高考數(shù)學(xué) 5.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件.ppt

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第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 等差數(shù)列的概念 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于 那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的 一般用字母d表示 定義的表達(dá)式為 同一個(gè)常數(shù) 公差 an 1 an d n N 2 等差中項(xiàng) 如果a A b成等差數(shù)列 那么A叫做a b的等差中項(xiàng) 且A 3 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)是a1 公差是d 則其通項(xiàng)公式為an a1 n 1 d 4 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 2 必備結(jié)論教材提煉記一記 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m N 2 等差數(shù)列的性質(zhì) 若 an 是等差數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 k l 2m k l m N 若 an bn 是等差數(shù)列 則 pan qbn n N 是等差數(shù)列 Sm S2m S3m分別為 an 的前m項(xiàng) 前2m項(xiàng) 前3m項(xiàng)的和 則Sm S2m Sm 成等差數(shù)列 n m d ak al am an ak al 2am S3m S2m 兩個(gè)等差數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和Sn Tn之間的關(guān)系為 數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn An2 Bn A 0 是 an 成等差數(shù)列的 條件 3 等差數(shù)列的增減性 d 0時(shí)為 數(shù)列 且當(dāng)a10時(shí)前n項(xiàng)和Sn有最大值 充分 遞增 遞減 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 整體代入法 待定系數(shù)法 等差數(shù)列的判定方法 求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大 小 值的方法等 2 數(shù)學(xué)思想 函數(shù)與方程 分類討論 化歸與轉(zhuǎn)化 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù) 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 2 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差數(shù)列 an 的單調(diào)性是由公差d決定的 4 數(shù)列 an 為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù) 5 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù) 解析 1 錯(cuò)誤 若這些常數(shù)都相等 則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列 若這些常數(shù)不全相等 這個(gè)數(shù)列就不是等差數(shù)列 2 正確 如果數(shù)列 an 為等差數(shù)列 根據(jù)定義an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若對(duì)任意n N 都有2an 1 an an 2 則an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根據(jù)定義數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 正確 當(dāng)d 0時(shí)為遞增數(shù)列 d 0時(shí)為常數(shù)列 d 0時(shí)為遞減數(shù)列 4 錯(cuò)誤 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有當(dāng)d 0時(shí) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式才是n的一次函數(shù) 否則不是 5 錯(cuò)誤 根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式顯然只有公差d 0時(shí)才是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù) 否則不是 甚至也不是n的一次函數(shù) 即a1 d 0時(shí) 答案 1 2 3 4 5 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修5P38例1 1 改編 已知等差數(shù)列 5 2 1 則該數(shù)列的第20項(xiàng)為 解析 依題意得 該等差數(shù)列的首項(xiàng)為 5 公差為3 所以a20 5 19 3 52 故第20項(xiàng)為52 答案 52 2 必修5P46T5改編 在100以內(nèi)的正整數(shù)中有個(gè)能被6整除的數(shù) 解析 由題意知 能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列 an 則a1 6 d 6 得an 6 n 1 6 6n 由an 6n 100 即n 則在100以內(nèi)有16個(gè)能被6整除的數(shù) 答案 16 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 重慶高考 在等差數(shù)列an中 a1 2 a3 a5 10 則a7 A 5B 8C 10D 14 解析 選B 因?yàn)閍1 a7 a3 a5 所以a7 a3 a5 a1 10 2 8 2 2014 遼寧高考 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 