高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列課件 湘教版.ppt

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第五章數(shù)列 5 1數(shù)列的概念與簡單表示5 2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和5 3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和5 4數(shù)列求和5 5數(shù)列模型的應(yīng)用5 6數(shù)列綜合性問題 5 1數(shù)列的概念與簡單表示 1 數(shù)列的概念按照排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列 一般用表示 一定順序 2 數(shù)列的分類 有限 無限 正整數(shù)集N 或N 的有限子集 1 2 3 n 函數(shù)值 解析法 圖象法 列表法 序號(hào)n 由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng) 1 由所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí) 需仔細(xì)觀察分析 抓住以下幾方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相鄰項(xiàng)的變化特征 3 拆項(xiàng)后的特征 4 各項(xiàng)符號(hào)特征等 并對(duì)此進(jìn)行歸納 聯(lián)想 2 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法 它蘊(yùn)含著 從特殊到一般 的思想 由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的 要注意代值檢驗(yàn) 對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化 可用 1 n或 1 n 1來調(diào)整 3 觀察 分析問題的特點(diǎn)是最重要的 觀察要有目的 觀察出項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系 規(guī)律 利用我們熟知的一些基本數(shù)列 如自然數(shù)列 奇偶數(shù)列等 轉(zhuǎn)換而使問題得到解決 由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式 變式訓(xùn)練 2 已知下面數(shù)列 an 的遞推關(guān)系和前n項(xiàng)和Sn 求 an 的通項(xiàng)公式 1 Sn 3n b 2 a1 1 an 1 3an 2 求an 解析 1 a1 S1 3 b 當(dāng)n 2時(shí) an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 當(dāng)b 1時(shí) a1適合此等式 當(dāng)b 1時(shí) a1不適合此等式 當(dāng)b 1時(shí) an 2 3n 1 當(dāng)b 1時(shí) an 3 b n 1 2 3n 1 n 2 數(shù)列的性質(zhì)研究 1 數(shù)列的概念及簡單表示數(shù)列中的數(shù)是有序的 要注意辨析數(shù)列的項(xiàng)和數(shù)集中元素的異同 數(shù)列的簡單表示要類比函數(shù)的表示方法來理解 數(shù)列 an 可以看成是以正整數(shù)集N 或N 的有限子集 1 2 3 n 為定義域的函數(shù)an f n 當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值 2 由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出其通項(xiàng)公式據(jù)所給數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式時(shí) 需仔細(xì)觀察分析 抓住其幾方面的特征 1 分式中分子 分母的特征 2 相鄰項(xiàng)的變化特征 3 拆項(xiàng)后的特征 4 各項(xiàng)符號(hào)特征和絕對(duì)值特征 并對(duì)此進(jìn)行歸納 化歸 聯(lián)想 通過對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析可以看出 本節(jié)主要考查數(shù)列的項(xiàng) 項(xiàng)數(shù) 求通項(xiàng)公式 an與Sn的關(guān)系 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)時(shí) 通常將其變形成等差數(shù)列 等比數(shù)列或與函數(shù)的周期性等有關(guān)的問題 2013 全國新課標(biāo) 卷 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知S10 0 S15 25 則nSn的最小值為 規(guī)范解答 由題意及等差數(shù)列的性質(zhì) 知a1 a10 0 a1 a15 兩式相減 得a15 a10 5d 所以d a1 3 所以nSn n na1 d 令f x x 0 則f x x 3x 20 由函數(shù)的單調(diào)性 可知函數(shù)f x 在x 時(shí)取得最小值 檢驗(yàn)n 6時(shí) 6S6 48 而n 7時(shí) 7S7 49 故nSn的最小值為 49 閱后報(bào)告 本題求出的nSn的表達(dá)式可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集N 上的三次函數(shù) 因此可以采用導(dǎo)數(shù)法求解 3 2014 全國新課標(biāo) 卷 數(shù)列 an 滿足an 1 a8 2 則a1 解析 由題易知a8 2 得a7 a7 得a6 1 a6 1 得a5 2 于是可知數(shù)列 an 具有周期性 且周期為3 所以a1 a7 答案 課時(shí)作業(yè) 5 