2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件 文.ppt

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第六章數(shù)列 高考文數(shù) 6 3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 知識清單 考點(diǎn)一等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式1 定義 如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 公比通常用字母q q 0 表示 2 等比中項(xiàng) 如果a G b成等比數(shù)列 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) 且G ab 0 3 通項(xiàng)公式 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an a1qn 1 a1 q 0 考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用1 等比數(shù)列 an 滿足或時 an 是遞增數(shù)列 滿足或時 an 是遞減數(shù)列 2 有窮等比數(shù)列中 與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等 特別地 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時 還等于中間項(xiàng)的平方 3 等比數(shù)列的一些結(jié)論 1 在等比數(shù)列中 每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)按照原來的順序排列 構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列 2 若 an 是等比數(shù)列 則 an an 皆為等比數(shù)列 公比分別為q和 q 為非零常數(shù) 3 一個等比數(shù)列各項(xiàng)的k次冪仍組成一個等比數(shù)列 新公比是原公比的k次冪 4 an 為等比數(shù)列 若a1 a2 an Tn 則Tn 成等比數(shù)列 5 若數(shù)列 an 與 bn 均為等比數(shù)列 則 m an bn 與仍為等比數(shù)列 其中m是不為零的常數(shù) 4 當(dāng)q 0 q 1時 Sn k k qn k 0 是 an 為等比數(shù)列的充要條件 這時k 5 對于正整數(shù)m n p q 若m n p q 則在等比數(shù)列 an 中 am an ap aq的關(guān)系為am an ap aq 6 Sn為等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 則 S2k Sk 2 Sk S3k S2k 考點(diǎn)三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn 等比數(shù)列的基本運(yùn)算等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 所求問題可迎刃而解 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式 并能靈活運(yùn)用 在運(yùn)算過程中 還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程 例1 2016安徽皖江名校聯(lián)考 8 已知Sn是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 a2 a4 16 S3 7 則a8 C A 32B 64C 128D 256 方法技巧 解題導(dǎo)引由 a2 a4及已知求a3用a1 q表示a3 S2求出q由an 0確定q的值結(jié)論 解析 an 為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 a2 a4 16 a3 4 a3 a1q2 4 S3 7 S2 S3 a3 3 1 q2 3 1 q 即3q2 4q 4 0 q 或q 2 an 0 q 2 則a1 1 a8 27 128 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用策略若m n p q m n p q N 則am an ap aq 1 特別地 當(dāng)m n 2k m n k N 時 am an 2 對有窮等比數(shù)列 與首末兩項(xiàng) 等距離 的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)之積 即a1 an a2 an 1 ak an k 1 n N 例2 2017福建4月模擬 6 已知遞增的等比數(shù)列 an 的公比為q 其前n項(xiàng)和Sn1C a1 0 00 q 1 解析 Snan 且 an an 1 則 an an 1 0 則q 0 1 a1 0 0 q 1 故選A 方法總結(jié) an 是等比數(shù)列 公比為q q 1 熟記下列結(jié)論能快速解題 當(dāng)q 1 a1 0或01 a10時 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 例3 2017湖南三湘名校聯(lián)盟三模 10 一個等比數(shù)列 an 的前三項(xiàng)的積為2 最后三項(xiàng)的積為4 且所有項(xiàng)的積為64 則該數(shù)列有 B A 13項(xiàng)B 12項(xiàng)C 11項(xiàng)D 10項(xiàng) 解題導(dǎo)引方法1 用基本量表示出前三項(xiàng)之積和后三項(xiàng)之積求出qn 1 2由 64求出n方法2 由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1an 2由倒序相乘得64 a1an 2結(jié)論 解析解法一 設(shè)首項(xiàng)為a1 公比為q 共有n項(xiàng) 前三項(xiàng)之積為q3 2 最后三項(xiàng)之積為q3n 6 4 兩式相乘得q3 n 1 8 即qn 1 2 又a1 a1q a1q2 a1qn 1 64 64 則 qn 1 n 642 2n 642 n 12 故選B 解法二 a1 an 3 8 a1 an 2 a1 an n 2n 642 n 12 等比數(shù)列的判定與證明1 證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個基本方法 1 q 與n值無關(guān)的常數(shù) n N 2 anan 2 n N 2 定義不僅能證明一個數(shù)列是等比數(shù)列 也能判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列 可通過三個連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列證明 也可以用反證法證明 例4 2015廣東 19 14分 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn n N 已知a1 1 a2 a3 且當(dāng)n 2時 4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 1 求a4的值 2 證明 為等比數(shù)列 3 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 解題導(dǎo)引 1 令n 2 得4S4 5S2 8S3 S1得a4的值 2 n 2時將原等式化簡為4 Sn 2 Sn 1 4 Sn 1 Sn Sn Sn 1 an 2 an 1 an n 2 將n 1代入上式 成立an 2 an 1 an 得結(jié)論 3 由 2 得2nan 1 2n 1 an 2 2n 1 an 為等差數(shù)列得an 解析 1 當(dāng)n 2時 4S4 5S2 8S3 S1 即4 a1 a2 a3 a4 5 a1 a2 8 a1 a2 a3 a1 整理得a4 又a2 a3 所以a4 2 證明 當(dāng)n 2時 有4Sn 2 5Sn 8Sn 1 Sn 1 即4Sn 2 4Sn Sn 4Sn 1 4Sn 1 Sn 1 所以4 Sn 2 Sn 1 4 Sn 1 Sn Sn Sn 1 即an 2 an 1 an n 2 經(jīng)檢驗(yàn) 當(dāng)n 1時 上式成立 因?yàn)?為常數(shù) 且a2 a1 1 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng) 為公比的等比數(shù)列 3 由 2 知 an 1 an n N 等式兩邊同乘2n 得2nan 1 2n 1an 2 n N 又20a1 1 所以數(shù)列 2n 1an 是以1為首項(xiàng) 2為公差的等差數(shù)列 所以2n 1an 2n 1 即an n N 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n N