數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末課 新人教A版選修2-1

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1、第三章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運(yùn)算法則及運(yùn)算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其應(yīng)用，會(huì)用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題.3.理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示.4.會(huì)用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量.5.會(huì)用向量法解決立體幾何問題.題型探究知識(shí)梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一空間中點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的向量表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面，的法向量分別為，v，則線線平行l(wèi)mabakb，kR線面平行l(wèi) _面面平行v_線線垂直lm _線面垂直laak，kR面面垂直v_v0aa0kv，kRabab0線線夾角 l，m的夾角為(0

2、)，cos 線面夾角 l，的夾角為(0 )，sin 面面夾角 ，的夾角為(0 )，cos 知識(shí)點(diǎn)二用坐標(biāo)法解決立體幾何問題步驟如下：(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)；(3)進(jìn)行相關(guān)坐標(biāo)的運(yùn)算；(4)寫出幾何意義下的結(jié)論.關(guān)鍵點(diǎn)如下：(1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡單，簡化運(yùn)算過程.(2)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定.將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問題.(3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化.平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計(jì)算來解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類問

3、題解決的關(guān)鍵.題型探究類型一空間向量及其運(yùn)算例例1如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .答案解析向量的表示與運(yùn)算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運(yùn)算的平行四邊形法則、三角形法則及各運(yùn)算公式，理解向量運(yùn)算法則、運(yùn)算律及其幾何意義.反思與感悟解答由已知ABCD是平行四邊形，類型二利用空間向量解決位置關(guān)系問題例例2四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn)，求證：(1)PC平面EBD.證明如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面E

4、BD的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，(2)平面PBC平面PCD.證明設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為m(x1，y1，z1)，(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量.(2)證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線.利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量.(3)證明面面平行的方法轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理.證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量.反思與感悟(4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直.(5)證明線面垂直的方法證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量.證明直線

5、的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直.(6)證明面面垂直的方法轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED平面A1FD1.證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)正方體棱長為1，則設(shè)m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量，令y11，得m(0，1，2).令z21，得n(0，2，1).mn(0，1，2)(0，2，1)0，mn，故平面AED平面A1FD1.類型三利用空間向量求角例例3如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC

6、10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由)；解答交線圍成的正方形EHGF如圖所示，(2)求直線AF與平面所成角的正弦值.解答作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EMAA18.因?yàn)镋HGF為正方形，所以EHEFBC10.設(shè)n(x，y，z)是平面EHGF的法向量，用向量法求空間角的注意點(diǎn)(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為090，需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面所成的角，先求這個(gè)平面的法向量n與直線

7、a的方向向量a的夾角的余弦cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求.(3)二面角：如圖，有兩個(gè)平面與，分別作這兩個(gè)平面的法向量n1與n2，則平面與所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補(bǔ)，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).(1)求證：GF平面ADE；證明方法一如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，由四邊形ABCD是矩形，得ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH.又DH平面

8、ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.方法二如圖，取AB中點(diǎn)M，連接MG，MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE.又AE平面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中， 由M， F分別是AB， CD的中點(diǎn)得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE.所以MF平面ADE.又因?yàn)镚MMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因?yàn)镚F平面GMF，所以GF平面ADE.(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.解答方法一如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點(diǎn)作BQEC.因?yàn)锽ECE，所以BQBE.又因?yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ.則A(0，0，2

9、)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(xiàn)(2，2，1).設(shè)n(x，y，z)為平面AEF的法向量.取z2，得n(2，1，2).方法二同方法一.當(dāng)堂訓(xùn)練23451在BCD中，因?yàn)辄c(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，答案解析234512.若a(0，1，1)，b(1，1，0)，且(ab)a，則實(shí)數(shù)的值是A.1 B.0 C.1 D.2ab(，1，1).由(ab)a，知(ab)a0，0(1)1(1)(1)0，解得2.答案解析234513.已知向量a(42m，m1，m1)與b(4，22m，22m)平行，則m .1或3當(dāng)22m0，即m1時(shí)，a(2，0，0)，b(4，0，0)，滿足ab；當(dāng)22m0，即m1時(shí)，綜上可知，m3或m1.答案解析234514.已知平面經(jīng)過點(diǎn)O(0，0，0)，且e(1，1，1)是的一個(gè)法向量，M(x，y，z)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)， 則x， y， z滿足的關(guān)系式是 .xyz0答案解析m1.c(2，1，2)或c(2，1，2).解答23451a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1.23451(2)求向量a與向量b的夾角的余弦值.解答規(guī)律與方法解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法.幾何法以邏輯推理作為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運(yùn)算解決問題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運(yùn)算來解決問題.坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運(yùn)算結(jié)合起來使用.