2019版高考數學二輪復習 專題三 三角 專題對點練10 三角函數與三角變換 文.doc
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專題對點練10 三角函數與三角變換 1.(2018上海,18)設常數a∈R,函數f(x)=asin 2x+2cos2x. (1)若f(x)為偶函數,求a的值; (2)若fπ4=3+1,求方程f(x)=1-2在區(qū)間[-π,π]上的解. 2.已知函數f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求證:當x∈-π4,π4時,f(x)≥-. 3.設函數f(x)=cos2x-3sin xcos x+. (1)求f(x)的最小正周期及值域; (2)已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f(B+C)=,a=3,b+c=3,求△ABC的面積. 4.已知函數f(x)=3sin ωxcos ωx+cos2ωx- (ω>0)的兩條相鄰對稱軸之間的距離為π2. (1)求ω的值; (2)將函數f(x)的圖象向左平移π6個單位,再將所得函數的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,得到函數y=g(x)的圖象,若函數y=g(x)-k在區(qū)間-π6,2π3上存在零點,求實數k的取值范圍. 5.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知A為銳角,且bsin Acos C+csin Acos B=32a. (1)求角A的大小; (2)設函數f(x)=tan Asin ωxcos ωx-cos 2ωx(ω>0),其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為π2,將函數y=f(x)的圖象向左平移π4個單位,得到函數y=g(x)圖象,求函數g(x)在區(qū)間-π24,π4上的值域. 6.已知f(x)=3sin(π+ωx)sin3π2-ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期為T=π. (1)求f4π3的值; (2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角B的大小以及f(A)的取值范圍. 7.已知函數f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a,且當x∈0,π2時,f(x)的最小值為2. (1)求a的值,并求f(x)的單調遞增區(qū)間; (2)先將函數y=f(x)的圖象上的點縱坐標不變,橫坐標縮小到原來的,再將所得圖象向右平移π12個單位,得到函數y=g(x)的圖象,求方程g(x)=4在區(qū)間0,π2上所有根之和. 8.函數f(x) =2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示. (1)求f(x)的解析式,并求函數f(x)在-π12,π4上的值域; (2)在△ABC中,AB=3,AC=2,f(A) =1,求sin 2B. 專題對點練10答案 1.解 (1)∵f(x)=asin 2x+2cos2x, ∴f(-x)=-asin 2x+2cos2x. ∵f(x)為偶函數,∴f(-x)=f(x), ∴-asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x, ∴2asin 2x=0,∴a=0. (2)∵fπ4=3+1, ∴asin+2cos2=a+1=3+1, ∴a=3, ∴f(x)=3sin 2x+2cos2x=3sin 2x+cos 2x+1=2sin2x+π6+1. ∵f(x)=1-2, ∴2sin2x+π6+1=1-2, ∴sin2x+π6=-22, ∴2x+=-+2kπ或2x+π6=54π+2kπ,k∈Z, ∴x=kπ-5π24或x=kπ+13π24,k∈Z. ∵x∈[-π,π], ∴x=-11π24或-5π24或13π24或19π24. ∴所求方程的解為x=-11π24或-5π24或13π24或19π24. 2.(1)解 f(x)=32cos 2x+sin 2x-sin 2x =sin 2x+32cos 2x =sin2x+π3. 所以f(x)的最小正周期T=2π2=π. (2)證明 因為-≤x≤, 所以-≤2x+π3≤5π6. 所以sin2x+π3≥sin-π6=-. 所以當x∈-π4,π4時,f(x)≥-. 3.解 (1)f(x)=cos2x-3sin xcos x+=cos2x+π3+1, ∴f(x)的最小正周期為T=π. ∵x∈R,∴-1≤cos2x+π3≤1, 故f(x)的值域為[0,2]. (2)由f(B+C)=cos2(B+C)+π3+1=,得cos2A-π3=12. 