若數(shù)列為遞減數(shù)列 則 A d0C a1d0 解析 選C 由數(shù)列為遞減數(shù)列 得又由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a1an 1 a1an 由等差數(shù)列的公差為d知 an an 1 d 所以a1an 1 a1an a1an a1an 1 0 a1 an an 1 0 a1d 0 3 2015 長(zhǎng)春模擬 等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若S17為一確定常數(shù) 則下列各式也為確定常數(shù)的是 A a2 a15B a2 a15C a2 a9 a16D a2 a9 a16 解析 選C 因?yàn)镾17為一確定常數(shù) 根據(jù)公式可知a1 a17為一確定常數(shù) 又a1 a17 a2 a16 2a9 所以a2 a9 a16為一確定常數(shù) 故選C 4 2015 福州模擬 在等差數(shù)列 an 中 滿足3a4 7a7 且a1 0 Sn是數(shù)列 an 前n項(xiàng)的和 若Sn取得最大值 則n A 7B 8C 9D 10 解析 選C 設(shè)公差為d 由題設(shè)得3 a1 3d 7 a1 6d 所以解不等式an 0 即所以則n 9 當(dāng)n 9時(shí) an 0 同理可得n 10時(shí) an 0 故當(dāng)n 9時(shí) Sn取得最大值 考點(diǎn)1等差數(shù)列的基本運(yùn)算 典例1 1 2014 福建高考改編 已知等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若a3 6 S3 12 則a6 A 8B 10C 12D 14 2 2015 杭州模擬 已知等差數(shù)列 an a10 30 a20 50 求通項(xiàng)an 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 242 求n的值 解題提示 1 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式 求出首項(xiàng)及公差 再利用通項(xiàng)公式求出a6 2 先求出基本量a1和d 再利用通項(xiàng)公式求解 利用前n項(xiàng)和公式解方程即可 規(guī)范解答 1 選C 設(shè)公差為d 由題意知解得所以a6 a1 5d 12 2 設(shè)公差為d 由an a1 n 1 d a10 30 a20 50 得方程組解得a1 12 d 2 所以an 2n 10 由得方程解得n 11或n 22 舍去 互動(dòng)探究 若例題 1 中的已知條件不變 求Sn 解析 由本例 1 可知所以 規(guī)律方法 1 等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的通性通法 1 等差數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d 然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程 組 求解 2 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 共涉及五個(gè)量a1 an d n Sn 知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè) 體現(xiàn)了方程的思想 2 等差數(shù)列設(shè)項(xiàng)技巧若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí) 可設(shè)中間三項(xiàng)為a d a a d 若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí) 可設(shè)中間兩項(xiàng)為a d a d 其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱設(shè)元 變式訓(xùn)練 2014 浙江高考 已知等差數(shù)列 an 的公差d 0 設(shè) an 的前n項(xiàng)和為Sn a1 1 S2 S3 36 1 求d及Sn 2 求m k m k N 的值 使得am am 1 am 2 am k 65 解析 1 由題意知 2a1 d 3a1 3d 36 解得d 2或d 5 舍去 所以 2 由 1 知 am am 1 am 2 am k 2m k 1 k 1 所以 2m k 1 k 1 65 由m k N 知 2m k 1 k 1 1 故所以 加固訓(xùn)練 1 2013 新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 則m A 3B 4C 5D 6 解析 選C 方法一 由已知得 am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 因?yàn)閿?shù)列 an 為等差數(shù)列 所以d am 1 am 1 又因?yàn)樗詍 a1 2 0 因?yàn)閙 0 所以a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 方法二 因?yàn)镾m 1 2 Sm 0 Sm 1 3 所以am Sm Sm 1 2 am 1 Sm 1 Sm 3 所以公差d am 1 am 1 由由 得代入 可得m 5 方法三 因?yàn)閿?shù)列 an 為等差數(shù)列 且前n項(xiàng)和為Sn 所以數(shù)列也為等差數(shù)列 所以解得m 5 經(jīng)檢驗(yàn)為原方程的解 故選C 2 數(shù)列 an 滿足an 1 an 4n 3 n N 1 若 an 是等差數(shù)列 求其通項(xiàng)公式 2 若 an 滿足a1 2 Sn為 an 的前n項(xiàng)和 求S2n 1 解析 1 因?yàn)閍n 1 an 4n 3 所以an 2 an 1 4n 1 兩式相減得an 2 an 4 因?yàn)?an 是等差數(shù)列 設(shè)公差為d 所以d 2 又因?yàn)閍1 a2 1 即a1 a1 d 1 所以所以 2 因?yàn)閍1 2 a1 a2 1 所以a2 1 又因?yàn)閍n 2 an 4 所以該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列 公差均為4 所以a2n 1 4n 2 a2n 4n 5 所以S2n 1 a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 