高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明章末復(fù)習(xí)提升課件 新人教版選修2-2.ppt

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章末復(fù)習(xí)提升 第二章推理與證明 欄目索引 要點(diǎn)歸納主干梳理 題型探究重點(diǎn)突破 當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建 返回 要點(diǎn)歸納主干梳理 1 合情推理與演繹推理 1 歸納和類比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整體的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推測(cè)未知 都能用于猜想 推理的結(jié)論不一定為真 有待進(jìn)一步證明 2 演繹推理與合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式 也是公理化體系所采用的推理形式 另一方面 合情推理與演繹推理又是相輔相成的 前者是后者的前提 后者論證前者的可靠性 2 直接證明與間接證明直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法 直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法 綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法 分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí) 常把它們結(jié)合起來(lái)使用 間接證法的一種方法是反證法 反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā) 推出矛盾的證明方法 思考反證法通常適用于哪些問題 答案 答案反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法 在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到 它所反映出的 正難則反 的解決問題的思想方法更為重要 反證法主要證明 否定性 唯一性命題 至多 至少型問題 幾何問題 3 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題 證明時(shí) 它的兩個(gè)步驟缺一不可 它的第一步 歸納奠基 n n0時(shí)結(jié)論成立 第二步 歸納遞推 假設(shè)n k時(shí) 結(jié)論成立 推得n k 1時(shí)結(jié)論也成立 數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上 它可用有限的步驟 兩步 證明出無(wú)限的命題成立 思考何為探索性命題 其解題思路是什么 答案探索性命題是試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型 此類問題未給出問題結(jié)論 需要由特殊情況入手 猜想 證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題 它的解題思想是 從給出的條件出發(fā) 通過(guò)觀察 試驗(yàn) 歸納 猜想 探索出結(jié)論 然后再對(duì)歸納 猜想的結(jié)論進(jìn)行證明 返回 答案 題型探究重點(diǎn)突破 題型一合情推理及應(yīng)用 解析答案 反思與感悟 例1觀察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 則a10 b10等于 A 28B 76C 123D 199 反思與感悟 答案C 解析記an bn f n 則f 3 f 1 f 2 1 3 4 f 4 f 2 f 3 3 4 7 f 5 f 3 f 4 11 通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)f n f n 1 f n 2 n N n 3 則f 6 f 4 f 5 18 f 7 f 5 f 6 29 f 8 f 6 f 7 47 f 9 f 7 f 8 76 f 10 f 8 f 9 123 所以a10 b10 123 反思與感悟 歸納推理和類比推理是常用的合情推理 兩種推理的結(jié)論 合情 但不一定 合理 其正確性都有待嚴(yán)格證明 盡管如此 合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重要的作用 運(yùn)用合情推理時(shí) 要認(rèn)識(shí)到觀察 歸納 類比 猜想 證明是相互聯(lián)系的 在解決問題時(shí) 可以先從觀察入手 發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn) 形成解決問題的初步思路 然后用歸納 類比的方法進(jìn)行探索 猜想 最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證 跟蹤訓(xùn)練1自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 解析答案 則上起第2014行 左起第2015列的數(shù)為 A 20142B 20152C 2013 2014D 2014 2015 解析經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn) 第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù) 并且恰好等于它所在行數(shù)的平方 即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2 第一行第n個(gè)數(shù)為 n 1 2 1 第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1 第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1 故上起第2014行 左起第2015列的數(shù) 應(yīng)是第2015列的第2014個(gè)數(shù) 即為 2015 1 2 1 2013 2014 2015 答案D 題型二直接證明與間接證明 解析答案 反思與感悟 解析答案 a b 0 反思與感悟 反思與感悟 直接證明方法可具體分為比較法 代換法 放縮法 判別式法 構(gòu)造函數(shù)法等 應(yīng)用綜合法證明問題時(shí) 必須首先想到從哪里開始起步 分析法就可以幫助我們克服這種困難 在實(shí)際證明問題時(shí) 