八年級數(shù)學上冊 第十一章 三角形 11.2 與三角形有關(guān)的角 11.2.3 直角三角形的性質(zhì)習題 新人教版.doc

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11.2.3 直角三角形的性質(zhì) 學校：___________姓名：___________班級：___________ 一．選擇題（共9小題） 1．（xx秋?醴陵市期末）已知∠A，∠B為直角△ABC兩銳角，∠B=54，則∠A=（　?。? A．60 B．36 C．56 D．46 2．（xx春?高郵市期中）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C 3．（xx春?武岡市期中）Rt△ABC中，∠C=90，∠B=54，則∠A的度數(shù)是（　　） A．66 B．36 C．56 D．46 4．（xx春?桂平市期中）在Rt△ABC中，∠C=90，∠A=70，則∠B的度數(shù)為（　　） A．20 B．30 C．40 D．70 5．（xx?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠ACB=105，∠B=30，∠ACB的平分線CD交AB于點D，則AD：BD=（　　） A． B． C．1：2 D． 6．（xx秋?安陸市期中）如圖，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D，下列結(jié)論錯誤的是（　?。? A．圖中有三個直角三角形 B．∠1=∠2 C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2=∠A 7．（xx春?廣饒縣校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC=90，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（　?。? A．3個 B．4個 C．5個 D．6個 8．（xx秋?平邑縣校級月考）在△ABC中，滿足下列條件：①∠A=60，∠C=30；②∠A+∠B=∠C；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④∠A=90﹣∠C，能確定△ABC是直角三角形的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 9．（xx秋?虞城縣校級月考）如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90，CD⊥AB，與∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 　 二．填空題（共11小題） 10．（xx秋?涼州區(qū)期末）在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有　 ?。ㄌ钚蛱枺? 11．（xx秋?林州市期末）在Rt△ABC中，銳角∠A=35，則另一個銳角∠B=　 ?。? 12．（xx春?無錫期中）若直角三角形的一個銳角為36，則另一個銳角的度數(shù)為　 ?。? 13．（xx春?北京校級期中）直角三角形兩銳角的平分線的夾角是　 ?。? 14．（xx秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）在直角三角形中，一個銳角為57，則另一個銳角為　 　． 15．（xx春?文山市校級期末）在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=20，則∠B=　 ?。? 16．（xx秋?沂水縣期中）如圖△ABC中，∠A：∠B=1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD=75，則∠D=　 　． 17．（xx春?銅山區(qū)期中）如圖，已知∠AON=40，OA=6，點P是射線ON上一動點，當△AOP為直角三角形時，∠A=　 　． 18．（xx秋?謝家集區(qū)期中）直角三角形的兩個銳角　 　． 19．（xx春?灌陽縣期中）直角三角形中兩銳角平分線相交所成的角的度數(shù)是　 ?。? 20．（xx春?東臺市月考）直角三角形的一個銳角為42，另一個銳角為　 ?。? 　 三．解答題（共4小題） 21．（xx春?海陵區(qū)校級期末）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90，D是AB上一點，且∠ACD=∠B． （1）如圖1，求證：CD⊥AB； （2）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊所在直線上，記為A′點． ①如圖2，若∠B=34，求∠A′CB的度數(shù)； ②若∠B=n，請直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）． 22．（xx春?重慶期中）在直角△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分線． （1）求∠DCE的度數(shù)． （2）若∠CEF=135，求證：EF∥BC． 23．（xx春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D． （1）求證：∠ACD=∠B； （2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF=∠CFE． 24．（xx秋?江海區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB=90，CD是高． （1）圖中有幾個直角三角形？是哪幾個？ （2）∠1和∠A有什么關(guān)系？∠2和∠A呢？還有哪些銳角相等． 　 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（共9小題） 1． 解：∵∠A，∠B為直角△ABC兩銳角， ∴∠A=90﹣∠B=36， 故選：B． 　 2． 解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180，∠C=90，為直角三角形， 同理，B，C均為直角三角形， D選項中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180，三個角沒有90角，故不是直角三角形， 故選：D． 　 3． 解：∵Rt△ABC中，∠C=90，∠B=54， ∴∠A=90﹣∠B=90﹣54=36； 故選：B． 　 4． 