2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 2 同一個(gè)常數(shù) 公差 A 2 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 7 a3 a6 16 an 31 則n為 A 13B 14C 15D 16 解析 由已知可得a4 a5 7 a5 a3 a6 16 得a5 16 7 9 故公差d a5 a4 9 7 2 同時(shí)解得a1 1 由1 n 1 2 31 解得n 16 答案 D 3 2014 荊州高三調(diào)研 公差不為零的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a4是a3與a7的等比中項(xiàng) 且S10 60 則S20 A 80B 160C 320D 640 4 2014 武漢高三聯(lián)考 已知數(shù)列 an 是等差數(shù)列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則使得Sn達(dá)到最大的n是 解析 a1 a3 a5 105 a3 35 a2 a4 a6 99 a4 33 則 an 的公差d 33 35 2 a1 a3 2d 39 Sn n2 40n 因此當(dāng)Sn取得最大值時(shí) n 20 答案 20 等差數(shù)列的判斷與證明 等差數(shù)列的基本運(yùn)算 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 變式訓(xùn)練 3 在數(shù)列 an 中 a1 1 3anan 1 an an 1 0 n 2 1 證明數(shù)列是等差數(shù)列 2 求數(shù)列 an 的通項(xiàng) 3 若 an 對(duì)任意n 2的整數(shù)恒成立 求實(shí)數(shù) 的取值范圍 解析 1 證明 將3anan 1 an an 1 0 n 2 整理得 3 n 2 所以數(shù)列為以1為首項(xiàng) 3為公差的等差數(shù)列 2 由 1 可得 1 3 n 1 3n 2 所以an 13n 2 3 若 an 對(duì)n 2的整數(shù)恒成立 即 3n 2 3n 1 對(duì)n 2的整數(shù)恒成立 整理得 3n 1 3n 2 3 n 1 規(guī)范解答 1 由題意得 a1 5a3 2a2 2 2 由a1 10 an 為公差為d的等差數(shù)列得 d2 3d 4 0 解得d 1或d 4 所以an n 11 n N 或an 4n 6 n N 2 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 因?yàn)閐 0 由 1 得d 1 an n 11 所以當(dāng)n 11時(shí) a1 a2 a3 an Sn n2 n 當(dāng)n 12時(shí) a1 a2 a3 an Sn 2S11 n2 n 110 綜上所述 a1 a2 a3 an n2 n n 11 n2 n 110 n 12 閱后報(bào)告 1 不能盲目認(rèn)為 a1 a2 an 是等差數(shù)列 要分段研究 2 當(dāng)n 11時(shí) 是求Sn 而不是求S11 3 討論n 11和n 12后 要有總結(jié)結(jié)論 1 2014 遼寧卷 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 若數(shù)列 為遞減數(shù)列 則 A d 0B d 0C a1d 0D a1d 0 解析 令bn 2a1an 因?yàn)閿?shù)列 為遞減數(shù)列 所以 1 所以a1d 0 答案 D 2 2014 北京卷 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a100 a7 a10 a8 a90 a9 0 n 8時(shí) 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和最大 答案 8 3 2014 湖北卷 已知等差數(shù)列 an 滿足 a1 2 且a1 a2 a5成等比數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 記Sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 是否存在正整數(shù)n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 說明理由 解析 1 設(shè)數(shù)列 an 的公差為d 依題意得 2 2 d 2 4d成等比數(shù)列 故有 2 d 2 2 2 4d 化簡得d2 4d 0 解得d 0或d 4 當(dāng)d 0時(shí) an 2 當(dāng)d 4時(shí) an 2 n 1 4 4n 2 從而得數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2或an 4n 2 課時(shí)作業(yè) 5 3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 第2項(xiàng) 前一項(xiàng) 同一個(gè) 公比 q 等比數(shù)列 ab 等比 3 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若S6 S3 1 2 則S9 S3 A 1 2B 2 3C 3 4D 1 3 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)知S3 S6 S3 S9 S6仍成等比數(shù)列 于是 S6 S3 2 S3 S9 S6 將S6 1 2S3代入得S9 S3 3 4 答案 C 等比數(shù)列的判定與證明 3 假設(shè)存在 則m n 2s am 1 an 1 as 1 2 因?yàn)閍n 所以化簡 得3m 3n 2 3s 因?yàn)?m 3n 2 3s 當(dāng)且僅當(dāng)m n時(shí)等號(hào)成立 又m s n互不相等 所以3m 3n 2 3s不成立 所以不存在滿足條件的m n s 等比數(shù)列的基本運(yùn)算 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題 