2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 1.5.1 直線與圓課件 文.ppt

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第一講直線與圓 熱點(diǎn)題型1直線的方程與應(yīng)用 感悟經(jīng)典 典例 1 已知直線l1 x 2ay 1 0 l2 a 1 x ay 0 若l1 l2 則實(shí)數(shù)a的值為 A B 0C 或0D 2 2 已知點(diǎn)A 1 0 B 1 0 C 0 1 直線y ax b a 0 將 ABC分割為面積相等的兩部分 則b的取值范圍是 A 0 1 B C D 3 過直線l1 x 2y 3 0與直線l2 2x 3y 8 0的交點(diǎn) 且到點(diǎn)P 0 4 距離為2的直線方程為 聯(lián)想解題 1 看到平行 想到平行滿足的條件 2 看到面積相等 想到由面積公式構(gòu)造關(guān)于a的方程 3 看到距離 想到距離公式 規(guī)范解答 1 選C 由l1 l2得1 a 2a a 1 即2a2 3a 0 解得a 0或a 經(jīng)檢驗(yàn) 當(dāng)a 0或a 時(shí)均有l(wèi)1 l2 故選C 2 選B 易知BC所在直線的方程是x y 1 由消去x 得y 當(dāng)a 0時(shí) 直線y ax b與x軸交于點(diǎn) 結(jié)合圖形知化簡得 a b 2 a a 1 則a 因?yàn)閍 0 所以 0 解得b 考慮極限位置 即當(dāng)a 0時(shí) 易得b 1 故b的取值范圍是 3 由得所以l1與l2的交點(diǎn)為 1 2 當(dāng)所求直線斜率不存在 即直線方程為x 1時(shí) 顯然不滿足題意 當(dāng)所求直線斜率存在時(shí) 設(shè)所求直線方程為y 2 k x 1 即kx y 2 k 0 因?yàn)辄c(diǎn)P 0 4 到直線的距離為2 所以2 所以k 0或k 所以直線方程為y 2或4x 3y 2 0 答案 y 2或4x 3y 2 0 提醒 1 求解兩條直線平行的問題時(shí) 在利用A1B2 A2B1 0建立方程求出參數(shù)的值后 要注意代入檢驗(yàn) 排除兩條直線重合的情況 2 求直線方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式 同時(shí)要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意 規(guī)律方法 兩直線的位置關(guān)系的判斷方法對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1 l2 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1 k2 1 若有一條直線的斜率不存在 那么另一條直線的斜率一定要特別注意 提醒 在運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d 時(shí) 一定要注意將兩方程中x y的系數(shù)分別化為相同的形式 對點(diǎn)訓(xùn)練 1 已知直線l的傾斜角為 直線l1經(jīng)過點(diǎn)A 3 2 B a 1 且l1與l垂直 直線l2 2x by 1 0與直線l1平行 則a b A 4B 2C 0D 2 解析 選B 由題知 直線l的斜率為1 則直線l1的斜率為 1 所以 1 所以a 4 又l1 l2 所以 1 b 2 所以a b 4 2 2 2 若直線l1 x ay 6 0與l2 a 2 x 3y 2a 0平行 則l1與l2間的距離為 A B C D 解析 選B 由l1 l2 得 a 2 a 1 3 且a 2a 3 6 解得a 1 所以l1 x y 6 0 l2 x y 0 所以l1與l2間的距離為d 提分備選 1 已知b 0 直線 b2 1 x ay 2 0與直線x b2y 1 0互相垂直 則ab的最小值等于 A 1B 2C 2D 2 解析 選B b 0 兩條直線的斜率存在 因?yàn)橹本€ b2 1 x ay 2 0與直線x b2y 1 0互相垂直 所以 b2 1 ab2 0 ab b 2 2 設(shè)兩條直線的方程分別為x y a 0 x y b 0 已知a b是方程x2 2x c 0的兩個(gè)實(shí)根 且0 c 則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值的差為 A B 1C D 解析 選A 因?yàn)閍 