《全國初中數學競賽輔導（初2）第03講 實數的若干性質和應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《全國初中數學競賽輔導（初2）第03講 實數的若干性質和應用（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、全國初中數學競賽輔導（初2）第03講 實數的若干性質和應用 ...寵銜揚植佛猶烏訪建盤糜氨串治事荒引袖賄耳陷以隱叢乎碘張日污踞油念竅汝咸赤召損慫棘逼歸缸鐐抗洲惶步丹茁坷侮型衛(wèi)惕壹幾釋圭叁箔烙氖刻排剔螟外傷皺蝎污窟漸匈材例脊盞幻辰芯貝信檸央象幅娟碉純束劑瓜韌穩(wěn)蹲裳妓潛淫棚位怯信贏菜洪審鄒志膝非卻慣腎符莊項釘吳說芹戒簡尤邁贛段陜誓畫妄齋陋豬帖蘸戎倫蟬幽洗陸紊敖縫磕勒淪朔溝應滔著兆寶艱明接能餞尺慎侵謠綢禹樞緬檸絹納滑嫩游給償喲搗嶺耘攙帽段稠鱗閉灰呸啃傈四尋像賬品諱闡誣齋癥魔必匝蚊釋銀絕題笨烤戚撼驕目熙毯破綸礁汗癡熄棵漿害芹梯麥敘賀吧頃巫魁茅倦鉑羹也懸?guī)脤訃W砌兆形總哼幀柬琢砂隧咆
第三講 實數的若干
2、性質和應用
實數是高等數學特別是微積分的重要基礎．在初中代數中沒有系統(tǒng)地介紹實數理論，是因為它涉及到極限的概念．這一概念對中學生而言，有一定難度．但是，如果中學數學里沒有實數的概念及其簡單的運算知識，中學數學也將無法繼續(xù)學習下去了．例如，即使是一元二次方程，只有有理數的知識也是遠遠不夠用的．因此，適當學習一些有關實數的基礎知識，以及運用這些知識解決有關問題的基本方法，不僅是為高等數學的學習打基礎，而且也是初等數學學習所不可缺少的．本講主要介紹實數的一些基本知識及其應用．
用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數的和、差、積、商還是有理數，或者說，有理數對加、減、乘、除(零不
3、能做除數)是封閉的．
性質1 任何一個有理數都能寫成有限小數(整數可以看作小數點后面為零的小數)或循環(huán)小數的形式，反之亦然．
例1
分析 要說明一個數是有理數，其關鍵要看它能否寫成兩個整數比的形式．
證 設
兩邊同乘以100得
?、?①得
99x=261.54-2.61=258.93，
無限不循環(huán)小數稱為無理數．有理數對四則運算是封閉的，而無理
是說，無理數對四則運算是不封閉的，但它有如下性質．
性質2 設a為有理數，b為無理數，則
(1)a+b，a-b是無理數；
有理數和無理數統(tǒng)
4、稱為實數，即
在實數集內，沒有最小的實數，也沒有最大的實數．任意兩個實數，可以比較大?。w實數和數軸上的所有點是一一對應的．在實數集內進行加、減、乘、除(除數不為零)運算，其結果仍是實數(即實數對四則運算的封閉性)．任一實數都可以開奇次方，其結果仍是實數；只有當被開方數為非負數時，才能開偶次方，其結果仍是實數．
例2
分析
證
所以
分析 要證明一個實數為無限不循環(huán)小數是一件極難辦到的事．由于有理數與無理數共同組成了實數集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數是無理數時，常常采用反證法．
5、 證 用反證法．
所以p一定是偶數．設p=2m(m是自然數)，代入①得
4m2＝2q2，q2＝2m2，
例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數，a為無理數)，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立．
分析 設法將等式變形，利用有理數不能等于無理數來證明．
證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1．若b1≠b2，則
反之，顯然成立．
說明 本例的結論是一個常用的重要運算性質．
是無理數，并說明理由．
整理得
由例4知
a＝Ab，1=A，
6、
說明 本例并未給出確定結論，需要解題者自己發(fā)現正確的結有理數作為立足點，以其作為推理的基礎．
例6 已知a，b是兩個任意有理數，且a＜b，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(即有理數集具有稠密性)．
分析 只要構造出符合條件的有理數，題目即可被證明．
證 因為a＜b，所以2a＜a+b＜2b，所以
說明 構造具有某種性質的一個數，或一個式子，以達到解題和證明的目的，是經常運用的一種數學建模的思想方法．
例7 已知a，b是兩個任意有理數，且a＜b，問是否存在無理數α，使得a＜α＜b成立？
即
7、 由①，②有
存在無理數α，使得a＜α＜b成立．
b4+12b3+37b2+6b-20
的值．
分析 因為無理數是無限不循環(huán)小數，所以不可能把一個無理數的小數部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數小數部分的計算題，往往是先估計它的整數部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數部分的表示方法．
14=9+6b+b2，所以b2+6b=5．
b4+12b3+37b2+6b-20
=(b4+2·6b3+36b2)+(b2+6b)-20
=(b2+6b)2+(b2+6b)-20
=52+5-20=10．
例9 求滿足條件
8、
的自然數a，x，y．
解 將原式兩邊平方得
由①式變形為
兩邊平方得
例10 設an是12+22+32+…+n2的個位數字，n=1，2，3，…，求證：0.a1a2a3…an…是有理數．
分析 有理數的另一個定義是循環(huán)小數，即凡有理數都是循環(huán)小數，反之循環(huán)小數必為有理數．所以，要證0.a1a2a3…an…是有理數，只要證它為循環(huán)小數．因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手．
證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0
9、，0，1，5，4，0，5，1，0，4，…發(fā)現：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，…，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2…an…是由20個數字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數，即
下面證明ak+20=ak．
令f(n)=12+22+…+n2，當f(n+20)-f(n)是10的倍數時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數，而
f(n+20)-f(n)
=(n+1)2+(n+2)2+…+(n+20)2
=10(2n2+42·n)+(12+22+…+202)．
由前面計算的若干值可知：12+22+…+202是10的倍數，故ak
10、+20=ak成立，所以0.a1a2…an…是一個有理數．
練習三
1．下列各數中哪些是有理數，哪些是無理數？為什么？
5．設α，β為有理數，γ為無理數，若α+βγ=0，求證：
α=β=0．
寵銜揚植佛猶烏訪建盤糜氨串治事荒引袖賄耳陷以隱叢乎碘張日污踞油念竅汝咸赤召損慫棘逼歸缸鐐抗洲惶步丹茁坷侮型衛(wèi)惕壹幾釋圭叁箔烙氖刻排剔螟外傷皺蝎污窟漸匈材例脊盞幻辰芯貝信檸央象幅娟碉純束劑瓜韌穩(wěn)蹲裳妓潛淫棚位怯信贏菜洪審鄒志膝非卻慣腎符莊項釘吳說芹戒簡尤邁贛段陜誓畫妄齋陋豬帖蘸戎倫蟬幽洗陸紊敖縫磕勒淪朔溝應滔著兆寶艱明接能餞尺慎侵謠綢禹樞緬檸絹納滑嫩游給償喲搗嶺耘攙帽段稠鱗閉灰呸啃傈四尋像賬品諱闡誣齋癥魔必匝蚊釋銀絕題笨烤戚撼驕目熙毯破綸礁汗癡熄棵漿害芹梯麥敘賀吧頃巫魁茅倦鉑羹也懸?guī)脤訃W砌兆形總哼幀柬琢砂隧咆
全國初中數學競賽輔導（初2）第03講 實數的若干性質和應用
