高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第42講 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件

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1、立體幾何第第 七七 章章第第4242講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)考綱要求考情分析命題趨勢1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題.2016全國卷,182016全國卷,192016江蘇卷,162016浙江卷,18與直線、平面垂直有關(guān)的命題判斷,線線、線面、面面垂直的證明,直線與平面所成的角的計(jì)算,求解二面角大小,由線面垂直或面面垂直探求動點(diǎn)的位置.分值:56分板板 塊塊 一一板板 塊塊 二二板板 塊塊 三三欄目導(dǎo)航 1直線與平面垂直 (1)直線

2、和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直,就說直線l與平面互相垂直任意一條 (2)判定定理與性質(zhì)定理兩條相交直線 a,b abO la lb 平行 a b 2平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是_,就說這兩個(gè)平面互相垂直 (2)判定定理和性質(zhì)定理直二面角 垂線 l l 交線 l a la 1思維辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直,則l.() (2)過一點(diǎn)作已知直線的垂面有且只有一個(gè)() (3)若兩條直線垂直,則這兩條直線相交() (4)若兩平面垂直,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一平面() (5)

3、若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則.() 解析 (1)錯(cuò)誤直線l與內(nèi)兩條相交直線都垂直才有l(wèi). (2)正確過一點(diǎn)可以作兩條相交直線都垂直于已知直線,而這兩條相交直線可確定一個(gè)平面,此平面與直線垂直 (3)錯(cuò)誤兩條直線垂直,這兩條直線可能相交,也可能異面 (4)錯(cuò)誤兩個(gè)平面垂直,有一條交線,一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面,而不是任意一條直線 (5)錯(cuò)誤內(nèi)的一條直線如果與內(nèi)的兩條相交直線都垂直才能線面垂直,從而面面垂直 2設(shè)平面與平面相交于直線m,直線a在平面內(nèi),直線b在平面內(nèi),且bm,則“”是“ab”的() A充分不必要條件B必要不充分條件 C充分必要條件D既不充分也不必

4、要條件 解析 由面面垂直的性質(zhì)定理可知,當(dāng)時(shí),b. 又因?yàn)閍,則ab; 如果am,ab,不能得到, 故“”是“ab”的充分不必要條件故選AA 3已知m和n是兩條不同的直線, 和是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m的是() A且mB且m Cmn且nDmn,n且 解析 ,且mm或m或m與相交,故A項(xiàng)不成立; ,且mm或m或m與相交,故B項(xiàng)不成立; mn,且nm.故C項(xiàng)成立; mn,n,且,知m不成立,故D項(xiàng)不成立,故選CC 4PD垂直于正方形ABCD所在的平面,連接PB,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂直的平面有_對 解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD,

5、平面PAD平面PCD,平面PCD平面PBC, 平面PAD平面PAB,平面PAC平面PBD,共有7對7 5在三棱錐PABC中,點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)O. (1)若PAPBPC,則點(diǎn)O是ABC的_心; (2)若PAPB,PBPC, PCPA,則點(diǎn)O是ABC的_心 解析 (1)若PAPBPC,由勾股定理易得OAOBOC, 故O是ABC的外心; (2)由PAPB,PCPA,得PA平面PBC,則PABC 又由PO平面ABC知POBC,所以BC平面PAO,則AOBC,同理得BOAC,COAB,故O是ABC的垂心外垂 (1)證明直線和平面垂直的常用方法:判定定理;垂直于平面的傳遞性(ab,ab);面面

6、平行的性質(zhì)(a,a);面面垂直的性質(zhì) (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直,而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此,判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想 (3)線面垂直的性質(zhì)常用來證明線線垂直一直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E為棱C1D1的中點(diǎn),F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn) (1)求證:直線AE直線DA1; (2)在線段AA1上求一點(diǎn)G,使得直線AE平面DFG. 解析 (1)證明:由正方體的性質(zhì)可知, DA1AD1,DA1AB, 又ABAD1A,DA1平面ABC1D1, 又AE平面ABC1D1,DA1AE. (2)所求G點(diǎn)即為A1點(diǎn),證明

