高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6-2 等差數(shù)列及其前n項和課件 新人教A版.ppt

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最新考綱1 理解等差數(shù)列的概念 2 掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 3 能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系 并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題 4 了解等差數(shù)列與一次函數(shù) 二次函數(shù)的關(guān)系 第2講等差數(shù)列及其前n項和 1 等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第 項起 每一項與它的前一項的差等于 那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 公差通常用字母d表示 數(shù)學(xué)語言表達式 an 1 an d n N d為常數(shù) 或an an 1 d n 2 d為常數(shù) 知識梳理 2 同一個常數(shù) 公差 2 等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式 1 若等差數(shù)列 an 的首項是a1 公差是d 則其通項公式為an 通項公式的推廣 an am m n N 2 等差數(shù)列的前n項和公式 a1 n 1 d n m d 3 等差數(shù)列及前n項和的性質(zhì) 1 若a A b成等差數(shù)列 則A叫做a b的等差中項 且A 2 若 an 為等差數(shù)列 且m n p q 則am an ap aq m n p q N 3 若 an 是等差數(shù)列 公差為d 則ak ak m ak 2m k m N 是公差為 的等差數(shù)列 4 數(shù)列Sm S2m Sm S3m S2m 也是等差數(shù)列 5 S2n 1 2n 1 an 若n為奇數(shù) 則S奇 S偶 a中 中間項 md 4 等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列 an 是等差數(shù)列 Sn An2 Bn A B為常數(shù) 5 等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列 an 中 a1 0 d 0 則Sn存在最 值 若a1 0 d 0 則Sn存在最 值 大 小 1 判斷正誤 在括號內(nèi)打 或 精彩PPT展示 1 若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù) 則這個數(shù)列是等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 4 數(shù)列 an 滿足an 1 an n 則數(shù)列 an 是等差數(shù)列 診斷自測 2 2014 福建卷 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若a1 2 S3 12 則a6等于 A 8B 10C 12D 14 答案C 3 2013 新課標全國 卷 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 則m A 3B 4C 5D 6 答案C 4 2014 北京卷 若等差數(shù)列 an 滿足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 則當(dāng)n 時 an 的前n項和最大 解析因為數(shù)列 an 是等差數(shù)列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 當(dāng)n 8時 其前n項和最大 答案8 5 人教A必修5P68A8改編 在等差數(shù)列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 則a2 a8 解析由等差數(shù)列的性質(zhì) 得a3 a4 a5 a6 a7 5a5 450 a5 90 a2 a8 2a5 180 答案180 考點一等差數(shù)列的性質(zhì)及基本量的求解 例1 1 設(shè)Sn為等差數(shù)列 an 的前n項和 S8 4a3 a7 2 則a9 A 6B 4C 2D 2解析法一 常規(guī)解法 設(shè)公差為d 則8a1 28d 4a1 8d 即a1 5d a7 a1 6d 5d 6d d 2 所以a9 a7 2d 6 法二 結(jié)合性質(zhì)求解 根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得 S8 4 a3 a6 又S8 4a3 所以a6 0 又a7 2 所以a8 4 a9 6 答案A 2 2014 浙江卷 已知等差數(shù)列 an 的公差d 0 設(shè) an 的前n項和為Sn a1 1 S2 S3 36 求d及Sn 求m k m k N 的值 使得am am 1 am 2 am k 65 解 由題意知 2a1 d 3a1 3d 36 將a1 1代入上式解得d 2或d 5 因為d 0 所以d 2 從而an 2n 1 Sn n2 n N 由 得am am 1 am 2 am k 2m k 1 k 1 所以 2m k 1 k 1 65 規(guī)律方法 1 一般地 運用等差數(shù)列性質(zhì) 可以化繁為簡 優(yōu)化解題過程 但要注意性質(zhì)運用的條件 如m n p q 則am an ap aq m n p q N 只有當(dāng)序號之和相等 項數(shù)相同時才成立 2 在求解等差數(shù)列基本量問題中主要使用的是方程思想 要注意公式使用時的準確性與合理性 更要注意運算的準確性 在遇到一些較復(fù)雜的方程組時 要注意整體代換思想的運用 使運算更加便捷 訓(xùn)練1 1 設(shè)數(shù)列 an bn 