2019屆高考數(shù)學二輪復習 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.1 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文.doc

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第一講　空間幾何體的三視圖、表面積及體積 (40分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2018北京高考)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數(shù)為 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【命題意圖】本小題主要考查空間幾何體的三視圖,意在考查三視圖與直觀圖的轉化,培養(yǎng)學生的空間想象能力,體現(xiàn)了直觀想象的數(shù)學素養(yǎng). 【解析】選C.將四棱錐三視圖轉化為直觀圖,如圖, 側面共有4個三角形,即△PAB,△PBC,△PCD,△PAD, 由已知,PD⊥平面ABCD,又AD?平面ABCD, 所以PD⊥AD,同理PD⊥CD,PD⊥AB, 所以△PCD,△PAD是直角三角形. 因為AB⊥AD,PD⊥AB,PD,AD?平面PAD,PD∩AD=D, 所以AB⊥平面PAD,又PA?平面PAD 所以AB⊥PA,△PAB是直角三角形. 因為AB=1,CD=2,AD=2,PD=2, 所以PA=PD2+AD2=22, PC=PD2+CD2=22 PB=PA2+AB2=3, 在梯形ABCD中,易知BC=5, △PBC三條邊長為22,3,5,△PBC不是直角三角形. 綜上,側面中直角三角形個數(shù)為3. 2.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 (　　) A.1603 B.32 C.323 D.3523 【解析】選A.由三視圖可知, 該幾何體是由底面為等腰直角三角形(腰長為4)、高為8的直三棱柱截去一個等底且高為4的三棱錐而得到的,所以該幾何體的體積V=12448-1312444=1603. 3.(2018湖南五市十校聯(lián)考)如圖,小方格是邊長為1的正方形,一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 (　　) A.45π+96 B.(25+6)π+96 C.(45+4)π+64 D.(45+4)π+96 【解析】選D　由三視圖可知,該幾何體為一個圓錐和一個正方體的組合體,正方體的棱長為4,圓錐的高為4,底面半徑為2,所以該幾何體的表面積為S=642+π22+π242+22=(45+4)π+96. 4.一個三棱錐的正(主)視圖和俯視圖如圖所示,則該三棱錐的側(左)視圖可能為 (　　) 【解析】選D.由題圖可知,該幾何體為如圖所示的三棱錐,其中平面ACD⊥平面BCD,故選D. 5.如圖是一正方體被過棱的中點M,N和頂點A,D,C1的兩個截面截去兩個角后所得的幾何體,則該幾何體的正(主)視圖為 (　　) 【解析】選B.還原正方體,如圖所示,由題意可知,該幾何體的正(主)視圖是選項B. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.若一個幾何體的表面積和體積相同,則稱這個幾何體為“同積幾何體”.已知某幾何體為“同積幾何體”,其三視圖如圖所示,則a=____________. 【解析】根據(jù)幾何體的三視圖可知該幾何體是一個四棱柱,如圖所示,可得其體積為12(a+2a)aa=32a3,其表面積為12(2a+a)a2+a2+a2+2aa+2aa=7a2+2a2,所以7a2+2a2=32a3,解得a=14+223. 答案:14+223 7.(2017全國卷Ⅰ)如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起 △DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為____________. 【解析】連接OB,連接OD,交BC于點G,由題意得,OD⊥BC,OG=36BC, 設OG=x,則BC=23x,DG=5-x, 三棱錐的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x, S△ABC=23x3x12=33x2, 則V=13S△ABCh=3x225-10x =325x4-10x5, 令fx=25x4-10x5,x∈0,52, f′x=100x3-50x4, 令f′x>0,即x4-2x3<0,x<2, 則fx≤f2=80, 則V≤380=415, 所以體積最大值為415 cm 3. 答案:415 cm 3 8.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1C1C⊥側面ABB1A1,AC=AA1=2AB,∠AA1C1 =60,AB⊥AA1,H為CC1的中點,D為BB1的中點.若AB=2,則三棱柱ABC-A1B1C1的體積為____________. 