高考數學一輪復習 第十三章 推理與證明、算法、復數 13.1 合情推理與演繹推理課件 理.ppt

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第十三章推理與證明 算法 復數 13 1合情推理與演繹推理 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 高頻小考點 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 合情推理 1 歸納推理 定義 從個別事實中推演出一般性的結論 稱為歸納推理 簡稱歸納法 特點 歸納推理是由到整體 由到一般的推理 2 類比推理 定義 根據兩個 或兩類 對象之間在某些方面的相似或相同 推演出它們在其他方面也相似或相同 像這樣的推理通常稱為類比推理 簡稱類比法 特點 類比推理是由到的推理 部分 個別 特殊 特殊 知識梳理 1 答案 3 合情推理合情推理是根據已有的事實 正確的結論 實驗和實踐的結果 以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程 歸納推理和類比推理都是數學活動中常用的合情推理 2 演繹推理 1 演繹推理一種由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理 簡言之 演繹推理是由到的推理 一般 特殊 答案 2 三段論 是演繹推理的一般模式 大前提 已知的 小前提 所研究的 結論 根據一般原理 對做出的判斷 一般原理 特殊情況 特殊情況 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 歸納推理得到的結論不一定正確 類比推理得到的結論一定正確 2 由平面三角形的性質推測空間四面體的性質 這是一種合情推理 3 在類比時 平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適 4 所有3的倍數都是9的倍數 某數m是3的倍數 則m一定是9的倍數 這是三段論推理 但其結論是錯誤的 5 一個數列的前三項是1 2 3 那么這個數列的通項公式是an n n N 6 在演繹推理中 只要符合演繹推理的形式 結論就一定正確 思考辨析 答案 1 觀察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 則a10 b10 解析從給出的式子特點觀察可推知 等式右端的值 從第三項開始 后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和 依據此規(guī)律 a10 b10 123 123 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 命題 有些有理數是無限循環(huán)小數 整數是有理數 所以整數是無限循環(huán)小數 是假命題 推理錯誤的原因是 使用了歸納推理 使用了類比推理 使用了 三段論 但推理形式錯誤 使用了 三段論 但小前提錯誤 解析由 三段論 的推理方式可知 該推理的錯誤原因是推理形式錯誤 解析答案 1 2 3 4 5 3 2014 福建 已知集合 a b c 0 1 2 且下列三個關系 a 2 b 2 c 0有且只有一個正確 則100a 10b c 解析答案 1 2 3 4 5 解析因為三個關系中只有一個正確 分三種情況討論 所以解得a b 1 c 0 或a 1 b c 0 或b 1 a c 0 與互異性矛盾 解析答案 1 2 3 4 5 所以100a 10b c 201 答案201 1 2 3 4 5 4 類比平面內 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 的性質 可得出空間內的下列結論 垂直于同一個平面的兩條直線互相平行 垂直于同一條直線的兩條直線互相平行 垂直于同一個平面的兩個平面互相平行 垂直于同一條直線的兩個平面互相平行 則正確的結論是 解析顯然 正確 對于 在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行 也可以異面或相交 對于 在空間中垂直于同一個平面的兩個平面可以平行 也可以相交 解析答案 1 2 3 4 5 5 教材改編 在等差數列 an 中 若a10 0 則有a1 a2 an a1 a2 a19 n n 19 n N 成立 類比上述性質 在等比數列 bn 中 若b9 1 則b1b2b3b4 bn b1b2b3b4 b17 n n 17 n N 1 2 3 4 5 答案 返回 題型分類深度剖析 命題點1與數字有關的等式的推理 例1 2015 陜西 觀察下列等式 據此規(guī)律 第n個等式可為 題型一歸納推理 解析答案 解析等式左邊的特征 第1個等式有2項 第2個有4項 第3個有6項 且正負交錯 故第n個等式左邊有2n項且正負交錯 等式右邊的特征 第1個有1項 第2個有2項 第3個有3項 命題點2與不等式有關的推理 解析第一個式子是n 1的情況 此時a 11 1 第二個式子是n 2的情況 此時a 22 4 第三個式子是n 3的情況 此時a 33 27 歸納可知a nn nn 解析答案 命題點3與數列有關的推理 正方形數N n 4 n2 六邊形數N n 6 2n2 n 可以推測N n k 的表達式 由此計算N 10 24 解析答案 解析由N n 4 n2 N n 6 2n2 n 可以推測 答案1000 命題點4與圖形變化有關的推理 例4某種平面分形圖如下圖所示 一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段 長度均為1 兩兩夾角為120 二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段 且這兩條線段與原線段兩夾角為120 依此規(guī)律得到n級分形圖 1 n級分形圖中共有 條線段 解析分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段 由題圖知 一級分形圖中有3 3 2 3 條線段 二級分形圖中有9 3 22 3 條線段 三級分形圖中有21 3 23 3 條線段 按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數an 3 2n 3 n N 3 2n 3 解析答案 2 n級分形圖中所有線段長度之和為 解析答案 思維升華 歸納推理問題的常見類型及解題策略 1 與數字有關的等式的推理 觀察數字特點 找出等式左右兩側的規(guī)律及符號可解 2 與不等式有關的推理 觀察每個不等式的特點 注意是縱向看 找到規(guī)律后可解 3 與數列有關的推理 通常是先求出幾個特殊現象 采用不完全歸納法 找出數列的項與項數的關系 列出即可 4 與圖形變化有關的推理 合理利用特殊圖形歸納推理得出結論 并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡?思維升華 1 觀察下圖 可推斷出 x 處應該填的數字是 解析由前兩個圖形發(fā)現 中間數等于四周四個數的平方和 x 處應填的數字是32 52 72 102 183 183 解析答案 跟蹤訓練1 2 如圖 有一個六邊形的點陣 它的中心是1個點 算第1層 第2層每邊有2個點 第3層每邊有3個點 依此類推 如果一個六邊形點陣共有169個點 那么它的層數為 解析由題意知 第1層的點數為1 第2層的點數為6 第3層的點數為2 6 第4層的點數為3 6 第5層的點數為4 6 第n n 2 n N 層的點數為6 n 1 設一個點陣有n n 2 n N 層 由題意得3n2 3n 1 169 即 n 7 n 8 0 所以n 8 故共有8層 8 解析答案 例5已知數列 an 為等差數列 若am a an b n m 1 m n N 則am n 類比等差數列 an 的上述結論 對于等比數列 bn bn 0 n N 若bm c bn d n m 2 m n N 則可以得到bm n 解析設數列 an 的公差為d 數列 bn 的公比為q 題型二類比推理 解析答案 思維升華 1 進行類比推理 應從具體問題出發(fā) 通過觀察 分析 聯想進行類比 提出猜想 其中找到合適的類比對象是解題的關鍵 2 類比推理常見的情形有平面與空間類比 低維的與高維的類比 等差數列與等比數列類比 數的運算與向量的運算類比 圓錐曲線間的類比等 思維升華 解析設ha hb hc hd分別是三棱錐A BCD四個面上的高 P為三棱錐A BCD內任一點 P到相應四個面的距離分別為Pa Pb Pc Pd 跟蹤訓練2 解析答案 n 2 Sn n Sn 1 Sn 即nSn 1 2 n 1 Sn 大前提是等比數列的定義 這里省略了 題型三演繹推理 解析答案 2 Sn 1 4an 又a2 3S1 3 S2 a1 a2 1 3 4 4a1 小前提 對于任意正整數n 都有Sn 1 4an 結論 第 2 問的大前提是第 1 問的結論以及題中的已知條件 解析答案 思維升華 演繹推理是由一般到特殊的推理 常用的一般模式為三段論 演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系 解題時要找準正確的大前提 一般地 若大前提不明確時 可找一個使結論成立的充分條件作為大前提 思維升華 某國家流傳這樣的一個政治笑話 鵝吃白菜 參議員先生也吃白菜 所以參議員先生是鵝 結論顯然是錯誤的 是因為 大前提錯誤 小前提錯誤 推理形式錯誤 非以上錯誤 解析因為大前提的形式 鵝吃白菜 不是全稱命題 大前提本身正確 小前提 參議員先生也吃白菜 本身也正確 但不是大前提下的特殊情況 鵝與人不能類比 所以不符合三段論推理形式 所以推理形式錯誤 跟蹤訓練3 解析答案 返回 高頻小考點 典例1 1 傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上畫點或用小石子表示數 他們研究過如圖所示的三角形數 將三角形數1 3 6 10 記為數列 an 將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列 bn 可以推測 b2014是數列 an 的第 項 b2k 1 用k表示 高頻小考點 10 高考中的合情推理問題 解析答案 解析答案 答案 5035 2 設S T是R的兩個非空子集 如果存在一個從S到T的函數y f x 滿足 1 T f x x S 2 對任意x1 x2 S 當x1 x2時 恒有f x1 f x2 那么稱這兩個集合 保序同構 以下集合對不是 保序同構 的是 A N B N A x 1 x 3 B x x 8或0 x 10 A x 0 x 1 B R A Z B Q 解析答案 溫馨提醒 返回 解析對于 取f x x 1 x N 所以A N B N是 保序同構 的 故 是 不符合 不是保序同構 答案 溫馨提醒 1 解決歸納推理問題 常因條件不足 了解不全面而致誤 應由條件多列舉一些特殊情況再進行歸納 2 解決類比問題 應先弄清所給問題的實質及已知結論成立的緣由 再去類比另一類問題 返回 溫馨提醒 思想方法感悟提高 1 合情推理的過程概括為 2 演繹推理是從一般的原理出發(fā) 推出某個特殊情況的結論的推理方法 是由一般到特殊的推理 常用的一般模式是三段論 數學問題的證明主要通過演繹推理來進行 方法與技巧 1 合情推理是從已知的結論推測未知的結論 發(fā)現與猜想的結論都要經過進一步嚴格證明 2 演繹推理是由一般到特殊的證明 它常用來證明和推理數學問題 注意推理過程的嚴密性 書寫格式的規(guī)范性 3 合情推理中運用猜想時不能憑空想象 要有猜想或拓展依據 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 下列推理是歸納推理的是 A B為定點 動點P滿足PA PB 2a AB 則P點的軌跡為橢圓 由a1 1 an 3n 1 求出S1 S2 S3 猜想出數列的前n項和Sn的表達式 科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析從S1 S2 S3猜想出數列的前n項和Sn 是從特殊到一般的推理 所以 是歸納推理 解析答案 2 正弦函數是奇函數 f x sin x2 1 是正弦函數 因此f x sin x2 1 是奇函數 以上推理 結論正確 大前提不正確 小前提不正確 全不正確 解析f x sin x2 1 不是正弦函數 所以小前提錯誤 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 3 平面內有n條直線 最多可將平面分成f n 個區(qū)域 則f n 的表達式為f n 解析1條直線將平面分成1 1個區(qū)域 2條直線最多可將平面分成1 1 2 4個區(qū)域 3條直線最多可將平面分成1 1 2 3 