b是方程x2 2x c 0的兩個(gè)實(shí)根 所以a b 2 ab c 又因?yàn)? c 所以 a b 兩條平行直線的距離d 所以這兩條平行直線之間的距離的最大值和最小值的差 1 熱點(diǎn)題型2圓的方程 感悟經(jīng)典 典例 1 圓C的圓心在x軸上 并且過點(diǎn)A 1 1 和B 1 3 則圓C的方程為 2 已知實(shí)數(shù)x y滿足方程x2 y2 4x 1 0 1 求的最大值和最小值 2 求y x的最大值和最小值 3 求x2 y2的最大值和最小值 聯(lián)想解題 1 看到圓心在x軸上 想到圓心縱坐標(biāo)為0 2 看到求所給式子的最值 想到轉(zhuǎn)化為斜率和距離 規(guī)范解答 1 設(shè)圓心坐標(biāo)為C a 0 因?yàn)辄c(diǎn)A 1 1 和B 1 3 在圓C上 所以 CA CB 即解得a 2 所以圓心為C 2 0 半徑 CA 所以圓C的方程為 x 2 2 y2 10 答案 x 2 2 y2 10 2 原方程可化為 x 2 2 y2 3 表示以 2 0 為圓心 為半徑的圓 1 的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率 所以設(shè) k 即y kx 當(dāng)直線y kx與圓相切時(shí) 斜率k取最大值或最小值 此時(shí) 解得k 如圖1 所以的最大值為 最小值為 2 y x可看作是直線y x b在y軸上的截距 當(dāng)直線y x b與圓相切時(shí) 縱截距b取得最大值或最小值 此時(shí) 解得b 2 如圖2 所以y x的最大值為 2 最小值為 2 3 x2 y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方 由平面幾何知識知 在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值 如圖3 又圓心到原點(diǎn)的距離為 2 所以x2 y2的最大值是 2 2 7 4 x2 y2的最小值是 2 2 7 4 規(guī)律方法 1 圓的方程的求法 1 幾何法 通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量 確定圓的方程時(shí) 常用到的圓的三個(gè)性質(zhì) 圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上 圓心在任一弦的中垂線上 兩圓內(nèi)切或外切時(shí) 切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線 2 代數(shù)法 即設(shè)出圓的方程 用待定系數(shù)法求解 2 求最值的常見轉(zhuǎn)化方式 1 形如m 的最值問題 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題 2 形如m ax by的最值問題 可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題 3 形如m x a 2 y b 2的最值問題 可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問題 對點(diǎn)訓(xùn)練 1 圓x2 y2 2x 4y 1 0關(guān)于直線2ax by 2 0 a b R 對稱 則ab的取值范圍是 解析 選A 由題可知直線2ax by 2 0過圓心 1 2 故可得a b 1 又ab 所以ab 2 已知A B是圓O x2 y2 16上的兩點(diǎn) 且 AB 6 若以AB為直徑的圓M恰好經(jīng)過點(diǎn)C 1 1 則圓心M的坐標(biāo)是 解析 設(shè)圓心M x y 由 AB 6知 圓M的半徑r 3 則 MC 3 即 3 所以 x 1 2 y 1 2 9 又因?yàn)樗杂衳2 y2 7 故圓心M的軌跡滿足方程組 解得圓心M為兩個(gè)點(diǎn) 答案 提分備選 1 若圓C的半徑為1 其圓心與點(diǎn) 1 0 關(guān)于直線y x對稱 則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 A x 1 2 y2 1B x2 y 1 2 1C x2 y 1 2 1D x 1 2 y2 1 解析 選C 圓C的半徑為1 其圓心與點(diǎn) 1 0 關(guān)于直線y x對稱 可得圓的圓心坐標(biāo) 0 1 圓的方程為 x2 y 1 2 1 2 已知圓x2 y2 2x 