高考數(shù)學復習 第六章 第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和課件 文.ppt

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第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和 知識點一等比數(shù)列的概念 1 等比數(shù)列的定義 1 條件 一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的比等于 2 公比 是指常數(shù) 通常用字母q表示 q 0 同一 個常數(shù) 若等比數(shù)列 an 的首項是a1 公比是q 則其通項公式為 n N 推廣式 an amqn m n m N 2 等比數(shù)列的通項公式 3 等比中項 如果 成等比數(shù)列 那么G叫做a與b的等比中項 即G是a與b的等比中項 a G b成等比數(shù)列 an a1qn 1 a G b G2 a b 知識點二等比數(shù)列的前n項和及性質 1 等比數(shù)列的前n項和公式 2 等比數(shù)列的性質 na1 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 Sn是其前n項和 1 若m n p q 2r 則am an 2 數(shù)列am am k am 2k am 3k 仍是等比數(shù)列 3 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 仍是等比數(shù)列 此時 an 的公比q 1 名師助學 本部分知識可以歸納為 1 三個定義 等比數(shù)列的定義 等比中項的定義 等比數(shù)列的通項公式 2 兩種方法 證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩種方法 定義法 等比中項法 方法1等比數(shù)列的性質的應用 1 等比數(shù)列的單調性設等比數(shù)列 an 的首項為a1 公比為q 1 當q 1 a1 0或01 a10時 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 3 當q 1時 數(shù)列 an 是 非零 常數(shù)列 4 當q 1時 數(shù)列 an 是擺動數(shù)列 2 等比數(shù)列項的運算性質若m n p q m n p q q N 則am an ap aq 1 特別地 當m n 2k m n k N 時 am an a 2 對有窮等比數(shù)列 與首末兩項 等距離 的兩項之積等于末兩項的積 即a1 an a2 an 1 ak an k 1 3 等比數(shù)列前n項和的性質若Sn是等比數(shù)列的前n項和 則當q 1時 Sn S2n Sn S3n S2n 成等比數(shù)列 例1 1 已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中 a1 a2 a3 5 a7 a8 a9 10 則a4 a5 a6 2 已知等比數(shù)列 an 滿足an 0 n 1 2 且a5 a2n 5 22n n 3 則log2a1 log2a3 log2a2n 1等于 A n 2n 1 B n 1 2C n2D n 1 2 解題指導 1 已知 等比數(shù)列中項之間的關系 1 問中a1a2a3 5 a7 a8 a9 10 2 問中a5 a2n 5 22n 2 分析 通過等比數(shù)列的性質 將已知條件進行轉化 3 轉化 1 問中a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9成等比數(shù)列 點評 在等比數(shù)列的基本運算問題中 一般是列出a1 q滿足的方程組 求解方程組 但有時運算量較大 如果可利用等比數(shù)列的性質 便可減少運算量 提高解題的速度 要注意挖掘已知和 隱含 的條件 答案 1 A 2 C 方法2等比數(shù)列的判定與證明 3 通項公式法 若數(shù)列通項公式可寫成an c qn c q均是不為0的常數(shù) n N 則 an 是等比數(shù)列 4 前n項和公式法 若數(shù)列 an 的前n項和Sn k qn k k為常數(shù)且k 0 q 0 1 則 an 是等比數(shù)列 提醒 前兩種方法常用于解答題中 而后兩種方法常用于選擇 填空題中的判定 例2 設數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 設bn an 1 2an 證明數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 1 證明由a1 1 及Sn 1 4an 2 有a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 由Sn 1 4an 2 知當n 2時 有Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 方法3等差與等比數(shù)列的綜合問題 1 在等差數(shù)列中蘊含等比關系 由等差數(shù)列設出數(shù)列的項 突出a1 d 利用等比數(shù)列列方程求解 同樣等比數(shù)列中蘊含等差關系也如此解決 2 兩個數(shù)列 一個是等差數(shù)列 另一個是等比數(shù)列 要找到它們之間的聯(lián)系 來解決實際問題 3 解題時適當利用性質轉化條件可簡化運算 4 挖掘隱含條件 發(fā)現(xiàn)等差 或等比 關系 使解題目的明確 例3 成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15 并且這三個數(shù)分別加 上2 5 13后成為等比數(shù)列 bn 中的b3 b4 b5 1 求數(shù)列 bn 的通項公式 解題指導 設等差數(shù)列的三個正數(shù) 利用等比數(shù)列的性質解出公差d 從而求出數(shù)列 bn 的首項 公比 利用等比數(shù)列的定義可解決第 2 問 答題模板 求解等差和等比數(shù)列綜合性問題的一般步驟 第一步 設等比數(shù)列 等差數(shù)列的基本量 第二步 根據(jù)條件列方程 解出基本量 第三步 根據(jù)公式求通項或前n項和 第四步 根據(jù)定義證明等差 等比數(shù)列 對于等比數(shù)列 一定要說明首項非零 溫馨提醒 關于等差 比 數(shù)列的基本運算 其實質就是解方程或方程組 需要認真計算 靈活處理已知條件 容易出現(xiàn)的問題主要有兩個方面 一是計算出現(xiàn)失誤 特別是利用因式分解求解方程的根時 不注意對根的符號進行判斷 二是不能靈活運用等差 比 數(shù)列的基本性質轉化已知條件 導致列出的方程或方程組較為復雜 增大運算量