應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)使用 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練2已知等差數(shù)列 an 中 首項(xiàng)a1 0 公差d 0 解 an 是等差數(shù)列 a1 1 d 2 a4 7 am 2m 1 即2m 1 49 m 25 解析答案 又 a1 0 d 0 an 1 a1 nd d 因此假設(shè)不成立 故命題得證 題型三數(shù)學(xué)歸納法及應(yīng)用 解析答案 反思與感悟 例3已知ai 0 i 1 2 n 考察 歸納出對(duì)a1 a2 an都成立的類似不等式 并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 解析答案 反思與感悟 證明 當(dāng)n 1時(shí) 顯然成立 假設(shè)當(dāng)n k時(shí) 不等式成立 當(dāng)n k 1時(shí) 反思與感悟 k2 2k 1 k 1 2 由 可知 不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立 數(shù)學(xué)歸納法是推理邏輯 它的第一步稱為奠基步驟 是論證的基礎(chǔ)保證 即通過(guò)驗(yàn)證落實(shí)傳遞的起點(diǎn) 這個(gè)基礎(chǔ)必須真實(shí)可靠 它的第二步稱為遞推步驟 是命題具有后繼傳遞性的保證 兩步合在一起為完全歸納步驟 這兩步缺一不可 第二步中證明 當(dāng)n k 1時(shí)結(jié)論正確 的過(guò)程中 必須用 歸納假設(shè) 否則就是錯(cuò)誤的 反思與感悟 解析答案 跟蹤訓(xùn)練3數(shù)列 an 滿足Sn 2n an n N 1 計(jì)算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通項(xiàng)公式an 解析答案 2 證明 1 中的猜想 解析答案 證明 當(dāng)n 1時(shí) a1 1 結(jié)論成立 假設(shè)n k k 1且k N 時(shí) 結(jié)論成立 那么n k 1時(shí) ak 1 Sk 1 Sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 所以當(dāng)n k 1時(shí) 結(jié)論成立 解析答案 應(yīng)用反證法證明問題時(shí) 因?qū)Y(jié)論否定不正確致誤 例4已知x y R 且x2 y2 0 求證x y全為0 返回 易錯(cuò)易混 防范措施 錯(cuò)解假設(shè)結(jié)論不成立 則x y全不為0 即x 0且y 0 x2 y2 0 與x2 y2 0矛盾 故x y全為0 錯(cuò)因分析x y全為0的否定應(yīng)為x y不全為0 即至少有一個(gè)不是0 得x2 y2 0與已知矛盾 正解假設(shè)x y不全為0 則有以下三種可能 x 0 y 0 得x2 y2 0 與x2 y2 0矛盾 x 0 y 0 得x2 y2 0 與x2 y2 0矛盾 x 0 y 0 得x2 y2 0 與x2 y2 0矛盾 假設(shè)是錯(cuò)誤的 x y全為0 防范措施 應(yīng)用反證法證明問題時(shí) 首先要否定結(jié)論 假設(shè)結(jié)論的反面成立 當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí) 需羅列出各種可能情形 否定一定要徹底 返回 防范措施 當(dāng)堂檢測(cè) 1 2 3 4 5 1 下列推理正確的是 A 把a(bǔ) b c 與loga x y 類比 則loga x y logax logayB 把a(bǔ) b c 與sin x y 類比 則sin x y sinx sinyC 把 ab n與 x y n類比 則 x y n xn ynD 把 a b c與 xy z類比 則 xy z x yz D 答案 1 2 3 4 5 2 在 ABC中 若sinAsinC cosAcosC 則 ABC一定是 A 銳角三角形B 直角三角形C 鈍角三角形D 不確定 D 解析答案 解析由sinAsinC cosAcosC 得cos A C 0 即cosB 0 所以B為銳角 但并不能確定角A和C的情況 故選D 1 2 3 4 5 可得分子均為1 分母為連續(xù)相鄰的兩個(gè)偶數(shù)的乘積 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 如圖是由花盆擺成的圖案 根據(jù)圖中花盆擺放的規(guī)律 第n個(gè)圖形中的花盆數(shù)an 1 2 3 4 5 解析觀察知每一個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為1 3 5 其中第n個(gè)圖案中間一行的花盆數(shù)為2n 1 往上一側(cè)花盆數(shù)依次是2n 2 2n 3 答案3n2 3n 1 1 2 3 4 5 解析答案 1 求f2 x f3 x 1 2 3 4 5 解析答案 2 猜想fn x 的表達(dá)式 并證明 1 2 3 4 5 解析答案 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng)n 1時(shí) 命題顯然成立 1 2 3 4 5 這就是說(shuō)當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 課堂小結(jié) 返回 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)最基本的思想方法 數(shù)學(xué)中一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸 轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂 在本章中 合情推理與演繹推理體現(xiàn)的是一般與特殊的轉(zhuǎn)化 數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的是一般與特殊 有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化 反證法體現(xiàn)的是對(duì)立與統(tǒng)一的轉(zhuǎn)化 從特殊到一般的思想方法即由特殊情況入手 通過(guò)觀察 試驗(yàn) 歸納 猜想 探索出結(jié)論 然后再對(duì)歸納 猜想的結(jié)論進(jìn)行證明 與正整數(shù)n有關(guān)的命題 經(jīng)常要用到歸納猜想 然后用數(shù)學(xué)歸納法證明 這體現(xiàn)了從特殊到一般的探求規(guī)律的思想