高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 3.3 函數(shù)的最大（小）值與導數(shù)課件 新人教B版選修2-2.ppt

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1 3 3函數(shù)的最大 小 值與導數(shù) 函數(shù)的最大 小 值與導數(shù) 內(nèi)容 利用導數(shù)研究函數(shù)的最大 小 值 應用 1 求函數(shù)的最大值和最小值 2 已知函數(shù)的最值求函數(shù)的解析式 3 利用導數(shù)和不等式恒成立問題求參數(shù)的取值范圍 本課主要學習利用導數(shù)研究函數(shù)的最大 小 值 以視頻世界上最長的蕩秋千線最高 最低點引入新課 通過合作交流 使學生發(fā)現(xiàn)并掌握極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系 感受領會從數(shù)到形的探究過程 接著講述某函數(shù)在一個確定的閉區(qū)間上存在最值的條件 針對定理所解決的三類問題給出4個例題和變式 通過解決問題鞏固新知 強調(diào)利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題的重要性 在講述利用導數(shù)研究函數(shù)最值時 采用例題與變式結合的方法 通過例1 例2和變式鞏固掌握求已知函數(shù)在閉區(qū)間的最值的方法 例3及變式 既注重了與原問題的聯(lián)系 又在不知不覺中提高了難度 提高了學生的解題能力 而例4是與函數(shù)最值有關的恒成立問題 說明思路的由來過程 開闊了學生的思路 通過觀看視頻 大家一起討論一下蕩秋千線最高 最低點問題 世界上最長的蕩秋千線最高 最低點 f x 0 f x 0 問題1 函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)關系 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 則為常數(shù) 設函數(shù)y f x 在某個區(qū)間內(nèi)可導 f x 為增函數(shù) f x 為減函數(shù) 問題2 函數(shù)的極大 小 值的概念 設函數(shù)f x 在點x0附近有定義 如果對X0附近的所有點 都有f x f x0 則f x0 是函數(shù)f x 的一個極大值 記作y極大值 f x0 如果對X0附近的所有點 都有f x f x0 則f x0 是函數(shù)f x 的一個極小值 記作y極小值 f x0 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 使函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點 1 確定函數(shù)的定義域 2 求函數(shù)的導數(shù)f x 3 求方程f x 0的根 找到臨界點 4 解不等式并列成表格 5 求出極值 問題3 求函數(shù)的極值的方法與步驟 左正右負極大值 左負右正極小值 問題4 觀察下列圖形 你能找出函數(shù)的極值嗎 觀察圖象 我們發(fā)現(xiàn) 是函數(shù)y f x 的極小值 是函數(shù)y f x 的極大值 在社會生活實踐中 為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟效益 常常遇到如何能使用料最省 產(chǎn)量最高 效益最大等問題 這些問題的解決常?？赊D化為求一個函數(shù)的最大值和最小值問題 函數(shù)在什么條件下一定有最大 最小值 他們與函數(shù)極值關系如何 極值是一個局部概念 極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小 并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小 問題1 這個函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上有極值嗎 問題2 指出它的極值點有哪些 并分別說明是極大值點還是極小值點 問題3 f x 在 a b 上存在最值嗎 你覺得它的最小值和最大值分別在哪里取得 問題4 你是如何得出最大 小 值的 觀察下面一個定義在區(qū)間 a b 上的函數(shù)f x 的圖象 觀察右邊一個定義在區(qū)間 a b 上的函數(shù)y f x 的圖象 如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下 怎樣才能判斷出f x3 是最小值 而f b 是最大值呢 例如 已知函數(shù) 求f x 在區(qū)間 0 3 上的最大值和最小值 例如 已知函數(shù) 求f x 在區(qū)間 0 3 上的最大值和最小值 問題1 你能否自己畫出這個函數(shù)的圖象 再通過畫出的圖象確定函數(shù)的最值呢 問題2 你的作圖是否準確無誤呢 如果作圖出現(xiàn)較大的誤差 會不會影響到你的判斷 問題3 假設你的作圖準確度很高 你覺得每次都這么去作圖是否很方便 問題4 有沒有更好的辦法 使我們不用作圖就能準確的求出任意一個函數(shù)的最值呢 問題1 你是如何理解 連續(xù)不斷的曲線 的 問題2 給定函數(shù)的區(qū)間 a b 能否改為 a b 通過以上的思考 你能否給出某函數(shù)在一個確定的閉區(qū)間上存在最值的條件呢 觀察下列圖形 你能找出函數(shù)的最值嗎 