數(shù)列中有五個(gè)量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通過列方程 組 所求問題可迎刃而解 解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式 并靈活運(yùn)用 在運(yùn)算過程中 還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程 變式訓(xùn)練 2 已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列 an 不是遞減數(shù)列 其前n項(xiàng)和為Sn n N 且S3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 設(shè)Tn Sn n N 求數(shù)列 Tn 的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值 解析 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 因?yàn)镾3 a3 S5 a5 S4 a4成等差數(shù)列 所以S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5 即4a5 a3 于是q2 a5a3 又 an 不是遞減數(shù)列且a1 所以q 故等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an n 1 1 n 1 2 由 1 得Sn 1 1 n為奇數(shù) 1 n為偶數(shù) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) Sn隨n的增大而減小 所以1Sn S2 綜上 對(duì)于n N 總有 Sn 所以數(shù)列 Tn 最大項(xiàng)的值為 最小項(xiàng)的值為 2013 湖北卷 已知等比數(shù)列 an 滿足 a2 a3 10 a1a2a3 125 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 2 是否存在正整數(shù)m 使得 1 若存在 求m的最小值 若不存在 說明理由 規(guī)范解答 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 則由已知可得a31q3 125 解得a1 a1q a1q2 10 q 3或a1 5 q 1 故an 3n 1或an 5 1 n 1 2 若an 3n 1 則 則是首項(xiàng)為 公比為的等比數(shù)列 從而 1 若an 5 1 n 1 則 1 n 1 故1an是首項(xiàng)為 15 公比為 1的等比數(shù)列 從而 n 2k 1 k N 0 n 2k k N 故 1 綜上 對(duì)任何正整數(shù)m 總有 1 故不存在正整數(shù)m 使得 1成立 閱后報(bào)告 等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題 解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用 尤其需要注意的是 在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí) 應(yīng)該要分類討論 有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡化運(yùn)算過程 3 2014 全國新課標(biāo) 卷 已知數(shù)列 an 滿足a1 1 an 1 3an 1 1 證明是等比數(shù)列 并求 an 的通項(xiàng)公式 2 證明 解析 1 由an 1 3an 1得an 1 3 an 又a1 所以an 是首項(xiàng)為 公比為3的等比數(shù)列 所以an 因此數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2 證明 由 1 知 因?yàn)楫?dāng)n 1時(shí) 3n 1 2 3n 1 所以 即 于是 1 13n 32 所以 課時(shí)作業(yè) 5 4數(shù)列求和 解析 f x mxm 1 a 2x 1 m 2 a 1 f x x2 x f n n2 n Sn 答案 分組轉(zhuǎn)化求和 2014 湖州質(zhì)檢 在等比數(shù)列 an 中 已知a1 3 公比q 1 等差數(shù)列 bn 滿足b1 a1 b4 a2 b13 a3 1 求數(shù)列 an 與 bn 的通項(xiàng)公式 2 記cn 1 nbn an 求數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和Sn 解析 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 等差數(shù)列 bn 的公差為d 由已知 得a2 3q a3 3q2 b1 3 b4 3 3d b13 3 12d 故3q 3 3d q 1 d 3q2 3 12dq2 1 4dq 3或1 舍去 所以d 2 所以an 3n bn 2n 1 2 由題意 得cn 1 nbn an 1 n 2n 1 3n Sn c1 c2 cn 3 5 7 9 1 n 1 2n 1 1 n 2n 1 3 32 3n 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) Sn n 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) Sn n 1 2n 1 所以Sn n為偶數(shù) n為奇數(shù) 錯(cuò)位相減法求和 2014 武漢高三調(diào)研 已知正項(xiàng)數(shù)列 an 其前n項(xiàng)和Sn滿足6Sn a2n 3an 2 且a1 a2 a6是等比數(shù)列 bn 的前三項(xiàng) 1 求數(shù)列 an 與 bn 的通項(xiàng)公式 2 記Tn a1bn a2bn 1 anb1 n N 證明 3Tn 1 2bn 1 an 1 n N 裂項(xiàng)相消法求和 閱后報(bào)告 1 一般地 如果數(shù)列 an 是等差數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 