高等數(shù)學(xué)（下） 課程教學(xué)大綱

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1、 課程代碼：09010021 19020020 高等數(shù)學(xué)（下） 課程教學(xué)大綱 （總學(xué)時(shí)數(shù)：64，學(xué)分?jǐn)?shù)：4） 一、課程的性質(zhì)，任務(wù)和目的 高等數(shù)學(xué)課程是高等工科院校各專業(yè)學(xué)生必修的重要的基礎(chǔ)理論課。為學(xué)生培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，抽象思維和邏輯思維能力，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)后繼課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。 二、課程基本內(nèi)容和要求 1．通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，要使學(xué)生獲得：向量代數(shù)和空間解析幾何；多元函數(shù)微積分學(xué)；無(wú)窮級(jí)數(shù)（包括傅里葉級(jí)數(shù)）等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程和進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)知識(shí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 2．在傳授知識(shí)的同時(shí)，要通過(guò)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具

2、有抽象概括問(wèn)題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生具有比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 3．本課程的教學(xué)就把重點(diǎn)放在培養(yǎng)學(xué)生正確理解和運(yùn)用基本概念與基本方法上，并注意理論聯(lián)系實(shí)際的原則，力求反應(yīng)這些基本概念的實(shí)際背景及其應(yīng)用。使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又服務(wù)于實(shí)際，從而有助于樹立辯證唯物主義觀點(diǎn)。 4．教材的選取與課堂講授要貫徹少而精原則，著重于基本概念，基本理論的講授和基本技能的培養(yǎng)，不要追求內(nèi)容上的完備和全面。 本大綱包括（一）教學(xué)內(nèi)容（二）教學(xué)要求（三）重點(diǎn)與難點(diǎn) 教學(xué)要求的高低用不同的詞匯加以區(qū)分，對(duì)概念、理論從高到

3、低用“理解”、“了解”、“知道”三級(jí)區(qū)分，對(duì)運(yùn)算、方法從高到低用“熟練掌握”、“掌握”、“會(huì)”三級(jí)區(qū)分。熟悉一詞相當(dāng)于“理解”、“熟練掌握”。 空間解析幾何與向量代數(shù) 一）教學(xué)內(nèi)容 空間直角坐標(biāo)系，向量及其加減法，向量與數(shù)的乘法，向量的坐標(biāo)， 數(shù)量積，向量積， 曲面及其方程， 空間曲線及其方程，平面及其方程， 空間直線及其方程，二次曲面。 其中： 基本概念：空間直角坐標(biāo)的概念，向量的概念，曲面及其方程、空間曲線與方程。 基本理論：平面與三元一次方程的對(duì)應(yīng)。 基本方法：向量代數(shù)的線性運(yùn)算、數(shù)量積與向量積的運(yùn)算方法，根據(jù)已知條件建立各類平面、直線方程的方法。 二）教學(xué)要求 1．理

4、解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念。 2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積），掌握兩個(gè)向量夾角的求法，與平行與垂直的條件。 3．熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標(biāo)表示式。熟練掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量的運(yùn)算。 4．熟練掌握平面的點(diǎn)法式方程與一般方程及求法、掌握平面的截距式方程 5．熟悉空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式（點(diǎn)向式）方程與一般方程及求法。掌握空間直線的參數(shù)方程。 6．掌握兩直線間、兩平面間、平面與直線問(wèn)的夾角公式。熟練掌握應(yīng)用“平行、垂直”條件建立平面、直線方程。 7．理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其圖形。掌握以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。

5、8．掌握空間曲線的參數(shù)方程及一般方程。 9、掌握求空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影曲線的方法。 三）重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：向量概念，向量的坐標(biāo)，數(shù)量積與向量積，平面的點(diǎn)法式方程，直線的標(biāo)準(zhǔn)方程，曲面方程的概念。 難點(diǎn)：向量積的概念，繪制幾個(gè)曲面圍成的圖形。 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 一）教學(xué)內(nèi)容 多元函數(shù)的基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分及其應(yīng)用，多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)公式，微分在幾何上的應(yīng)用，方向?qū)?shù)的與梯度，多元函數(shù)的極值及其求法。 其中： 基本概念：多元函數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的概念，全微分的概念，多元函數(shù)極值的概念。 基本理論：全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 基本方法：復(fù)合函數(shù)微分法