7個區(qū)域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 4 給出下列三個類比結論 ab n anbn與 a b n類比 則有 a b n an bn loga xy logax logay與sin 類比 則有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2與 a b 2類比 則有 a b 2 a2 2a b b2 其中正確結論的個數是 解析 a b n an bn n 1 a b 0 故 錯誤 sin sin sin 不恒成立 由向量的運算公式知 正確 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 若 cn 是等比數列 即 dn 為等比數列 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 觀察下列不等式 照此規(guī)律 第五個不等式為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析觀察每行不等式的特點 每行不等式左端最后一個分數的分母的開方與右端值的分母相等 且每行右端分數的分子構成等差數列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析設P1 x1 y1 P2 x2 y2 因為P0 x0 y0 在這兩條切線上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析由等比數列的性質可知b1b30 b2b29 b11b20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 并注意到在這三個特殊式子中 自變量之和均等于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 歸納猜想得 當x1 x2 1時 解析答案 證明 設x1 x2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解如圖所示 由射影定理得AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 又BC2 AB2 AC2 猜想 四面體A BCD中 AB AC AD兩兩垂直 AE 平面BCD 解析答案 證明 如圖 連結BE并延長交CD于F 連結AF AB AC AB AD AC AD D AC 平面ACD AD 平面ACD AB 平面ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 AF 平面ACD AB AF 11 已知 正方形的對角線相等 矩形的對角線相等 正方形是矩形 根據 三段論 推理出一個結論 則這個結論是 填序號 解析根據演繹推理的特點 正方形與矩形是特殊與一般的關系 所以結論是正方形的對角線相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 12 如圖 我們知道 圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉一周所形成的平面圖形 又圓環(huán)的面積S R2 r2 R r 2 所以 圓環(huán)的面積等于以線段AB R r為寬 以AB中點繞圓心O旋轉一周所形成的圓的周長2 為長的矩形面積 請你將上述想法拓展到空間 并解決下列問題 若將平面區(qū)域M x y x d 2 y2 r2 其中0 r d 繞y軸旋轉一周 則所形成的旋轉體的體積是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 解析平面區(qū)域M的面積為 r2 由類比知識可知 平面區(qū)域M繞y軸旋轉一周得到的旋轉體為實心的車輪內胎 旋轉體的體積等于以圓 面積為 r2 為底 以O為圓心 d為半徑的圓的周長2 d為高的圓柱的體積 所以旋轉體的體積V r2 2 d 2 2r2d 答案2 2r2d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 如圖 1 若從點O所作的兩條射線OM ON上分別有點M1 M2與點N1 N2 則三角形面積之比 如圖 2 若從點O所作的不在同一平面內的三條射線OP OQ和OR上分別有點P1 P2 點Q1 Q2和點R1 R2 則類似的結論為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 故體積之比為 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 某同學在一次研究性學習中發(fā)現 以下五個式子的值都等于同一個常數 sin213 cos217 sin13 cos17 sin215 cos215 sin15 cos15 sin218 cos212 sin18 cos12 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 試從上述五個式子中選擇一個 求出這個常數 解 1 選擇 式 計算如下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 2 根據 1 的計算結果 將該同學的發(fā)現推廣為三角恒等式 并證明你的結論 解三角恒等式為 證明如下 sin2 cos2 30 sin cos 30 sin2 cos30 cos sin30 sin 2 sin cos30 cos sin30 sin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 15 對于三次函數f x ax3 bx2 cx d a 0 給出定義 設f x 是函數y f x 的導數 f x 是f x 的導數 若方程f x 0有實數解x0 則稱點 x0 f x0 為函數y f x 的 拐點 某同學經過探究發(fā)現 任何一個三次函數都有 拐點 任何一個三次函數都有對稱中心 且 拐點 就是對稱中心 若請你根據這一發(fā)現 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求函數f x 的對稱中心 解f x x2 x 3 f x 2x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回