求數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和時(shí) 可采用錯(cuò)位相減法求和 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 bn 的公比 然后作差求解 2 在寫出 Sn 與 qSn 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式 錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊 以便下一步準(zhǔn)確寫出 Sn qSn 的表達(dá)式 1 2013 全國新課標(biāo) 卷 設(shè)首項(xiàng)為1 公比為的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則 A Sn 2an 1B Sn 3an 2C Sn 4 3anD Sn 3 2an 2 2013 遼寧卷 已知等比數(shù)列 an 是遞增數(shù)列 Sn是 an 的前n項(xiàng)和 若a1 a3是方程x2 5x 4 0的兩個(gè)根 則S6 解析 因?yàn)閍1 a3是方程x2 5x 4 0的兩個(gè)根 且數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 所以a1 1 a3 4 q 2 所以S6 1 26 1 2 63 答案 63 解析 1 因?yàn)镾1 a1 S2 2a1 2 2a1 2 S4 4a1 2 4a1 12 由題意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 2 由題意可知 bn 1 n 1 1 n 1 1 n 1 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) Tn 1 1 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) Tn 1 1 所以Tn n為奇數(shù) n為偶數(shù) 或Tn 課時(shí)作業(yè) 5 5數(shù)列模型的應(yīng)用 1 數(shù)列在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用 其解題的基本步驟 可用圖表示如下 2 氣象學(xué)院用3 2萬元買了一臺(tái)天文觀測儀 已知這臺(tái)觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用 第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元 n N 使用它直至報(bào)廢最合算 所謂報(bào)廢最合算是指使用的這臺(tái)儀器的平均耗資最少 為止 一共使用了 A 600天B 800天C 1000天D 1200天 解析 由第n天的維修保養(yǎng)費(fèi)為元 n N 可知每天的維修保養(yǎng)費(fèi)構(gòu)成以 5為首項(xiàng) 為公差的等差數(shù)列 設(shè)一共使用了n天 則使用n天的平均耗資為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值 此時(shí)n 800 答案 B 4 2014 成都一模 現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿 自上而下每節(jié)的長度依次構(gòu)成等差數(shù)列 最上面一節(jié)長為10cm 最下面的三節(jié)長度之和為114cm 第6節(jié)的長度是首節(jié)與末節(jié)長度的等比中項(xiàng) 則n 解析 設(shè)每節(jié)竹竿的長度對(duì)應(yīng)的數(shù)列為 an 公差為d d 0 由題意知a1 10 an an 1 an 2 114 a26 a1an 由an an 1 an 2 114 得3an 1 114 解得an 1 38 a1 5d 2 a1 an 1 d 即 10 5d 2 10 38 d 解得d 2 所以an 1 a1 n 2 d 38 即10 2 n 2 38 解得n 16 答案 16 等差數(shù)列模型的應(yīng)用 解等差數(shù)列應(yīng)用題 首先要認(rèn)真審題 深刻理解問題的實(shí)際背景 理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系 把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列問題 使關(guān)系明朗化 標(biāo)準(zhǔn)化 然后用等差數(shù)列知識(shí)求解 這其中體現(xiàn)了把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的能力 也就是所謂的數(shù)學(xué)建模能力 祖國大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來 在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園 臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受 綠色通道 的申請(qǐng) 受理 審批一站式服務(wù) 某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資72萬美元建起一座蔬菜加工廠 第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬美元 以后每年增加4萬美元 每年銷售蔬菜收入50萬美元 設(shè)f n 表示前n年的純收入 f n 前n年的總收入 前n年的總支出 投資額 1 從第幾年開始該臺(tái)商獲利 2 若干年后 該臺(tái)商為開發(fā)新項(xiàng)目 有兩種處理方案 年平均利潤最大時(shí)以48萬美元出售該廠 純利潤總和最大時(shí) 以16萬美元出售該廠 問哪種方案最合算 解析 由題意知 每年的經(jīng)費(fèi)是以12為首項(xiàng) 4為公差的等差數(shù)列 則f n 50n 72 2n2 40n 72 1 獲取純利潤就是要求f n 0 