人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教案：21_1 一元二次方程（1）

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1、 第二十一章 一元二次方程 單元要點(diǎn)分析 教材內(nèi)容 1．本單元教學(xué)的主要內(nèi)容． 一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應(yīng)用題． 2．本單元在教材中的地位與作用． 一元二次方程是在學(xué)習(xí)《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法．學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程．應(yīng)該說(shuō)，一元二次方程是本書的重點(diǎn)內(nèi)容． 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌

2、握依據(jù)實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識(shí)解決問題． 2．過程與方法 （1）通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生合作探討，老師點(diǎn)評(píng)分析，建立數(shù)學(xué)模型．根據(jù)數(shù)學(xué)模型恰如其分地給出一元二次方程的概念． （2）結(jié)合八冊(cè)上整式中的有關(guān)概念介紹一元二次方程的派生概念，如二次項(xiàng)等． （3）通過掌握缺一次項(xiàng)的一元二次方程的解法──直接開方法，導(dǎo)入用配方法解一元二次方程，又通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程． （4）通過用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接著討論求根公式的條件：b2-4ac>0，b2

3、-4ac=0，b2-4ac<0． （5）通過復(fù)習(xí)八年級(jí)上冊(cè)《整式》的第5節(jié)因式分解進(jìn)行知識(shí)遷移，解決用因式分解法解一元二次方程，并用練習(xí)鞏固它． （6）提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并用該模型解決實(shí)際問題． 3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷由事實(shí)問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程，使同學(xué)們體會(huì)到通過一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程，使同學(xué)們體會(huì)到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景，使學(xué)生體會(huì)到建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和

4、作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣． 教學(xué)重點(diǎn) 1．一元二次方程及其它有關(guān)的概念． 2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程． 3．利用實(shí)際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個(gè)問題． 教學(xué)難點(diǎn) 1．一元二次方程配方法解題． 2．用公式法解一元二次方程時(shí)的討論． 3．建立一元二次方程實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實(shí)際問題解的區(qū)別． 教學(xué)關(guān)鍵 1．分析實(shí)際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型． 2．用配方法解一元二次方程的步驟． 3．解一元二次方程公式法的推導(dǎo)．

5、課時(shí)劃分 本單元教學(xué)時(shí)間約需16課時(shí)，具體分配如下： 21．1 一元二次方程 2課時(shí) 21．2 降次──解一元二次方程 7課時(shí) 21．3 實(shí)際問題與一元二次方程 4課時(shí) 教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 3課時(shí) 21．1 一元二次方程 第一課時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念． 教學(xué)目標(biāo) 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目． 1．

6、通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義． 2．一元二次方程的一般形式及其有關(guān)概念． 3．解決一些概念性的題目． 4．態(tài)度、情感、價(jià)值觀 4．通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情． 重難點(diǎn)關(guān)鍵 1．重點(diǎn)：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題． 2．難點(diǎn)關(guān)鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念． 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：列方程．

7、問題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？” 大意是說(shuō)：已知長(zhǎng)方形門的高比寬多6尺8寸，門的對(duì)角線長(zhǎng)1丈，那么門的高和寬各是多少？ 如果假設(shè)門的高為x尺，那么，這個(gè)門的寬為_______尺，根據(jù)題意，得________． 整理、化簡(jiǎn)，得：__________． 問題（2）如圖，如果，那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)． 如果假設(shè)AB=1，AC=x，那么BC=________，根據(jù)題意，得：________． 整理得：_________． 問題（3）有一面積為

8、54m2的長(zhǎng)方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 如果假設(shè)剪后的正方形邊長(zhǎng)為x，那么原來(lái)長(zhǎng)方形長(zhǎng)是________，寬是_____，根據(jù)題意，得：_______． 整理，得：________． 老師點(diǎn)評(píng)并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并整理． 二、探索新知 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)口答下面問題． （1）上面三個(gè)方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？ （2）按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？ （3）有等號(hào)嗎？或與以前多項(xiàng)式一樣只有式子？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）都只含

9、一個(gè)未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）都有等號(hào)，是方程． 因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式． 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)． 例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)

10、系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)． 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運(yùn)用整式運(yùn)算進(jìn)行整理，包括去括號(hào)、移項(xiàng)等． 解：去括號(hào)，得： 40-16x-10x+4x2=18 移項(xiàng)，得：4x2-26x+22=0 其中二次項(xiàng)系數(shù)為4，一次項(xiàng)系數(shù)為-26，常數(shù)項(xiàng)為22． 例2．（學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)二至三位同學(xué)上臺(tái)演練） 將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)；常數(shù)項(xiàng)． 分析：通過完全平方公

11、式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式． 解：去括號(hào)，得： x2+2x+1+x2-4=1 移項(xiàng)，合并得：2x2+2x-4=0 其中：二次項(xiàng)2x2，二次項(xiàng)系數(shù)2；一次項(xiàng)2x，一次項(xiàng)系數(shù)2；常數(shù)項(xiàng)-4． 三、鞏固練習(xí) 教材練習(xí)1、2 四、應(yīng)用拓展 例3．求證：關(guān)于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可． 證明：

12、m2-8m+17=（m-4）2+1 ∵（m-4）2≥0 ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 ∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程． 五、歸納小結(jié)（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課要掌握： （1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的概念及其它們的運(yùn)用． 六、布置作業(yè) 1．教材習(xí)題22．1 1、2． 2．選用作業(yè)設(shè)計(jì)． 作業(yè)設(shè)計(jì) 一、選擇題 1．在下列方程中，一元二次方程

13、的個(gè)數(shù)是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）． A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p為任意實(shí)數(shù)

14、 二、填空題 1．方程3x2-3=2x+1的二次項(xiàng)系數(shù)為________，一次項(xiàng)系數(shù)為_________，常數(shù)項(xiàng)為_________． 2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．關(guān)于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，則a的取值范圍是________． 三、綜合提高題 1．a(chǎn)滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？ 2．關(guān)于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程嗎？為什么？ 3．一塊矩形鐵片，面積為1m

15、2，長(zhǎng)比寬多3m，求鐵片的長(zhǎng)，小明在做這道題時(shí)，是這樣做的： 設(shè)鐵片的長(zhǎng)為x，列出的方程為x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道鐵片的長(zhǎng)到底是多少，下面是他的探索過程： 第一步： x 1 2 3 4 x2-3x-1 -3 -3 所以，________