4y 1 0和兩坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)分別為A B C 則 ABC的面積為 A 4B 2C 2D 解析 選D 由圓C x2 y2 2x 4y 1 0 化為標(biāo)準(zhǔn)方程得 x 1 2 y 2 2 4 所以圓心的坐標(biāo)為 1 2 半徑為2 圓在y軸上截得的弦長為2 與x軸的公共點(diǎn)為 1 0 所以 ABC的面積為 2 1 熱點(diǎn)題型3直線與圓 圓與圓的位置關(guān)系 感悟經(jīng)典 典例 1 2018 昆明一模 已知圓M x2 y2 2ay 0 a 0 截直線x y 0所得線段的長度是2 則圓M與圓N x 1 2 y 1 2 1的位置關(guān)系是 A 內(nèi)切B 相交C 外切D 相離 2 2016 全國卷 設(shè)直線y x 2a與圓C x2 y2 2ay 2 0相交于A B兩點(diǎn) 若 AB 2 則圓C的面積為 3 2016 全國卷 已知直線l x y 6 0與圓x2 y2 12交于A B兩點(diǎn) 過A B分別作l的垂線與x軸交于C D兩點(diǎn) 則 CD 聯(lián)想解題 1 2 看到線段長想到圓半徑 半弦及圓心到直線的距離構(gòu)成的直角三角形 3 看到求CD聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形求解 規(guī)范解答 1 選B 由題知圓M x2 y a 2 a2 a 0 圓心 0 a 到直線x y 0的距離d 所以2 2 解得a 2 即圓M的圓心為 0 2 半徑為2 又圓N的圓心為 1 1 半徑為1 則圓M 圓N的圓心距 MN 兩圓半徑之差為1 半徑之和為3 1 3 故兩圓相交 2 由圓C x2 y2 2ay 2 0可得x2 y a 2 a2 2 所以圓心C 0 a 由題意可知 解得a2 2 所以圓C的面積為 a2 2 4 答案 4 3 取AB的中點(diǎn)E 連接OE 過點(diǎn)C作BD的垂線 垂足為F 圓心到直線的距離d 3 所以在Rt OBE中 BE2 OB2 d2 3 所以AB 2 CF 又在 CDF中 FCD 30 所以CD 4 答案 4 規(guī)律方法 1 直線 圓 與圓位置關(guān)系問題的求解思路 1 研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑作比較實(shí)現(xiàn) 兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較 2 直線與圓相切時(shí)利用 切線與過切點(diǎn)的半徑垂直 圓心到切線的距離等于半徑 建立關(guān)于切線斜率的等式 所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式 過圓外一點(diǎn)求解切線段長的問題 可先求出圓心到圓外點(diǎn)的距離 再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算 2 直線截圓所得弦長的求解方法 1 根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形 把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示 即l 2 其中l(wèi)為弦長 r為圓的半徑 d為圓心到直線的距離 2 根據(jù)公式 l x1 x2 求解 其中l(wèi)為弦長 x1 x2為直線與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo) k為直線的斜率 3 求出交點(diǎn)坐標(biāo) 用兩點(diǎn)間的距離公式求解 對點(diǎn)訓(xùn)練 1 2018 南昌一模 如圖 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 直線y 2x 1與圓x2 y2 4相交于A B兩點(diǎn) 則cos AOB 解析 選D 因?yàn)閳Ax2 y2 4的圓心為O 0 0 半徑為2 所以圓心O到直線y 2x 1的距離d 所以弦長 AB 2在 AOB中 由余弦定理得cos AOB 2 已知點(diǎn)A 2 0 B 2 0 若圓 x 3 2 y2 r2 r 0 上存在點(diǎn)P 不同于點(diǎn)A B 使得PA PB 則實(shí)數(shù)r的取值范圍是 A 1 5 B 1 5 C 1 3 D 3 5 解析 選A 根據(jù)直徑對的圓周角為90 