)是函數(shù)y=f(x)圖象上任一點(diǎn)，則y0=f(x0),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)= f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函數(shù)的圖象上，而=a,∴點(diǎn)(x0,y0)與(2a－x0,y0)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，故y=f(x

3、)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱. (2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，若x0是f(x)=0的根，則4－x0也是f(x)=0的根，由對(duì)稱性，f(x)=0的四根之和為8. ［例2］如圖，點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2.又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a),△A′BC′的面積為g(a). (1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式； (2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論. 命題意圖：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等.屬★★★★★級(jí)題目.

4、 知識(shí)依托：充分借助圖象信息，利用面積問題的拆拼以及等價(jià)變形找到問題的突破口. 錯(cuò)解分析：圖形面積不會(huì)拆拼. 技巧與方法：數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化. 解：(1)連結(jié)AA′、BB′、CC′,則f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=. ∴f(a)

5、.題型多以選擇與填空為主，屬于必考內(nèi)容之一，但近年來，在大題中也有出現(xiàn)，須引起重視. ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)當(dāng)a≠0時(shí)，y=ax+b和y=bax的圖象只可能是( ) 2.(★★★★)某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下圖中y軸表示離學(xué)校的距離，x軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則適合題意的圖形是( ) 二、填空題 3.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)，將y=f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則函數(shù)F(x)=f(x)－

6、g(x)的最大值為_________. 三、解答題 4.(★★★★)如圖，在函數(shù)y=lgx的圖象上有A、B、C三點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為m,m+2,m+4(m>1). (1)若△ABC面積為S，求S=f(m); (2)判斷S=f(m)的增減性. 5.(★★★★)如圖，函數(shù)y=|x|在x∈［－1,1］的圖象上有兩點(diǎn)A、B，AB∥Ox軸，點(diǎn)M(1，m)(m∈R且m>)是△ABC的BC邊的中點(diǎn). (1)寫出用B點(diǎn)橫坐標(biāo)t表示△ABC面積S的函數(shù)解析式S=f(t); (2)求函數(shù)S=f(t)的最大值，并求出相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo). 6.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)是y=－1(x∈R)的反函

7、數(shù)，函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)y=－的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)F(x)=f(x)+g(x). (1)求函數(shù)F(x)的解析式及定義域； (2)試問在函數(shù)F(x)的圖象上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使直線AB恰好與y軸垂直？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 7.(★★★★★)已知函數(shù)f1(x)=,f2(x)=x+2, (1)設(shè)y=f(x)=，試畫出y=f(x)的圖象并求y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積； (2)若方程f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍. (3)若f1(x)>f2(x－b)的解集為［－1，］，求b的值. 8.(★★★★★

8、)設(shè)函數(shù)f(x)=x+的圖象為C1，C1關(guān)于點(diǎn)A(2，1)對(duì)稱的圖象為C2，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x). (1)求g(x)的解析表達(dá)式； (2)若直線y=b與C2只有一個(gè)交點(diǎn)，求b的值，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)； (3)解不等式logag(x)

9、1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax,∴b= －3a,∵a>0,∴b＜0. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴這是以ba為底的指數(shù)函數(shù).仔細(xì)觀察題目中的直線方程可知：在選擇支B中a>0,b>1,∴ba>1,C中a＜0,b>1,∴0＜ba＜1,D中a＜0,0＜b＜1,∴ba>1.故選擇支B、C、D均與指數(shù)函數(shù)y=(ba)x的圖象不符合. 答案：A 2.解析：由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，y最大，所以排除A、C.又一開始跑步，所以直線隨著x的增大而急劇下降. 答案：D 二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=l

10、og2(x+1)－2log2(x+2) =log2 ∵x+1>0,∴F(x)≤=－2 當(dāng)且僅當(dāng)x+1= ,即x=0時(shí)取等號(hào). ∴F(x)max=F(0)=－2. 答案：－2 三、4.解：(1)S△ABC=S梯形AA′B′B+S梯形BB′C′C－S梯形AA′C′C. (2)S=f(m)為減函數(shù). 5.解：(1)依題意，設(shè)B(t, t),A(－t, t)(t>0),C(x0,y0). ∵M(jìn)是BC的中點(diǎn).∴=1, =m. ∴x0=2－t,y0=2m－t.在△ABC中，|AB|=2t,AB邊上的高h(yuǎn)AB=y0－t=2m－3t. ∴S=|AB|·hAB= ·2t·(2m－3t)

11、,即f(t)=－3t2+2mt,t∈(0,1). (2)∵S=－3t2+2mt=－3(t－)2+,t∈(0,1,若，即＜m≤3,當(dāng)t=時(shí)，Smax=,相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)是(2－, m),若>1,即m>3.S=f(t)在區(qū)間(0，1］上是增函數(shù)，∴Smax=f(1)=2m－3,相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)是(1，2m－3). 6.解：(1)y=－1的反函數(shù)為f(x)=lg(－1＜x＜1. 由已知得g(x)=,∴F(x)=lg+,定義域?yàn)?－1，1). (2)用定義可證明函數(shù)u==－1+是(－1，1）上的減函數(shù)，且y=lgu是增函數(shù).∴f(x)是(－1，1）上的減函數(shù)，故不存在符合條件的點(diǎn)A、B. 7.解：(1）y=f(x)=.圖略. y=f(x)的曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為(2+)π. (2)當(dāng)f1(x+a)=f2(x)有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，a的取值范圍為2－＜a≤1. (3)若f1(x)>f2(x－b)的解集為［－1，］，則可解得b=. 8.(1)g(x)=x－2+.(2)b=4時(shí)，交點(diǎn)為(5，4)；b=0時(shí)，交點(diǎn)為(3，0). (3)不等式的解集為{x|4＜x＜或x>6.