高考數(shù)學(xué)回歸課本 圓錐曲線一教案 舊人教版

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1、高考數(shù)學(xué)回歸課本教案 第十一章 圓錐曲線 一、基礎(chǔ)知識 1．橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長（大于兩個定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定義：平面上到一個定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0

2、圓。 2．橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)， 參數(shù)方程為（為參數(shù)）。 若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)。 3．橢圓中的相關(guān)概念，對于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 ， a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；與左焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0

3、是長軸、短軸。 4．橢圓的焦半徑公式：對于橢圓1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5．幾個常用結(jié)論：1）過橢圓上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線方程為 ； 2）斜率為k的切線方程為； 3）過焦點(diǎn)F2(c, 0)傾斜角為θ的弦的長為 。 6．雙曲線的定義，第一定義： 滿足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的點(diǎn)P的軌跡； 第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。 7．雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在

4、x軸上的雙曲線方程為 ， 參數(shù)方程為（為參數(shù)）。 焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 。 8．雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線 (a, b>0), a稱半實(shí)軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實(shí)軸的兩個端點(diǎn)為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2(c, 0)，對應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點(diǎn)在同一個圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。 9．雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)

5、是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 過焦點(diǎn)的傾斜角為θ的弦長是。 10．拋物線：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1. 11．拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點(diǎn)， 1）焦半徑|PF|=；

6、 2）過點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)； 3）過焦點(diǎn)傾斜角為θ的弦長為。 12．極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=ρ,∠xOP=θ，則由（ρ，θ）唯一確定點(diǎn)P的位置，（ρ，θ）稱為極坐標(biāo)。 13．圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若01，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。 二、方法與例題 1．與定義有關(guān)的問題。 例1 已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓

7、的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。 [解] 見圖11-1，由題設(shè)a=5, b=4, c==3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)椋渣c(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。 所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。 所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x<0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為 例2 已知P，為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長線交右準(zhǔn)線于K，PF1延長線交雙

8、曲線于Q，（F1為右焦點(diǎn)）。求證：∠F1K=∠KF1Q. [證明] 記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因?yàn)?/PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為∠PF1P的外角平分線，所以∠=∠KF1Q。 2．求軌跡問題。 例3 已知一橢圓及焦點(diǎn)F，點(diǎn)A為橢圓上一動點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。 [解法一] 利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（a>b>0）.F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a. 所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍>|F

9、O|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為 [解法二] 相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y), A(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。 例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動圓圓心P的軌跡。 [解] 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA|?|OB|=|

10、OC|?|OD|，用坐標(biāo)表示為，即 當(dāng)a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=-x； 當(dāng)a>b時，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線； 當(dāng)a

11、 所以tanθ-=兩邊平方，再將①，②代入得。即為所求。 3．定值問題。 例6 過雙曲線(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。 [證明] 設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因?yàn)镕1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以 ① 所以 。 由①得 代入上式得 即 （定值）。 注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，

12、讀者不妨一試。 例7 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC//x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。 [證明] 設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，，，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因?yàn)椋?。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。 例8 橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。 [證明] 設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在橢圓上有 即 ① ② ①+②

13、得（定值）。 4．最值問題。 例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。 [解] 由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=, 因?yàn)椋襛2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時，|AB|取最小值1；當(dāng)或時，|AB|取最大值。 例10 設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個橢圓的方程。 [解] 設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動

14、點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為 因?yàn)?；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcosθ,tsinθ)，則|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2. 若，則當(dāng)sinθ=-1時，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。 若t>,則當(dāng)sinθ=時，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1. 所以橢圓方程為。 5

15、．直線與二次曲線。 例11 若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。 [解] 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對稱兩點(diǎn)的條件是存在一對點(diǎn)P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+ 所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。 例12 若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時，求b的值。 [解] 二方程聯(lián)立得17x2

16、+16bx+4(b2Δ>0，得0)，則動點(diǎn)的軌跡是________. 3．橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是________. 4．雙曲線方程，則k的取值范圍是________. 5．橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足∠F1PF2=600，則ΔF1PF2的面積是____

17、____. 6．直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為________. 7．ΔABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ΔABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為________. 8．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為________. 9．已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對稱的曲線有兩個不同的交點(diǎn)，如果過這兩個交點(diǎn)的直線的傾斜角為450，那么a=________. 2-y2=a2上一點(diǎn)，的取值范圍是________. 11．已知橢圓

18、與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個焦點(diǎn)，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面積。 12．已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a<)；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。 13．給定雙曲線過點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P1和P2，求線段P1P2的中點(diǎn)的軌跡方程。 四、高考水平測試題 1．雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_________. 2．過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋

19、物線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則∠A1FB1=_________. 3．雙曲線的一個焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1，A2，P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_________. 4．橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F1的距離為_________. 5．4a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個公共點(diǎn)的_________條件. 6．若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是_________. 7．如果直線y=

20、kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是_________. 8．過雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長為6的直線有_________條. 9．過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的傾斜角為_________. 10．以橢圓x2+a2y2=a2(a>1)的一個頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_________個. 11．求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角θ的正弦的最大值。 12．設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對于過點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。 13．已知雙曲線C1：(a>0)，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。 （1）求證：C1，C2總有兩個不同的交點(diǎn)。 （2）問：是否存在過C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使ΔAOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SΔAOB的最值，若不存在，說明理由。