結(jié)合題意可得以AB為直徑的圓和圓 x 3 2 y2 r2有交點(diǎn) 顯然兩圓相切時(shí)不滿足條件 故兩圓相交 而以AB為直徑的圓的方程為x2 y2 4 兩個(gè)圓的圓心距為3 故 r 2 3 r 2 求得1 r 5 提分備選 已知圓x2 y2 2x 2y a 0截直線x y 2 0所得弦的長度為4 則實(shí)數(shù)a的值是 A 2B 4C 6D 8 解析 選B 圓x2 y2 2x 2y a 0 即 x 1 2 y 1 2 2 a 故弦心距d 再由弦長公式可得2 a 2 4 所以a 4 數(shù)學(xué)運(yùn)算 直線與圓中的最值問題中的數(shù)學(xué)素養(yǎng) 相關(guān)鏈接 轉(zhuǎn)化與化歸思想方法 就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化 進(jìn)而解決問 題的一種方法 在求解直線與圓中的最值問題時(shí) 往往根據(jù)圖形找到問題的突破口 把最值問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化和化歸 典例 已知P x y 是直線kx y 4 0 k 0 上一動(dòng)點(diǎn) PA PB是圓C x2 y2 2y 0的兩條切線 A B是切點(diǎn) 若四邊形PACB的最小面積是2 則k的值為 A 3B C 2D 2 規(guī)范解答 選D 如圖 把圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式得x2 y 1 2 1 所以圓心坐標(biāo)為 0 1 半徑為r 1 四邊形PACB的面積S 2S PBC PB BC 因?yàn)?BC 1為定值 所以四邊形PACB最小面積為2時(shí) 只需 PB 最小值為2 由切線長公式 PB 只要 PC 最小值為即可 即圓心到直線kx y 4 0的距離d 即可 此時(shí)d 即k2 4 因?yàn)閗 0 所以k 2 通關(guān)題組 1 過直線y x上一點(diǎn)P作圓C x 5 2 y 1 2 2的兩條切線 切點(diǎn)為A B 當(dāng)點(diǎn)P到圓心C的距離最小時(shí) ACB的大小為 A 30 B 60 C 120 D 150 解析 選C 因?yàn)楫?dāng)CP垂直于直線y x時(shí) 點(diǎn)P到圓心C的距離最小 由點(diǎn)到直線的距離公式得d 2 又因?yàn)閳A的半徑為 所以在直角三角形PAC中 APC 30 所以 ACB的大小為120 2 過點(diǎn) 0 引直線l與曲線y 相交于A B兩點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) 當(dāng) AOB的面積取最大值時(shí) 直線l的斜率等于 A B C D 解析 選B 由y 得x2 y2 1 y 0 即該曲線表示圓心在原點(diǎn) 半徑為1的半圓 如圖所示 故S AOB OA OB sin AOB sin AOB 所以當(dāng)sin AOB 1 即OA OB時(shí) S AOB取得最大值 此時(shí)點(diǎn)O到直線l的距離d OA sin45 設(shè)此時(shí)直線l的斜率為k 則方程為y k x 即kx y k 0 則有 解得k 由圖可知直線l的傾斜角為鈍角 故取k 3 已知直線l mx y 3m 0與圓x2 y2 12交于A B兩點(diǎn) 過A B分別作l的垂線與x軸交于C D兩點(diǎn) 若AB 2 則CD 解題指南 通過點(diǎn)到直線的距離求出弦AB的一半 解出m之后求CD的長 解析 取AB的中點(diǎn)E 連接OE 過點(diǎn)C作BD的垂線 垂足為F 圓心到直線l的距離d 所以在Rt OBE中 BE2 OB2 d2 3 所以d 3 得m 又在 CDF中 FCD 30 所以CD 4 答案 4 4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中 圓C x 2 2 y m 2 3 若圓C存在以G為中點(diǎn)的弦AB 且AB 2GO 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 解析 由于圓C存在以G為中點(diǎn)的弦AB 且AB 2GO 故OA OB 如圖所示 過點(diǎn)O作圓C的兩條切線 切點(diǎn)分別為B D 圓上要存在滿足題意的點(diǎn)A 只需 BOD 90 即 COB 45 連接CB 由C 2 m 可得 CO 答案 或 m