在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值 在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值 問題3 你能說出函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎 1 最值 是整體概念 而 極值 是個局部概念 2 從個數(shù)上看 一個函數(shù)在給定定義域上的最值是唯一的 而極值不唯一 也可能沒有 3 若有唯一的極值 則此極值必是函數(shù)的最值 4 極值只能在定義域內(nèi)部取得 而最值可以在區(qū)間的端點處取得 有極值的未必有最值 有最值的未必有極值 極值有可能成為最值 最值只要不在端點必定是極值 一般的如果在區(qū)間 a b 上函數(shù)y f x 的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線 那么它必有最大值和最小值 由上面函數(shù)f x 的圖象可以看出 只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較 就可以得出函數(shù)的最值了 例1 已知函數(shù) 求f x 在區(qū)間 0 3 上的最大值和最小值 2 將y f x 的各極值與f a f b 端點處 比較 其中最大的一個為最大值 最小的一個最小值 求f x 在閉區(qū)間 a b 上的最值的步驟 1 求f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)極值 極大值或極小值 1 求出所有導數(shù)為0的點 2 計算 3 比較確定最值 求函數(shù)的最大值和最小值 求函數(shù)y x4 2x2 5在區(qū)間 2 2 上的最大值與最小值 解 令 解得x 1 0 1 當x變化時 的變化情況如下表 從上表可知 最大值是13 最小值是4 求函數(shù)的最值時 應注意以下幾點 1 函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題 是一個局部概念 而函數(shù)的最值是對整個定義域而言 是在整體范圍內(nèi)討論問題 是一個整體性的概念 2 閉區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù)一定有最值 開區(qū)間 a b 內(nèi)的可導函數(shù)不一定有最值 但若有唯一的極值 則此極值必是函數(shù)的最值 3 函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個 而函數(shù)的極值則可能不止一個 也可能沒有極值 并且極大值 極小值 不一定就是最大值 最小值 例3 已知函數(shù)f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 1 求a的值 2 求f x 在 2 2 上的最大值 已知函數(shù)f x ax3 6ax2 b 問是否存在實數(shù)a b 使f x 在 1 2 上取得最大值3 最小值 29 若存在 求出a b的值 若不存在 請說明理由 例4 設函數(shù)f x tx2 2t2x t 1 t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m對 0 t 2 恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 有關恒成立問題 一般是轉化為求函數(shù)的最值問題 求解時首先要確定函數(shù) 看哪一個變量的范圍已知 以已知范圍的變量為自變量確定函數(shù) 教師提問 本節(jié)課我們學習了哪些知識 涉及到哪些數(shù)學思想方法 學生作答 1 知識 1 極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系 2 利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟 2 思想 歸納概括思想 數(shù)形結合思想 教師總結 在學習新知時也用到了前面所學過的知識 提醒學生 在學習新知時 也要經(jīng)常復習前面學過的內(nèi)容 溫故而知新 在應用中增強對知識的理解 及時查缺補漏 從而更好地運用知識 解題要有目的性 加強對數(shù)學知識 思想方法的認識與自覺運用 D A A 必做題 4 函數(shù)y x3 3x2 在 2 4 上的最大值為 A 4 B 0 C 16 D 20 C 1 函數(shù)y x 3x 9x在 4 4 上的最大值為 最小值為 分析 1 由f x 3x 6x 9 0 2 區(qū)間 4 4 端點處的函數(shù)值為f 4 20 f 4 76 得x1 3 x2 1 函數(shù)值為f 3 27 f 1 5 76 5 當x變化時 y y的變化情況如下表 比較以上各函數(shù)值 可知函數(shù)在 4 4 上的最大值為f 4 76 最小值為f 1 5 選做題 反思 本題屬于逆向探究題型其基本方法最終落腳到比較極值與端點函數(shù)值大小上 從而解決問題 往往伴隨有分類討論 3 求函數(shù)f x x2 4x 6在區(qū)間 1 5 內(nèi)的極值與最值 故函數(shù)f x 在區(qū)間 1 5 內(nèi)的極小值為3 最大值為11 最小值為2 解法二 f x 2x 4 令f x 0 即2x 4 0 得x 2 3 11 2 解法一 將二次函數(shù)f x x2 4x 6配方 利用二次函數(shù)單調(diào)性處理