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1、第第1414課時課時二次函數二次函數-2-3-1.二次函數:概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a0)的函數叫做二次函數.利用配方法可化為y=a(x-h)2+k的形式,利用因式分解可化為y=a(x-x1)(x-x2)的形式.圖象:二次函數的圖象是一條拋物線.2.拋物線的性質:函數形式:y=ax2+bx+c;y=a(x-h)2+k開口方向:a0,向上;a0,向上;a0時,與x軸有兩個交點,(x1,0),(x2,0);b2-4ac=0時,拋物線與x軸有一個交點(x,0);b2-4ac0,c0B.b0,c0C.b0,c0D.b0-9-考點考點1拋物線的性質拋物線的性質【例1】(
2、2015深圳)二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象如右圖所示,下列說法正確的個數是 ()a0b0c0A.1B.2C.3D.4【名師點撥】 此題考查的是二次函數的性質,結合圖象開口方向,坐標軸交點,對稱軸,可得結果.【我的解法】 解:由圖象可知,開口向下,a0;與y軸交于x軸上方,c0;與x軸有兩交點,b2-4ac0;故選答案B.【題型感悟】 熟記拋物線與a、b、c的取值,拋物線與x軸的交點情況是解決此問題的關鍵.-10-【考點變式】1.(2016廣州)對于二次函數y=- x2+x-4,下列說法正確的是 ( B )A.當x0時,y隨x的增大而增大B.當x=2時,y有最大值-3C.圖象的頂點
3、坐標為(-2,-7)D.圖象與x軸有兩個交點2.(2016永州)拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同的交點,則m的取值范圍是 ( A )A.m2C.0m2 D.m0;ac;4a-2b+c0,其中正確的個數有 ( C )A.1個B.2個 C.3個D.4個-11-4.(2017廣安)如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的頂點為B(-1,3),與x軸的交點A在點(-3,0)和(-2,0)之間,以下結論:b2-4ac=0;a+b+c0;2a-b=0;c-a=3其中正確的有 ( B )A.1B.2C.3D.4-12-考點考點2拋物線的解析式拋物線的解析式【例2】(2015岳陽)已知拋物線y=ax
4、2+bx+c經過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點.求拋物線的解析式.【名師點撥】 此題考查的是利用待定系數法求二次函數解析式,把已知點坐標代入函數解析式構成方程組求解即可.【題型感悟】 利用已知點坐標的特點,恰當地選用二次函數的解析式,可使運算簡便.-13-【考點變式】1.(2017襄陽)將拋物線y=2(x-4)2-1先向左平移4個單位長度,再向上平移2個單位長度,平移后所得拋物線的解析式為 ( A )A.y=2x2+1B.y=2x2-3C.y=2(x-8)2+1D.y=2(x-8)2-32.(2017淄博)將二次函數y=x2+2x-1的圖象沿x軸向右平移2個單位長度,得到的函數表
5、達式是 ( D )A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+2C.y=(x-1)2+2D.y=(x-1)2-2-14-3.(2013廣東)已知二次函數y=x2-2mx+m2-1.(1)當二次函數的圖象經過坐標原點(0,0)時,求二次函數的解析式;(2)如圖,當m=2時,該拋物線與y軸交于點C,頂點為D,求C,D兩點的坐標;(3)在(2)的條件下,x軸上是否存在一點P,使得PC+PD最短?若P點存在,求出P點的坐標;若P點不存在,請說明理由.-15-解:(1)拋物線經過(0,0),m=1或-1,二次函數的解析式y=x2-2x或y=x2+2x(2)當m=2時,拋物線為y=x2-4x+3,與y軸
6、交于點C(0,3),頂點為D(2,-1),(3)存在,直線CD與x軸的交點為所求點P,設直線CD的解析式為y=kx+b,由直線CD經過C(0,3)、D(2,-1),直線CD的解析式為y=-2x+3, -16-一、選擇題1.(2017長沙)拋物線y=2(x-3)2+4的頂點坐標是 ( A )A.(3,4) B.(-3,4)C.(3,-4)D.(2,4)2.(2017常德)將拋物線y=2x2向右平移3個單位,再向下平移5個單位,得到的拋物線的表達式為 ( A )A.y=2(x-3)2-5B.y=2(x+3)2+5C.y=2(x-3)2+5 D.y=2(x+3)2-5-17-3.(2017煙臺)二次
7、函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象如圖所示,對稱軸是直線x=1,下列結論:ab4ac;a+b+c0;3a+c0.其中正確的是 ( C )A.B.C. D.4.(2017南充)二次函數y=ax2+bx+c(a、b、c是常數,且a0)的圖象如圖所示,下列結論錯誤的是 ( D )A.4acb2B.abc3aD.ab-18-5.(2017廣州)a0,函數y= 與y=-ax2+a在同一直角坐標系中的大致圖象可能是 ( D )-19-6.(2017上海)已知一個二次函數的圖象開口向上,頂點坐標為(0,-1),那么這個二次函數的解析式可以是y=2x2-1.7.(2017廣州)當x=1時,二次函數y=x2
8、-2x+6有最小值5.-20-8.(2017泰安)如圖,是將拋物線y=-x2平移后得到的拋物線,其對稱軸為x=1,與x軸的一個交點為A(-1,0),另一交點為B,與y軸交點為C.(1)求拋物線的函數表達式;(2)若點N為拋物線上一點,且BCNC,求點N的坐標;(3)點P是拋物線上一點,點Q是一次函數y= 的圖象上一點,若四邊形OAPQ為平行四邊形,這樣的點P、Q是否存在?若存在,分別求出點P、Q的坐標,若不存在,說明理由. -21-解:(1)設拋物線的解析式是y=-(x-1)2+k.把(-1,0)代入得0=-(-1-1)2+k,解得k=4,則拋物線的解析式是y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;(2)在y=-x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標是(0,3),OC=3.B的坐標是(3,0),OB=3,OC=OB,則OBC是等腰直角三角形.OCB=45,過點N作NHy軸,垂足是H.NCB=90,NCH=45,NH=CH,HO=OC+CH=3+CH=3+NH,設點N坐標是(a,-a2+2a+3).a+3=-a2+2a+3,解得a=0(舍去)或a=1,N的坐標是(1,4);-22-(3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQOA,
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