故有 2n2 40n 72 0 解得2 n 18 又n N 可知從第三年開始獲利 2 平均利潤為 40 16 當(dāng)且僅當(dāng)n 6時(shí)取等號(hào) 故此方案獲利 2 62 40 6 72 48 144 萬美元 此時(shí)n 6 f n 2n2 40n 72 2 n 10 2 128 當(dāng)n 10時(shí) f n max 128 故此方案共獲利128 16 144 萬美元 比較兩種方案 第 種方案只需6年 第 種方案需要10年 故選擇第 種方案更合算 等比數(shù)列模型的應(yīng)用 某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍 并且每年年底固定給股東們分紅500萬元 該企業(yè)2011年年底分紅后的資金為1000萬元 1 求該企業(yè)2015年年底分紅后的資金 2 求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32500萬元 解析 設(shè)an為 2011 n 年年底分紅后的資金 其中n N 則a1 2 1000 500 1500 a2 2 1500 500 2500 an 2an 1 500 n 2 an 500 2 an 1 500 n 2 即數(shù)列 an 500 是首項(xiàng)為a1 500 1000 公比為2的等比數(shù)列 an 500 1000 2n 1 an 1000 2n 1 500 1 a4 1000 24 1 500 8500 該企業(yè)2015年年底分紅后的資金為8500萬元 2 由an 32500 即2n 1 32 得n 6 該企業(yè)從2018年開始年底分紅后的資金超過32500萬元 遞推數(shù)列模型的應(yīng)用 某企業(yè)為加大對(duì)新產(chǎn)品的推銷力度 決定從今年起每年投入100萬元進(jìn)行廣告宣傳 以增加新產(chǎn)品的銷售收入 已知今年的銷售收入為250萬元 經(jīng)市場調(diào)查 預(yù)測第n年與第n 1年銷售收入an與an 1 單位 萬元 滿足關(guān)系式 an an 1 100 1 設(shè)今年為第1年 求第n年的銷售收入an 2 依上述預(yù)測 該企業(yè)前幾年的銷售收入總和Sn最大 解析 1 由題意可知an an 1 100 n 2 an 1 an 2 100 a3 a2 100 a2 a1 100 a1 250 以上各式相加得 an 500 100 n 1 500 100 n 1 500 100 n 1 2 要求銷售收入總和Sn的最大值 即求年銷售收入大于零的所有年銷售收入的和 an 500 100 n 1 要使an 0 即500 100 n 1 0 也就是 1 令bn 則bn bn 1 顯然 當(dāng)n 3時(shí) bn bn 1 而b51 a5 0 a6 0 該企業(yè)前5年的銷售收入總和最大 2012 湖南卷 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn) 該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元 將其投入生產(chǎn) 到當(dāng)年年底資金增長了50 預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同 公司要求企業(yè)從第一年開始 每年年底上繳資金d萬元 并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn) 設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元 1 用d表示a1 a2 并寫出an 1與an的關(guān)系式 2 若公司希望經(jīng)過m m 3 年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元 試確定企業(yè)每年上繳資金d的值 用m表示 閱后報(bào)告 用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題 關(guān)鍵是列出相關(guān)信息 合理建立數(shù)學(xué)模型 數(shù)列模型 判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型 求解時(shí) 要明確目標(biāo) 即搞清是求和 求通項(xiàng) 還是解遞推關(guān)系問題 所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問題 解不等式問題 還是最值問題 然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果 放回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn) 最終得出結(jié)論 課時(shí)作業(yè) 5 6數(shù)列綜合性問題 1 2014 濟(jì)南模擬 數(shù)列 an 中 an 1 1 nan 2n 1 則數(shù)列 an 的前12項(xiàng)和等于 A 76B 78C 80D 82 解析 由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 結(jié)果相加可得S12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 答案 B 2 在如圖所示的表格中 如果每格填上一個(gè)數(shù)后 每一行成等差數(shù)列 每一列成等比數(shù)列 那么x y z的值為 A 1B 2C 3D 4 等差 等比數(shù)列的綜合 1 等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問題是高考考查的重點(diǎn) 特別是等差數(shù)列 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng) 等比中項(xiàng)問題是歷年命題的熱點(diǎn) 2 利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值 同時(shí)對(duì)于兩種數(shù)列的性質(zhì) 要熟悉它們的推導(dǎo)過程 利用好性質(zhì) 可降低題目的難度 