高考數(shù)學一輪復習 第三章 導數(shù)及其應用 第1講 導數(shù)的概念及運算課件 理 新人教A版.ppt

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第1講導數(shù)的概念及運算 知識梳理 2 幾何意義 函數(shù)f x 在點x0處的導數(shù)f x0 的幾何意義是在曲線y f x 上點 處的 相應地 切線方程為 2 函數(shù)y f x 的導函數(shù)如果函數(shù)y f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)的每一點處都有導數(shù) 其導數(shù)值在 a b 內(nèi)構成一個新函數(shù) 這個函數(shù)稱為函數(shù)y f x 在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù) 記作f x 或y x0 f x0 切線的斜率 y y0 f x0 x x0 3 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 0 x 1 cosx sinx ex axlna f x g x f x g x f x g x yu ux y對u u對x 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 1 f x0 與 f x0 表示的意義相同 2 求f x0 時 可先求f x0 再求f x0 3 曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點 4 若f x e2x 則f x e2x 診斷自測 答案A 3 2014 新課標全國 卷 設曲線y ax ln x 1 在點 0 0 處的切線方程為y 2x 則a A 0B 1C 2D 3 答案D 4 設函數(shù)f x 在 0 內(nèi)可導 且f ex x ex 則f 1 答案2 5 2015 全國 卷 已知函數(shù)f x ax3 x 1的圖象在點 1 f 1 處的切線過點 2 7 則a 解析 f x 3ax2 1 f 1 3a 1 又f 1 a 2 切線方程為y a 2 3a 1 x 1 切線過點 2 7 7 a 2 3a 1 解得a 1 答案1 考點一導數(shù)的運算 規(guī)律方法 1 熟記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及運算法則是導數(shù)計算的前提 求導之前 應利用代數(shù) 三角恒等式等變形對函數(shù)進行化簡 然后求導 這樣可以減少運算量提高運算速度 減少差錯 2 如函數(shù)為根式形式 可先化為分數(shù)指數(shù)冪 再求導 復合函數(shù)求導 應先確定復合關系 由外向內(nèi)逐層求導 必要時可換元處理 考點二導數(shù)的幾何意義 例2 已知函數(shù)f x x3 4x2 5x 4 1 求曲線f x 在點 2 f 2 處的切線方程 2 求經(jīng)過點A 2 2 的曲線f x 的切線方程 解 1 f x 3x2 8x 5 f 2 1 又f 2 2 曲線在點 2 f 2 處的切線方程為y 2 x 2 即x y 4 0 2 設曲線與經(jīng)過點A 2 2 的切線相切于點P x0 x 4x 5x0 4 f x0 3x 8x0 5 切線方程為y 2 3x 8x0 5 x 2 又切線過點P x0 x 4x 5x0 4 x 4x 5x0 2 3x 8x0 5 x0 2 整理得 x0 2 2 x0 1 0 解得x0 2或1 經(jīng)過A 2 2 的曲線f x 的切線方程為x y 4 0 或y 2 0 規(guī)律方法 1 導數(shù)f x0 的幾何意義就是函數(shù)y f x 在點P x0 y0 處的切線的斜率 切點既在曲線上 又在切線上 切線有可能和曲線還有其他的公共點 2 曲線在點P處的切線 是以點P為切點 曲線過點P的切線 則點P不一定是切點 此時應先設出切點坐標 3 當曲線y f x 在點 x0 f x0 處的切線垂直于x軸時 函數(shù)在該點處的導數(shù)不存在 切線方程是x x0 訓練2 1 2014 廣東卷 曲線y e 5x 2在點 0 3 處的切線方程為 2 2015 全國 卷 已知曲線y x lnx在點 1 1 處的切線與曲線y ax2 a 2 x 1相切 則a 答案 1 5x y 3 0 2 8 考點三導數(shù)幾何意義的綜合應用 例3 2016 曲師大附中模擬 已知函數(shù)f x 2x3 3x 1 求f x 在區(qū)間 2 1 上的最大值 2 若過點P 1 t 存在3條直線與曲線y f x 相切 求t的取值范圍 規(guī)律方法解決本題第 2 問的關鍵是利用曲線上點的坐標表示切線方程 可將問題等價轉化為關于x0的方程有三個不同的實根 構造函數(shù)后 利用函數(shù)的單調(diào)性求極值 通過數(shù)形結合方法找到t滿足的條件即可 解析 1 由題意得 f x 3x2 3 設切點為 x0 x 3x0 那么切線的斜率為k 3x 3 利用點斜式方程可知切線方程為y x 3x0 3x 3 x x0 將點A 2 1 代入可得關于x0的一元三次方程2x 6x 7 0 令y 2x 6x 7 則y 6x 12x0 由y 0得x0 0或x0 2 當x0 0時 y 7 0 x0 2時 y 1 0 結合函數(shù)y 2x 6x 7的單調(diào)性可得方程2x 6x 7 0有3個解 故過點A 2 1 作曲線f x x3 3x的切線最多有3條 故選A 答案 1 A 2 2 思想方法 1 f x0 代表函數(shù)f x 在x x0處的導數(shù)值 f x0 是函數(shù)值f x0 的導數(shù) 而函數(shù)值f x0 是一個常量 其導數(shù)一定為0 即 f x0 0 2 對于函數(shù)求導 一般要遵循先化簡再求導的基本原則 求導時 不但要重視求導法則的應用 而且要特別注意求導法則對求導的制約作用 在實施化簡時 首先必須注意變換的等價性 避免不必要的運算失誤 對于復合函數(shù)求導 關鍵在于分清復合關系 適當選取中間變量 然后 由外及內(nèi) 逐層求導 易錯防范 1 利用公式求導時要特別注意不要將冪函數(shù)的求導公式 x x 1與指數(shù)函數(shù)的求導公式 ax axlna混淆 2 直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)特征 直線與曲線只有一個公共點 不能說明直線就是曲線的切線 反之 直線是曲線的切線 也不能說明直線與曲線只有一個公共點 3 曲線未必在其切線的 同側 例如直線y 0是曲線y x3在點 0 0 處的切線