解： ∵在Rt△ABC中，∠C=90， ∴∠A+∠B=90， ∴∠B=90﹣∠A=90﹣70=20， 故選：A． 　 5． 解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N， ∵∠ACB=105，∠B=30， ∴∠A=180﹣105﹣30=45， ∵CD是∠ACB的平分線，DM⊥AC，DN⊥BC， ∴DM=DN， 在Rt△ADM中，AD==DM， 在Rt△DNB中，BD==2DN， ∴AD：BD=：2， 故選：A． 　 6． 解：∵∠ACB=90，CD⊥AB，垂足為D， ∴△ACD∽△CBD∽△ABC． A、∵圖中有三個直角三角形Rt△ACD、Rt△CBD、Rt△ABC；故本選項正確； B、應為∠1=∠B、∠2=∠A；故本選項錯誤； C、∵∠1=∠B、∠2=∠A，而∠B是∠A的余角，∴∠1和∠B都是∠A的余角；故本選項正確； D、∵∠2=∠A；故本選項正確． 故選：B． 　 7． 解：如圖，∵AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠C+∠B=90，∠BDF+∠B=90，∠BAD+∠B=90， ∴∠C=∠BDF=∠BAD， ∵∠DAC+∠C=90，∠DAC+∠ADE=90， ∴∠C=∠ADE， ∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個數(shù)是3， 故選：A． 　 8． 解：①∠A=60，∠C=30時，∠B=180﹣60﹣30=90，是直角三角形； ②∠A+∠B=∠C時，∠C=90，是直角三角形； ③∠A：∠B：∠C=3：4：5時，∠C=180＜90，是銳角三角形； ④∠A=90﹣∠C時，∠A+∠C=90，∠B=90，是直角三角形； 綜上所述，是直角三角形的有①②④共3個． 故選：C． 　 9． 解：因為∠1+∠BCD=∠ACB=90， 所以∠1與∠BCD互余； 因為CD⊥AB， 所以∠CDB=90， 所以∠1+∠A=90． 所以∠1與∠A互余． 故選：C． 　 二．填空題（共11小題） 10． 解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180，∴2∠C=180，∠C=90，則該三角形是直角三角形； ②∠A：∠B：∠C=1：2：3，∠A+∠B+∠C=180，∴∠C=90，則該三角形是直角三角形； ③∠A=90﹣∠B，則∠A+∠B=90，∠C=90．則該三角形是直角三角形； ④∠A=∠B=∠C，則該三角形是等邊三角形． 故能確定△ABC是直角三角形的條件有①②③． 　 11． 解：∵在Rt△ABC中，銳角∠A=35， ∴另一個銳角∠B=90﹣35=55， 故答案為：55． 　 12． 解：90﹣36=54． 故答案為：54． 　 13． 解：如圖，∠ABC+∠BAC=90， ∵AD、BE分別是∠BAC和∠ABC的角平分線， ∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=45， ∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45， ∴∠AOB=135 ∴兩銳角的平分線的夾角是45或135． 故答案為：45或135． 　 14． 解： ∵直角三角形的兩銳角互余， ∴另一銳角=90﹣57=33， 故答案為：33． 　 15． 解：∵∠C=Rt∠=90，∠A=20， 又∵∠A+∠B+C=180， ∴∠B=180﹣∠A﹣∠C =180﹣20﹣90=70． 故答案為：70． 　 16． 解：∵∠FCD=75， ∴∠A+∠B=75， ∵∠A：∠B=1：2， ∴∠A=75=25， ∵DE⊥AB于E， ∴∠AFE=90﹣∠A=90﹣25=65， ∴∠CFD=∠AFE=65， ∵∠FCD=75， ∴∠D=180﹣∠CFD﹣∠FCD=180﹣65﹣75=40． 故答案為：40 　 17． 解：當AP⊥ON時，∠APO=90，則∠A=50， 當PA⊥OA時，∠A=90， 即當△AOP為直角三角形時，∠A=50或90． 故答案為：50或90． 　 18． 解：直角三角形的兩個銳角互余， 故答案為：互余． 　 19． 解：如圖，∠ABC+∠BAC=90， ∵AD、BE分別是∠BAC和∠ABC的角平分線， ∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=45， ∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45， ∴∠AOB=135 ∴兩銳角的平分線的夾角是45或135， 故答案為：45或135 　 20． 解：∵直角三角形的兩個銳角互余， ∴當直角三角形的一個銳角為42時，另一個銳角為90﹣42=48， 故答案為：48． 　 三．解答題（共4小題） 21． 解：（1）∵∠ACB=90， ∴∠ACD+∠BCD=90， ∵∠ACD=∠B， ∴∠B+∠BCD=90， ∴∠BDC=90， ∴CD⊥AB； （2）①當∠B=34時，∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=34， 由（1）知，∠BCD+∠B=90， ∴∠BCD=56， 由折疊知，∠ACD=∠ACD=34， ∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=56﹣34=22； ②當∠B=n時，同①的方法得，∠ACD=n，∠BCD=90﹣n， ∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=90﹣n﹣n=90﹣2n． 　 22． 解：∵∠B=30，CD⊥AB于D， ∴∠DCB=90﹣∠B=60． ∵CE平分∠ACB，∠ACB=90， ∴∠ECB=∠ACB=45， ∴∠DCE=∠DCB﹣∠ECB=60﹣45=15； （2）∵∠CEF=135，∠ECB=∠ACB=45， ∴∠CEF+∠ECB=180， ∴EF∥BC． 　 23． 證明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD=90，∠B+∠BCD=90， ∴∠ACD=∠B； （2）在Rt△AFC中，∠CFA=90﹣∠CAF， 同理在Rt△AED中，∠AED=90﹣∠DAE． 又∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠DAE， ∴∠AED=∠CFE， 又∵∠CEF=∠AED， ∴∠CEF=∠CFE． 　 24． 解：（1）∠ACB=90，∠ADC=90， ∴圖中有3個直角三角形，分別是△ACD，△BCD，△ABC． （2）∵∠ADC=90， ∴∠1+∠A=90， ∵∠1+∠2=90， ∴∠2=∠A，∠1=∠B．