又A∈(0,π),得A=. 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc, 又a=3,b+c=3,∴3=9-3bc, 解得bc=2, ∴△ABC的面積S=bcsinπ3=12232=32. 4.解 (1)原函數可化為f(x)=32sin 2ωx+1+cos2ωx2-12=32sin 2ωx+cos 2ωx=sin2ωx+π6. ∵函數f(x)的相鄰兩條對稱軸之間的距離為, ∴f(x)的最小正周期為2=π. ∴2π2ω=π,∴ω=1. (2)由(1)知,ω=1,f(x)=sin2x+π6,將函數f(x)的圖象向左平移個單位,得到函數y=sin2x+π6+π6=sin2x+π2=cos 2x的圖象,再將函數y=cos 2x的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,得到函數y=cos x的圖象. ∴g(x)=cos x. ∵x∈-π6,2π3, ∴g(x)=cos x∈-12,1. ∵函數y=g(x)-k在區(qū)間-π6,2π3上存在零點, ∴k∈-12,1. ∴實數k的取值范圍為-12,1. 5.解 (1)∵bsin Acos C+csin Acos B=32a,∴由正弦定理可得sin Bsin Acos C+sin Csin Acos B=32sin A, ∵A為銳角,sin A≠0, ∴sin Bcos C+sin Ccos B=32,可得sin(B+C)=sin A=32,∴A=. (2)∵A=,可得tan A=3, ∴f(x)=3sin ωxcos ωx-cos 2ωx=32sin 2ωx-cos 2ωx=sin2ωx-π6, ∵其圖象上相鄰兩條對稱軸間的距離為,可得T=2π2=2π2ω,解得ω=1, ∴f(x)=sin2x-π6, ∴將y=f(x)的圖象向左平移個單位,圖象對應的函數為y=g(x)=sin2x+π4-π6=sin2x+π3, ∵x∈-π24,π4, 可得2x+π3∈π4,5π6, ∴g(x)=sin2x+π3∈12,1. 6.解 (1)f(x)=3sin(π+ωx)sin3π2-ωx-cos2ωx =3sin ωxcos ωx-cos2ωx =32sin 2ωx-cos 2ωx- =sin2ωx-π6-12. ∵最小正周期為T=π,∴2π2ω=π,ω=1. ∴f(x)=sin2x-π6-12. ∴f4π3=sin24π3-π6-12=12. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, ∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A. ∵sin A>0,∴cos B=, ∵B∈(0,π),∴B=. ∴A∈0,2π3,2A-π6∈-π6,7π6, ∴sin2A-π6∈-12,1. 即f(A)的取值范圍為-1,12. 7.解 (1)f(x)=2cos2x+23sin xcos x+a=cos 2x+1+3sin 2x+a=2sin2x+π6+a+1, ∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6, ∴f(x)的最小值為-1+a+1=2, 解得a=2, ∴f(x)=2sin2x+π6+3. 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴f(x)的單調遞增區(qū)間為kπ-π3,kπ+π6 (k∈Z). (2)由函數圖象變換可得 g(x)=2sin4x-π6+3, 由g(x)=4可得sin4x-π6=12, ∴4x-=2kπ+或4x-=2kπ+5π6(k∈Z), 解得x=kπ2+π12或x=kπ2+π4(k∈Z), ∵x∈0,π2,∴x=π12或x=, ∴所有根之和為π12+π4=π3. 8.解 (1)由題圖知, T=11π12-π6=3π4, ∴T=π. ∴2πω=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ). ∵點π6,2在函數f(x)的圖象上, ∴sinπ3+φ=1, ∴+φ=+2kπ(k∈Z). ∵0<φ<π,∴φ=, ∴f(x)=2sin2x+π6. ∵-π12≤x≤,∴0≤2x+π6≤2π3. ∴0≤sin2x+π6≤1,∴0≤f(x)≤2,即函數f(x)在-π12,π4上的值域為[0,2]. (2)∵f(A)=2sin2A+π6=1, ∴sin2A+π6=12. ∵<2A+π6<13π6, ∴2A+π6=5π6,∴A=. 在△ABC中,由余弦定理得 BC2=9+4-232=7, ∴BC=7. 由正弦定理得7sinπ3=2sinB, 故sin B=217. 又AC
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