都是等差數(shù)列 且a1 25 b1 75 a2 b2 100 則a37 b37等于 A 0B 37C 100D 37 2 若一個等差數(shù)列前3項的和為34 最后3項的和為146 且所有項的和為390 則這個數(shù)列的項數(shù)為 A 13B 12C 11D 10 3 已知等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且S10 10 S20 30 則S30 解析 1 設(shè) an bn 的公差分別為d1 d2 則 an 1 bn 1 an bn an 1 an bn 1 bn d1 d2 an bn 為等差數(shù)列 又a1 b1 a2 b2 100 an bn 為常數(shù)列 a37 b37 100 2 因為a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因為a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 從而a1 an 60 答案 1 C 2 A 3 60 規(guī)律方法證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的基本方法有兩種 一是定義法 證明an an 1 d n 2 d為常數(shù) 二是等差中項法 證明2an 1 an an 2 若證明一個數(shù)列不是等差數(shù)列 則只需舉出反例即可 也可以用反證法 訓(xùn)練2 2015 西安模擬 已知公差大于零的等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 且滿足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求數(shù)列 an 的通項公式 解 1 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 且d 0 由等差數(shù)列的性質(zhì) 得a2 a5 a3 a4 22 所以a3 a4是關(guān)于x的方程x2 22x 117 0的解 所以a3 9 a4 13 易知a1 1 d 4 故通項為an 1 n 1 4 4n 3 考點三等差數(shù)列前n項和的最值問題 例3 等差數(shù)列 an 的首項a1 0 設(shè)其前n項和為Sn 且S5 S12 則當(dāng)n為何值時 Sn有最大值 深度思考解決此類問題你首先想到的是哪種方法 在這里提醒大家 本題可用四種方法 請大家先思考 規(guī)律方法求等差數(shù)列前n項和的最值 常用的方法 1 利用等差數(shù)列的單調(diào)性 求出其正負轉(zhuǎn)折項 2 利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項 便可求得和的最值 3 將等差數(shù)列的前n項和Sn An2 Bn A B為常數(shù) 看作二次函數(shù) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值 訓(xùn)練3 1 等差數(shù)列 an 的前n項和為Sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 則當(dāng)Sn取最大值時 n的值是 A 5B 6C 7D 8 2 2014 望江中學(xué)模擬 設(shè)數(shù)列 an 是公差d 0的等差數(shù)列 Sn為前n項和 若S6 5a1 10d 則Sn取最大值時 n的值為 A 5B 6C 5或6D 11 3 已知等差數(shù)列 an 的首項a1 20 公差d 2 則前n項和Sn的最大值為 解析 1 依題意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又數(shù)列 an 是等差數(shù)列 因此在該數(shù)列中 前6項均為正數(shù) 自第7項起以后各項均為負數(shù) 于是當(dāng)Sn取最大值時 n 6 選B 2 由題意得S6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故當(dāng)n 5或6時 Sn最大 選C 3 因為等差數(shù)列 an 的首項a1 20 公差d 2 代入求和公式得 又因為n N 所以n 10或n 11時 Sn取得最大值 最大值為110 答案 1 B 2 C 3 110 思想方法 1 判斷數(shù)列為等差數(shù)列的方法 1 定義法 an 1 an d d是常數(shù) an 是等差數(shù)列 2 等差中項法 2an 1 an an 2 n N an 是等差數(shù)列 3 通項公式 an pn q p q為常數(shù) an 是等差數(shù)列 4 前n項和公式 Sn An2 Bn A B為常數(shù) an 是等差數(shù)列 2 方程思想和化歸思想 在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為a1和d等基本量 通過建立方程 組 獲得解 3 在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時 可設(shè)三個數(shù)為 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可視具體情況而定 易錯防范 1 當(dāng)公差d 0時 等差數(shù)列的通項公式是n的一次函數(shù) 當(dāng)公差d 0時 an為常數(shù) 2 公差不為0的等差數(shù)列的前n項和公式是n的二次函數(shù) 且常數(shù)項為0 若某數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項不為0的二次函數(shù) 則該數(shù)列不是等差數(shù)列 3 求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時 需要注意 自變量n為正整數(shù) 這一隱含條件 若對稱軸取不到 需考慮最接近對稱軸的自變量n n為正整數(shù) 若對稱軸對應(yīng)兩個正整數(shù)的中間 此時應(yīng)有兩個符合題意的n值