考點(diǎn)2等差數(shù)列的判定與證明 典例2 1 設(shè)an n 1 2 bn n2 n n N 則下列命題中不正確的是 A an 1 an 是等差數(shù)列B bn 1 bn 是等差數(shù)列C an bn 是等差數(shù)列D an bn 是等差數(shù)列 2 2015 上海模擬 已知數(shù)列 an 對(duì)于任意n 2 在an 1與an之間插入n個(gè)數(shù) 構(gòu)成的新數(shù)列 bn 成等差數(shù)列 并記在an 1與an之間插入的這n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為cn 1 若an 求c1 c2 c3的值 在 的條件下是否存在常數(shù) 使 cn 1 cn 是等差數(shù)列 如果存在 求出滿足條件的 如果不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解題提示 1 根據(jù)等差數(shù)列的定義 逐一驗(yàn)證答案后作出判斷 2 先分別求出a1 a2 a3 a4的值 再由已知分別解出c1 c2 c3的值 根據(jù) 的結(jié)論 求出cn 1 再根據(jù) cn 1 cn cn cn 1 為常數(shù) 求 的值 視 的值是否存在則得結(jié)論 規(guī)范解答 1 選D 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次式形式的函數(shù) 一次項(xiàng)系數(shù)可以為0 而an 1 an 2n 3 bn 1 bn 2n an bn 3n 1 故A B C均正確 2 由題意知a1 2 a2 1 a3 5 a4 10 在 2 1之間插入兩個(gè)數(shù) 使之成為等差數(shù)列 則可得公差為1 故在a1與a2之間插入 1 0 得c1 在a2與a3之間插入2 3 4 得c2 3 在a3與a4之間插入6 7 8 9 得c3 在an 1與an之間插入n個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 則假設(shè)存在 使得 cn 1 cn 是等差數(shù)列 則 cn 1 cn cn cn 1 cn 1 cn cn cn 1 為常數(shù) 所以 1 即當(dāng) 1時(shí) cn 1 cn 是等差數(shù)列 規(guī)律方法 等差數(shù)列的四個(gè)判定方法 1 定義法 證明對(duì)任意正整數(shù)n都有an 1 an等于同一個(gè)常數(shù) 2 等差中項(xiàng)法 證明對(duì)任意正整數(shù)n都有2an 1 an an 2后 可遞推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根據(jù)定義得出數(shù)列 an 為等差數(shù)列 3 通項(xiàng)公式法 得出an pn q后 得an 1 an p對(duì)任意正整數(shù)n恒成立 根據(jù)定義判定數(shù)列 an 為等差數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 得出Sn An2 Bn后 根據(jù)Sn an的關(guān)系 得出an 再使用定義法證明數(shù)列 an 為等差數(shù)列 提醒 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項(xiàng)法 而對(duì)于通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的方法主要適合在選擇題或填空題中簡(jiǎn)單判斷 變式訓(xùn)練 2015 南昌模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且a5 a13 34 S3 9 1 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式 2 設(shè)數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為bn 問(wèn) 是否存在正整數(shù)t 使得b1 b2 bm m 3 m N 成等差數(shù)列 若存在 求出t和m的值 若不存在 請(qǐng)說(shuō)明理由 解析 1 設(shè)公差為d 由題意得解得a1 1 d 2 故an 2n 1 Sn n2 2 由 1 知要使b1 b2 bm成等差數(shù)列 必須2b2 b1 bm 即整理得 因?yàn)閙 t為正整數(shù) 所以t只能取2 3 5 當(dāng)t 2時(shí) m 7 當(dāng)t 3時(shí) m 5 當(dāng)t 5時(shí) m 4 所以存在正整數(shù)t 使得b1 b2 bm成等差數(shù)列 加固訓(xùn)練 已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a 4 3a 前n項(xiàng)和為Sn 且Sk 110 1 求a及k的值 2 設(shè)數(shù)列 bn 的通項(xiàng)bn 證明數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 并求其前n項(xiàng)和Tn 解析 1 設(shè)該等差數(shù)列為 an 則a1 a a2 4 a3 3a 由已知有a 3a 8 得a1 a 2 公差d 4 2 2 所以由Sk 110 得k2 k 110 0 解得k 10或k 11 舍去 故a 2 k 10 2 由 1 得則故bn 1 bn n 2 n 1 1 即數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為2 公差為1的等差數(shù)列 所以 考點(diǎn)3等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用知 考情對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的考查幾乎每年都有涉及 有時(shí)以選擇題 填空題出現(xiàn) 難度中等偏下 有時(shí)在解答題中出現(xiàn) 常與求通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn結(jié)合命題 題目難度中等 明 角度命題角度1 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求基本量 典例3 2015 廣州模擬 等差數(shù)列 an 前17項(xiàng)和S17 51 則a5 a7 a9 a11 a13等于 A 3B 6C 17D 51 解題提示 