6、，應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求極值的方法。 二）教學(xué)要求 1．理解多元函數(shù)等概念，知道點(diǎn)函數(shù)的概念。 2．知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 3．理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念。并掌握偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算方法。了解全微分存在的充要條件，了解多元函數(shù)的可微與可偏導(dǎo)之間的區(qū)別和聯(lián)系。 4．熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求偏導(dǎo)數(shù)方法，掌握二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 5．掌握求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法，會(huì)求由方程組確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。 6．了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面和法線，并掌握它們的方程的求法。 7．理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。

7、會(huì)求解一些較簡(jiǎn)單的最大值和最小值的應(yīng)用問(wèn)題。 三）重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的概念，全微分的概念，復(fù)合函數(shù)微分法。 難點(diǎn)：全微分的概念，復(fù)合函數(shù)（抽象式子）的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。 多元函數(shù)積分 一）教學(xué)內(nèi)容 二重積分的概念與性質(zhì)，二重積分的計(jì)算法，二重積分的應(yīng)用。 其中： 基本概念：二重積分的概念。 基本理論：重積分的性質(zhì)。 基本方法：重積分的計(jì)算方法，對(duì)坐標(biāo)的曲線積分。 二）教學(xué)要求 1．理解二重積分，了解重積分的性質(zhì)。 2．熟練掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系）。對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，格林公式 3．能應(yīng)用重積分來(lái)表

8、達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（如體積、質(zhì)量、重心等）。 三）重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：重積分的計(jì)算法。 難點(diǎn)：對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，格林公式。 無(wú)窮級(jí)數(shù) 一）教學(xué)內(nèi)容 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，冪級(jí)數(shù)，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，付立葉級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)，周期為2L的周期函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)。 其中： 基本概念：級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的定義，冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，傅氏級(jí)數(shù)的定義。 基本理論：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法，冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算與逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分。 基本方法：比值審斂法，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式以及定義在上的函 數(shù)展成傅氏級(jí)數(shù)的方法。 二

9、）教學(xué)要求 1．理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的必要 條件。知道無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)。 2．熟練掌握幾何級(jí)數(shù)和P級(jí)數(shù)的斂散性。 3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法。 4．掌握交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理，并能估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的余項(xiàng)。 5．了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。 6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．熟練掌握較簡(jiǎn)單的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域的求法（可不考慮端點(diǎn)的斂散性） 8．知道冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。 9．知道函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充要條件。 10．掌握的馬克勞林展開式。掌握把

10、初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接方法，熟練掌握把初等函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的“間接方法”。 11．了解三角函數(shù)組在上的正交性。知道函數(shù)展開成付立葉級(jí)數(shù)的充分條件（狄克雷條件），會(huì)將定義在和[-1，1]上的函數(shù)展成付立葉級(jí)數(shù)。并會(huì)將定義在上和[0，1]的函數(shù)展成正弦或余弦付立葉級(jí)數(shù)。 三）重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散的概念，正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，把函數(shù)展開為冪 級(jí)數(shù)的“間接法”以及收斂區(qū)間的求法，定義在上的函數(shù)展成傅氏級(jí)數(shù) 的方法。 難點(diǎn)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)比值審斂法的證明，函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的直接法和余項(xiàng)的估計(jì)。 三、學(xué)時(shí)分配表 序號(hào) 內(nèi)容 講授 習(xí)題課 小計(jì) 1 空間解析幾何

11、與向量代數(shù) 10 2 12 2 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 14 4 18 3 多元函數(shù)積分 12 6 18 4 無(wú)窮級(jí)數(shù) 12 4 16 合 計(jì) 48 16 64 四、有關(guān)說(shuō)明 實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié) 無(wú) 考核方式： 本課程為考試科目，課程成績(jī)由平時(shí)成績(jī)、考試成績(jī)組成比例為3：7。 教材及教學(xué)參考書 教材；《高等數(shù)學(xué)》，盛祥耀 編，高等教育出版社，高等教育出版社。 參考書：其它同名教材。 執(zhí)筆人：許定亮 審定人：劉 坤 批準(zhǔn)人：沈京一