7、如下: 由(1)可知AEDA1,取CD的中點(diǎn)H, 連接AH,EH,由DFAH,DFEH,AHEHH,可證DF平面AHE,AE平面AHE,DFAE. 又DFA1DD,AE平面DFA1,即AE平面DFG.二平面與平面垂直的判定與性質(zhì) (1)判定面面垂直的方法: 面面垂直的定義; 面面垂直的判定定理(a,a) (2)在已知平面垂直時(shí),一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化 在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線,轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 【例2】 已知三棱柱A1B1C1ABC的側(cè)棱與底面成60角,底面是等邊三角形,側(cè)面B1C1CB是菱形且與底面垂直,求證:AC1BC 證明 過C1作C1HBC于H,連接AH, 又

8、側(cè)面B1C1CB底面ABC, 側(cè)面B1C1CB 底面ABCBC, C1H底面ABC 側(cè)棱CC1與底面ABC所成角, 即為C1CH60,三垂直關(guān)系中的探索性問題 解決垂直關(guān)系中的探索性問題的方法 同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣,一般是先探求點(diǎn)的位置,多為線段的中點(diǎn)或某個(gè)等分點(diǎn),然后給出符合要求的證明 【例3】 如圖,在三棱臺ABCDEF中,CF平面DEF,ABBC (1)設(shè)平面ACE平面DEFa,求證:DFa; (2)若EFCF2BC,試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G,使得平面DFG平面CDE?若存在,請確定G點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由 1(2018山東青島模擬)設(shè)a,b是兩條不同的

9、直線,是兩個(gè)不同的平面,則能得出ab的是() Aa,b,Ba,b, Ca,b,Da,b, 解析 對于C項(xiàng),由,a可得a,又b,得ab,故選CC 2(2016浙江卷)已知互相垂直的平面,交于直線l,若直線m,n滿足m,n,則() AmlBmn CnlDmn 解析 l,l,n,nl.C 3如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,ABAD, ACCD,ABC60, PAABBC,E是PC的中點(diǎn) 證明:(1) CDAE; (2)PD平面ABE. 證明 (1)在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACDACCD,PAACA,CD平面PAC, 而AE平面PAC,CDAE. (2

10、)由PAABBC,ABC60,可得ACPA E是PC的中點(diǎn),AEPC由(1)知AECD,且PCCDC,AE平面PCD而PD平面PCD,AEPD PA底面ABCD,PAAB又ABAD且PAADA, AB平面PAD,而PD平面PAD,ABPD 又ABAEA,PD平面ABE. 4如圖,在四棱錐SABCD中,平面SAD平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,且P為AD的中點(diǎn),Q為SB的中點(diǎn) (1)求證:CD平面SAD; (2)求證:PQ平面SCD; (3)若SASD,M為BC的中點(diǎn),在棱SC上是否存在點(diǎn)N,使得平面DMN平面ABCD?并證明你的結(jié)論 解析 (1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以CD

11、AD 又平面SAD平面ABCD,且平面SAD平面ABCDAD, 所以CD平面SAD (3)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn),使得平面DMN平面ABCD 連接PC,DM交于點(diǎn)O,連接PM,SP,NM,ND,NO, 因?yàn)镻DCM,且PDCM, 所以四邊形PMCD為平行四邊形,所以POCO. 又因?yàn)镹為SC的中點(diǎn),所以NOSP. 易知SPAD, 平面SAD平面ABCD,平面SAD平面ABCDAD, 所以SP平面ABCD,所以NO平面ABCD 因?yàn)镹O平面DMN,所以平面DMN平面ABCD 錯(cuò)因分析:已知條件中給出了線面垂直,求證的是線線平行,若忽略線面垂直的性質(zhì)定理,則覺得論證無從下手,從而造成解題困難 【例1

12、】 在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別在BD,B1C上,且MNBD, MNB1C,求證:MNAC1.易錯(cuò)點(diǎn)聯(lián)想不到已學(xué)定理 【跟蹤訓(xùn)練1】 如圖,PA垂直于圓O所在的平面,AB是圓O的直徑,C是圓O上的一點(diǎn),E, F分別是點(diǎn)A在PB, PC上的射影,給出下列結(jié)論: AFPB;EFPB;AFBC;AEBC正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為() A1B2 C3D4C 解析 AB是圓O的直徑,ACBC,又PA面ABC,故PABC,且PAACA,BC面PAC,BCAF. 又AFPC,且PCBCC,AF面PBC,故AFPB 又AEPB,且AFAEA,PB面AEF,從而EFPB,故正確若AEBC,則可證AE面PBC,則AEAF,這是不可能的,選C

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