2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用課件 理 新人教版.ppt

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第4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 知識梳理自測 考點(diǎn)專項(xiàng)突破 解題規(guī)范夯實(shí) 知識梳理自測把散落的知識連起來 教材導(dǎo)讀 數(shù)列求和有哪些方法 提示 公式法 倒序相加法 裂項(xiàng)相消法 分組求和法 并項(xiàng)求和法 錯(cuò)位相減法 知識梳理 1 數(shù)列求和的基本方法 1 公式法直接用等差 等比數(shù)列的求和公式求解 2 倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列 an 滿足與首末兩項(xiàng)等 距離 的兩項(xiàng)的和相等 或等于同一常數(shù) 那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和 可用倒序相加法 3 裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差 在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消 從而求得其和 4 分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成 求和時(shí)可用分組求和法 分別求和而后相加 5 并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中 若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解 則稱之為并項(xiàng)求和 形如an 1 nf n 類型 可采用并項(xiàng)法求解 6 錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的 那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用此法來求 如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的 2 數(shù)列應(yīng)用題的常見模型 1 等差模型 當(dāng)增加 或減少 的量是一個(gè)固定量時(shí) 該模型是等差模型 增加 或減少 的量就是公差 2 等比模型 當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí) 該模型是等比模型 這個(gè)固定的數(shù)就是公比 3 遞推模型 找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式 可由遞推關(guān)系入手解決實(shí)際問題 該模型是遞推模型 等差模型 等比模型是該模型的兩個(gè)特例 雙基自測 1 數(shù)列 1 2n 1 的前n項(xiàng)和為 A 1 2n B 2 2n C n 2n 1 D n 2 2n C A 4 3 2 1 4 2 2 5 2 3 n 2 2 n 考點(diǎn)專項(xiàng)突破在講練中理解知識 考點(diǎn)一 數(shù)列求和 反思?xì)w納分組法求和的常見類型 1 若an bn cn 且 bn cn 為等差或等比數(shù)列 可采用分組法求 an 的前n項(xiàng)和 反思?xì)w納 1 常見的裂項(xiàng)方法 其中n為正整數(shù) 2 利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí) 應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng) 也有可能前面剩兩項(xiàng) 后面也剩兩項(xiàng) 再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后 有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù) 使前后相等 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 等比數(shù)列 bn 的公比為q 由已知b2 b3 12 得b1 q q2 12 而b1 2 所以q2 q 6 0 又因?yàn)閝 0 解得q 2 所以bn 2n 由b3 a4 2a1 可得3d a1 8 由S11 11b4 可得a1 5d 16 聯(lián)立 解得a1 1 d 3 由此可得an 3n 2 所以數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 3n 2 數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為bn 2n 考查角度3 錯(cuò)位相減法求和 例3 2017 天津卷 已知 an 為等差數(shù)列 前n項(xiàng)和為Sn n N bn 是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列 且公比大于0 b2 b3 12 b3 a4 2a1 S11 11b4 1 求 an 和 bn 的通項(xiàng)公式 2 求數(shù)列 a2nb2n 1 的前n項(xiàng)和 n N 反思?xì)w納錯(cuò)位相減法求和策略 1 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和時(shí) 可采用錯(cuò)位相減法 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式 錯(cuò)項(xiàng)對齊 以便下一步準(zhǔn)確寫出 Sn qSn 的表達(dá)式 3 在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí) 若等比數(shù)列的公比為參數(shù) 應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解 考點(diǎn)二 與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問題 反思?xì)w納 1 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類 已知函數(shù)條件 解決數(shù)列問題 一般利用函數(shù)的性質(zhì) 圖象 已知數(shù)列條件 解決函數(shù)問題 一般要充分利用數(shù)列的范圍 公式 求和方法對式子化簡變形 2 數(shù)列與不等式的恒成立問題 此類問題常構(gòu)造函數(shù) 通過函數(shù)的單調(diào)性 最值等解決問題 3 與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題 解決此類問題要靈活選擇不等式的證明方法 如比較法 綜合法 分析法 放縮法等 備選例題 例1 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a2an S2 Sn對一切正整數(shù)n都成立 1 求a1 a2的值 2 若bn 1 nan 求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和Tn 解題規(guī)范夯實(shí)把典型問題的解決程序化 數(shù)列求和中的創(chuàng)新問題解題策略 典例 12分 2016 全國 卷 Sn為等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且a1 1 S7 28 記bn lgan 其中 x 表示不超過x的最大整數(shù) 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求數(shù)列 bn 的前1000項(xiàng)和 審題指導(dǎo) 答題模板 第一步 根據(jù)等差數(shù)列 an 中的a1 1 S7 28求an 再根據(jù)函數(shù) x 的定義求b1 b11 b101 第二步 分析bn lgan 的規(guī)律并分類求出bn 第三步 分組求和得數(shù)列 bn 的前1000項(xiàng)和