解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解 數(shù)列與解析幾何 不等式的綜合應(yīng)用 解析 1 由題意得 1 a2 2 a1 a3 1 即 1 a1 2 a1 a1 1 解得a1 an 設(shè) bn 的公差為d 又T1 b2 即8 8 d T2 2 b3 16 d 2 8 2d 解得 或 1 d 8d 0 舍去 2 由 1 知Sn 1 Sn 又Tn 4n2 4n 1 1 由 可知 Sn 遞推數(shù)列 已知數(shù)列 an bn 滿足 a1 0 b1 2013 且對(duì)任意的正整數(shù)n an an 1 bn和an 1 bn 1 bn均成等差數(shù)列 1 求a2 b2的值 2 證明 an bn 和 an 2bn 均成等比數(shù)列 3 是否存在唯一的正整數(shù)c 使得an c bn恒成立 證明你的結(jié)論 解析 1 a2 b2 2 證明 依題意 對(duì)任意的正整數(shù)n 有an 1 an 1 an bn bn 1 bn 1 an bn 因?yàn)?n N 又a1 b1 2013 0 所以 an bn 是首項(xiàng)為 2013 公比為1 4的等比數(shù)列 因?yàn)?n N 又a1 2b1 4026 0 所以 an 2bn 是首項(xiàng)為4026 公比為1的等比數(shù)列 3 由 2 得an 2bn 4026 an bn 解得an 1342 bn 1342 n N 顯然 an 是單調(diào)遞增數(shù)列 bn 是單調(diào)遞減數(shù)列 且an 1342 bn n N 即存在正整數(shù)c 1342 使得對(duì)任意的n N 有an1342 而210 1024 212 4096 所以2n 2 12 n 7 所以對(duì)任意的n N 當(dāng)n 7時(shí) 1341 an 1342 bn 1343 所以正整數(shù)c 1342也是唯一的 綜上所述 存在唯一的正整數(shù)c 1342 使得對(duì)任意的n N 有an c bn恒成立 1 數(shù)列綜合題的四種題型 1 數(shù)列與其他章節(jié)的綜合題數(shù)列綜合題 包括數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 不等式知識(shí)的綜合 另外 數(shù)列知識(shí)在復(fù)數(shù) 三角函數(shù) 解析幾何部分也有廣泛應(yīng)用 2 數(shù)列的探索性問題探索性問題是高考的熱點(diǎn) 常在數(shù)列解答題中出現(xiàn) 探索性問題對(duì)分析問題 解決問題的能力有較高的要求 3 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題解決此類問題須從整體著眼考查所研究的問題中的數(shù)列特征 結(jié)構(gòu)特征 以探求解題思路 從而優(yōu)化 簡化解題過程的思想方法 在數(shù)列中 倘若抓住等差 等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì) 整體代換可簡化解答過程 2 遞推數(shù)列問題的一般處理方法 1 利用化歸思想 將非等差數(shù)列 非等比數(shù)列問題化歸為等差或等比數(shù)列問題進(jìn)行解決 2 借助歸納思想 通過不完全歸納形成猜想后用數(shù)學(xué)歸納法解決問題 3 依托函數(shù)思想 設(shè)法求出所給數(shù)列的通項(xiàng)公式后一般性解決問題 3 由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法累加法 累乘法 疊代法 歸納法 換元法 待定系數(shù)法 特征方程法 不動(dòng)點(diǎn)法等 由于數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列與自然數(shù)n的對(duì)應(yīng) 數(shù)列求和與不等式放縮的聯(lián)系以及 能力立意 命題的需求 使得具有一定難度和一定綜合性要求的數(shù)列試題常常光顧解答題中的后三題的位置 很多情況下甚至就是高考?jí)狠S題 這一類綜合性問題 往往會(huì)與數(shù)列的遞推公式相關(guān) 用于全面考查數(shù)列的概念與性質(zhì) 考查邏輯運(yùn)算能力以及數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力 學(xué)會(huì)處理這類問題往往成為高考中奪取數(shù)學(xué)高分的關(guān)鍵 求解時(shí)除了可以直接由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式來研究數(shù)列的性質(zhì)外 一般不需要求通項(xiàng)公式 也能直接利用遞推關(guān)系來研究數(shù)列的性質(zhì) 閱后報(bào)告 本題屬高難度試題 以解析幾何問題為載體主要考查了數(shù)列的函數(shù)屬性 要求綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和不等式的相關(guān)知識(shí) 對(duì)考生的思維能力 運(yùn)算能力 分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí)能力提出了較高的要求 證明 1 對(duì)每個(gè)n N 當(dāng)x 0時(shí) f n x 1 0 故fn x 在 0 內(nèi)單調(diào)遞增 由于f1 1 0 當(dāng)n 2時(shí) fn 1 0 故fn 1 0 又fn 1 所以存在唯一的xn 1 滿足fn xn 0 2 當(dāng)x 0時(shí) fn 1 x fn x fn x 故fn 1 xn fn xn fn 1 xn 1 0 由fn 1 x 在 0 內(nèi)單調(diào)遞增 xn 1 xn 故 xn 為單調(diào)遞減數(shù)列 從而對(duì)任意n p N xn p xn 對(duì)任意p N 由于fn xn 1 xn 0 fn p xn p 1 xn p 0 式減去 式并移項(xiàng) 利用0 xn p xn 1 得xn xn p 因此 對(duì)任意p N 都有0 xn xn p