2019高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.5 二項式定理課件 北師大版選修2-3.ppt

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5二項式定理 一 二 一 二 名師點撥1 一個二項展開式的某一項的二項式系數(shù)與這一項的系數(shù) 二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積 是兩個不同的概念 二項式系數(shù)一定為正值 而項的系數(shù)既可以是正值也可以是負值 還可以是0 一 二 答案 2 一 二 二 二項式系數(shù)表當n依次取1 2 3 時 a b n展開式的二項式系數(shù)如圖所示 上圖所示的表叫作二項式系數(shù)表 在二項式系數(shù)表中 有如下兩個結論 一 二 一 二 名師點撥1 如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù) 中間一項的二項式系數(shù)最大 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù) 中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大 一 二 一 二 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 二項式定理中字母a b的順序是可以任意變換的 2 二項式系數(shù) 與 二項式的展開式系數(shù) 可以相等 3 a b n的展開式第5項是 4 1 x n中 令x 1可得展開式的所有項系數(shù)和為2n 5 a b n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a b無關 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例1 1 求的展開式 2 化簡 x 1 5 5 x 1 4 10 x 1 3 10 x 1 2 5 x 1 分析 1 可直接用二項式定理展開或先對括號內(nèi)式子化簡再展開 2 分析式子的結構形式 逆用二項式定理求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 形式簡單的二項式展開時可直接利用二項式定理展開 對于形式較復雜的二項式 在展開之前可以根據(jù)二項式的結構特點進行必要的變形 然后再展開 以使運算得到簡化 記準 記熟二項式 a b n的展開式是解答好與二項式定理有關的問題的前提 2 逆用二項式定理更要注意二項展開式的結構特點 如果項的系數(shù)是正負相間 則是 a b n的形式 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例2 已知在的展開式中 第9項為常數(shù)項 求 1 n的值 2 展開式中x5的系數(shù) 3 含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù) 分析先根據(jù)通項確定n的值 再根據(jù)特定項的特征逐一求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 在通項公式五個元素 只要知道其中四個就可以求出第五個 同時注意冪指數(shù)n是正整數(shù) r是自然數(shù) 且r n 在未知r n的情況下 用通項公式解題 一般都需要先將通項公式轉化為方程 組 求出r n 再代入通項公式求解 2 利用通項公式可以解決以下問題 1 求指定項 2 求特征項 如常數(shù)項 即字母的次數(shù)為零 有理項 即字母的次數(shù)為整數(shù)等 3 求指定項 特征項的系數(shù) 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 答案 1 B 2 D 3 15 探究一 探究二 探究三 思維辨析 例3 設 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a3 a4 a100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 5 a0 a1 a100 探究一 探究二 探究三 思維辨析 分析要求常數(shù)項a0只需令x 0即可 而要求除了常數(shù)項a0之外的其他項的系數(shù)和 則令x 1求得所有項的系數(shù)和 由a1 a3 a5 a7對應的x的指數(shù)冪都是奇數(shù) 剩下各項對應的x的指數(shù)冪都是偶數(shù) 分別令x 1 x 1 可區(qū)別指數(shù)冪為奇數(shù)或偶數(shù)的項 a0 a1 a100 只要根據(jù)a0 a1 a2 a100的正負去絕對值號 再進行求解 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟二項式定理給出的是一個恒等式 對于a b的一切值都成立 因此 可將a b設定為一些特殊的值 在使用賦值法時 令a b等于多少 應就具體情況而定 有時取 1 有時取 1 也有時要取其他值 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 則f x 展開式各項系數(shù)之和 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓練3已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a2 a7 解 1 令x 0可得 1 0 7 a0 則a0 1 令x 1可得 1 2 1 7 a0 a1 a2 a7 即a0 a1 a2 a7 1 7 1 所以a1 a2 a7 1 a0 2 2 由 1 得x 1時 a0 a1 a2 a7 1 7 1 令x 1得a0 a1 a2 a7 1 2 7 37 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 3 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 37 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因二項式系數(shù)與項的系數(shù)混淆而致誤 典例 設 x n展開式中 第二項與第四項的系數(shù)之比為1 2 試求含x2的項 易錯分析二項式中二項式系數(shù)與展開式中某一項的系數(shù)及某一項這些不同的概念容易混淆而致誤 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 1 2 3 4 1 化簡 x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1得 A x4B x 1 4C x 1 4D x5解析原式 x 1 1 4 x4 故選A 答案A 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 3 在二項式的展開式中 各項系數(shù)之和為A 各項二項式系數(shù)之和為B 且A B 72 則n 解析 賦值法 由題意可知 B 2n 令x 1 得A 4n 由A B 72 得4n 2n 72 即2n 8 n 3 答案3 5 1 2 3 4 答案 40 5 1 2 3 4 5 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a2 a7 5 解 1 令x 0可得 1 0 7 a0 則a0 1 令x 1可得 1 2 1 7 a0 a1 a2 a7 即a0 a1 a2 a7 1 7 1 所以a1 a2 a7 1 a0 2 2 由 1 得x 1時 a0 a1 a2 a7 1 7 1 令x 1得a0 a1 a2 a7 1 2 7 37 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 3 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 37 1 2 3 4 5