2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 （教材回扣+考點分類+課堂內(nèi)外+限時訓練）專講專練 9.7　拋物線.doc

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2019-2020年高三數(shù)學一輪復習 （教材回扣+考點分類+課堂內(nèi)外+限時訓練）專講專練 9.7　拋物線 一、選擇題 1．(xx安徽)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．2 解析：如圖，設A(x0，y0)，不妨設y0＜0，由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線 焦點F(1,0)，拋物線準線方程為x＝－1， 故|AF|＝x0－(－1)＝3， 可得x0＝2，y0＝－2，故A(2，－2)，直線AB的斜率為k＝＝－2，直線AB的方程為y＝－2x＋2， 聯(lián)立直線與拋物線方程，可得2x2－5x＋2＝0，得x＝2或x＝，所以B點的橫坐標為，可得|BF|＝－(－1)＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝，O點到直線AB的距離為d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝. 答案：C 2．(xx四川)已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經(jīng)過點M(2，y0)，若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：由題意可設拋物線方程為y2＝2px(p＞0)， 則2＋＝3，∴p＝2. ∴y2＝4x，∴y＝42＝8， ∴|OM|＝＝＝2. 答案：B 3．(xx青島調(diào)研)以坐標軸為對稱軸，原點為頂點且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圓心的拋物線方程是(　　) A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2 C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x 解析：設拋物線方程為x2＝ay或y2＝ax(a≠0)，把圓心(1，－3)代入方程得a＝－或a＝9，∴拋物線方程是y＝－3x2或y2＝9x. 答案：D 4．(xx瀘州診斷)拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是(　　) A. B. C. D．3 解析：設與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線相切的直線為4x＋3y＋t＝0，與拋物線y＝－x2聯(lián)立得3x2－4x－t＝0，由Δ＝16＋12t＝0，得t＝－，兩條平行線的距離為所求最小距離，由兩條平行線的距離公式得所求距離為. 答案：A 5．(xx廣元考試)設斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：由題意得|OF|＝，tan∠AFO＝2，∴|OA|＝，S△AOF＝|OF||OA|＝＝4，∴a＝8. 答案：D 6．(xx河南聯(lián)考)設拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點A在y軸上，若線段FA的中點B在拋物線上，且點B到拋物線準線的距離為，則點A的坐標為(　　) A．(0，2) B．(0,2) C．(0，4) D．(0,4) 解析：在△AOF中，點B為邊AF的中點，故點B的橫坐標為，因此＝＋，解得p＝，故拋物線方程為y2＝2x，可得點B坐標為，故點A的坐標為(0，2)． 答案：A 二、填空題 7．(xx重慶)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝__________. 解析：設|AF|＝x，|BF|＝y(tǒng)，由拋物線的性質(zhì)知＋＝＝2，又x＋y＝，∴x＝，y＝，即|AF|＝. 答案： 8．(xx遼寧)已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點A，則點A的縱坐標為__________． 解析：y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴過P，Q的切線方程分別為：y＝4x－8，y＝－2x－2，聯(lián)立方程解得y＝－4. 答案：－4 9．(xx湖北聯(lián)考)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點M(1，m)(m＞0)到其焦點的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則正實數(shù)a的值為__________． 解析：由拋物線的定義知1＋＝5，∴p＝8，故m＝4，又左頂點A(－a,0)，M(1,4)，因此直線AM的斜率為k＝＝，解得a＝. 答案： 三、解答題 10．(xx寧德檢查)已知拋物線y2＝－4x的焦點為F，準線為l. (1)求經(jīng)過點F的與直線l相切，且圓心在直線x＋y－1＝0上的圓的方程； (2)設過點F且不與坐標軸垂直的直線交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點M，求點M橫坐標的取值范圍． 解析：(1)設圓心為(a，b)，由拋物線y2＝－4x得其焦點坐標為(－1,0)，準線l的方程為x＝1， 根據(jù)題意得即解得 ∴所求圓的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4. (2)依題意可設直線AB的方程為x＝my－1(m≠0)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為P. 由消去x整理得y2＋4my－4＝0， ∴y1＋y2＝－4m，∴yP＝＝－2m， ∴xP＝myP－1＝－2m2－1， 即線段AB的中點為P(－2m2－1，－2m)， ∴線段AB的垂直平分線方程是y＋2m＝－m(x＋2m2＋1)， 令y＝0，得xM＝－3－2m2＜－3， ∴點M橫坐標的取值范圍是(－∞，－3)． 11．已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)兩點，且|AB|＝9. (1)求該拋物線的方程； (2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若＝＋λ，求λ的值． 解析：(1)直線AB的方程是y＝2，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0， 所以x1＋x2＝. 由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x. (2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可簡化為x2－5x＋4＝0， 從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4， 從而A(1，－2)，B(4,4)． 設＝(x3，y3) ＝(1，－2)＋λ(4,4) ＝(4λ＋1,4λ－2)， 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2. 12．(xx岳陽聯(lián)考)如圖，傾斜角為α的直線經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點． (1)求拋物線焦點F的坐標及準線l的方程； (2)若α為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|－|FP|cos2α為定值，并求此定值. 解析：(1)由已知得2p＝8，∴＝2， ∴拋物線的焦點坐標為F(2,0)，準線方程為x＝－2. (2)證明：設A(xA，yA)，B(xB，yB)，直線AB的斜率為k＝tanα，則直線方程為y＝k(x－2)， 將此式代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0， 故xA＋xB＝， 記直線m與AB的交點為E(xE，yE)， 則xE＝＝，yE＝k(xE－2)＝， 故直線m的方程為y－＝－， 令y＝0，得點P的橫坐標xP＝＋4， 故|FP|＝xP－2＝＝， ∴|FP|－|FP|cos2α＝(1－cos2α) ＝＝8，為定值.