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及性質(zhì)求解 規(guī)范解答 選A 由于S17 17 17a9 51 所以a9 3 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a5 a13 a7 a11 所以a5 a7 a9 a11 a13 a9 3 命題角度2 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和的最值 典例4 2015 烏魯木齊模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知a3 12 S12 0 S130 S130 S13 0 確定出正負(fù)變化的相鄰的兩項(xiàng) 從而確定最值 規(guī)范解答 1 因?yàn)镾12 0 S13 0 所以即又a3 a1 2d 12 所以解得 2 由題意及等差數(shù)列的性質(zhì)可得所以a70 所以在數(shù)列 an 中 前6項(xiàng)為正 從第7項(xiàng)起 以后各項(xiàng)為負(fù) 故S6最大 一題多解 解答本題 你知道幾種解法 解答本題還有以下解法 n 1 2 3 12 所以 因?yàn)樗运援?dāng)n 6時(shí) Sn有最大值 所以S1 S2 S12中值最大的為S6 悟 技法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn最大 小 值的常用方法1 鄰項(xiàng)變號(hào)法 1 當(dāng)a1 0 d0時(shí) 滿足的項(xiàng)數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm 2 函數(shù)法 利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 d 0 Sn可看成關(guān)于n的二次函數(shù)式且常數(shù)項(xiàng)為0 借助二次函數(shù)的圖象或配方法解決最值問(wèn)題 注意n N 通 一類1 2015 濟(jì)南模擬 在等差數(shù)列 an 中 a2 a6 則 解析 選D 因?yàn)閍2 a6 所以所以 2 2015 成都模擬 設(shè)等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且滿足S15 0 S16 0 則中最大的項(xiàng)為 解析 選D 由得a8 0 由得a9 a80 則又S8 S7 S6 a8 a7 a6 則所以最大的項(xiàng)為故選D 3 2015 吉林模擬 設(shè)等差數(shù)列 an bn 的前n項(xiàng)和分別為Sn Tn 若對(duì)任意正整數(shù)n都有則的值為 解析 因?yàn)?an bn 為等差數(shù)列 所以因?yàn)樗源鸢?4 2015 咸陽(yáng)模擬 已知公差大于零的等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 且滿足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求通項(xiàng)an 2 求Sn的最小值 3 若數(shù)列 bn 是等差數(shù)列 且求非零常數(shù)c 解析 1 因?yàn)閿?shù)列 an 為等差數(shù)列 所以a3 a4 a2 a5 22 又a3 a4 117 所以a3 a4是方程x2 22x 117 0的兩實(shí)根 又公差d 0 所以a3 a4 所以a3 9 a4 13 所以所以所以通項(xiàng)an 4n 3 2 由 1 知a1 1 d 4 所以 所以當(dāng)n 1時(shí) Sn最小 最小值為S1 a1 1 3 由 2 知Sn 2n2 n 所以所以因?yàn)閿?shù)列 bn 是等差數(shù)列 所以2b2 b1 b3 即所以2c2 c 0 所以或c 0 舍去 故 巧思妙解7巧用等差數(shù)列的性質(zhì)求前n項(xiàng)和 典例 2015 日照模擬 等差數(shù)列 an 的前m項(xiàng)和為30 前3m項(xiàng)和為90 則它的前2m項(xiàng)和為 常規(guī)解法 記等差數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 公差為d 由已知得根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式得由 可得把 代入 得 化簡(jiǎn)得d 0 再由 得所以答案 60 巧妙解法一 由Sm S2m Sm S3m S2m成等差數(shù)列 可得2 S2m Sm Sm S3m S2m 即答案 60 巧妙解法二 由得所以是以a1為首項(xiàng) 為公差的等差數(shù)列 從而成等差數(shù)列 所以所以答案 60 方法指導(dǎo) 1 熟練掌握等差數(shù)列性質(zhì)的實(shí)質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義 通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)的推廣與變形 熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效 方便 快捷地解決許多等差數(shù)列問(wèn)題 2 應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問(wèn)題的關(guān)鍵尋找項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系 但要注意性質(zhì)運(yùn)用的條件 如若m n p q 則am an ap aq m n p q N 需要當(dāng)序號(hào)之和相等 項(xiàng)數(shù)相同時(shí)才成立 再比如只有當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn中的n為奇數(shù)時(shí) 才有Sn na中成立 類題試解 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11 A 58B 88C 143D 176 常規(guī)解法 選B 設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d 由題意可得a1 3d a1 7d 16 所以a1 8 5d 所以 巧妙解法 選B 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 所以a1 a11 a4 a8 16 所以