【解析】連接AC1,可知△ACC1為正三角形,又H為棱CC1的中點, 所以AH⊥CC1,從而AH⊥AA1,又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1, 平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,AH? 平面AA1C1C, 所以AH⊥平面ABB1A1,又A1D?平面ABB1A1, 所以AH⊥A1D?、? 因為AB=2.AC=AA1=2AB,所以AC=AA1=2,DB1=1,DB1B1A1=12=A1B1AA1, 又∠DB1A1=∠B1A1A=90, 所以△A1DB1∽△AB1A1, 所以∠B1AA1=∠DA1B1,又∠DA1B1+∠AA1D=90, 所以∠B1AA1+∠AA1D=90, 所以A1D⊥AB1?、? 由①②及AB1∩AH=A,可得A1D⊥平面AB1H. 取AA1的中點M,連接C1M,則C1M∥AH, 所以C1M⊥平面ABB1A1, 所以VC1-AB1A1=13S△AB1A1C1M=1323=63, 所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積為3VC1-AB1A1=6. 答案:6 三、解答題(每小題10分,共30分) 9.如圖,邊長為2的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=12AB=1,點M在線段EC上. (1)證明:平面BDM⊥平面ADEF. (2)判斷點M的位置,使得三棱錐B -CDM的體積為218. 【解析】(1)因為DC=BC=1,DC⊥BC, 所以BD=2. 因為AD=2,AB=2, 所以AD2+BD2=AB2, 所以∠ADB=90, 所以AD⊥BD, 因為平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD. BD?平面ABCD,所以BD⊥平面ADEF, 因為BD?平面BDM, 所以平面BDM⊥平面ADEF. (2)如圖,在平面DMC內,過M作MN⊥DC,垂足為點N, 又因為ED⊥AD,平面ADEF⊥平面ABCD, 平面ADEF∩平面ABCD=AD, 所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥CD, 所以MN∥ED, 因為ED⊥平面ABCD, 所以MN⊥平面ABCD. 因為VB-CDM=VM-CDB=13MNS△BDC=218, 所以131211MN=218,所以MN=23. 所以MNED=CMCE=232=13, 所以CM=13CE, 所以點M在線段CE的三等分點且靠近C處. 10.如圖,過四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木塊上底面內的一點P和下底面的對角線BD將木塊鋸開,得到截面BDFE. (1)請在木塊的上表面作出過P的鋸線EF,并說明理由. (2)若該四棱柱的底面為菱形,四邊形BB1D1D是矩形,試證明:平面BDFE⊥平面A1C1CA. 【解析】(1)在上底面內過點P作B1D1的平行線分別交A1D1,A1B1于F,E兩點,則EF即為所作的鋸線.理由如下: 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱BB1∥DD1,且BB1=DD1, 所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,B1D1∥BD. 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面BDFE∩平面ABCD=BD,平面BDFE∩平面A1B1C1D1=EF, 所以EF∥BD,從而EF∥B1D1. (2)由于四邊形BB1D1D是矩形,所以BD⊥B1B. 又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A. 又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形, 所以BD⊥AC. 因為AC∩A1A=A,所以BD⊥平面A1C1CA. 因為BD?平面BDFE, 所以平面BDFE⊥平面A1C1CA. 11.如圖,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD是邊長為2的菱形,PA=PD,且∠APD=90,∠DAB=60. (1)若線段PC上存在一點M,使得直線PA∥平面MBD,試確定M點的位置,并給出證明. (2)在第(1)問的條件下,求三棱錐C - DMB的體積. 【解析】(1)M為線段PC中點. 證明:取線段PC中點M,連接MD,MB,連接AC,BD相交于O點,連接OM, 因為ABCD為菱形,AC交BD于O點,所以O為AC中點,又M為PC中點, 所以OM∥PA, 又OM?平面MBD,PA?平面MBD, 所以PA∥平面MBD. (2)因為PA=PD,取AD的中點N,連接PN,所以PN⊥AD, 又平面PAD⊥平面ABCD,所以PN⊥平面ABCD, 因為∠APD=90,AD=2,所以PN=12AD=1, 又M為PC中點,所以M到平面ABCD的距離hM=12PN=12. 因為ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60, 所以S△BCD=122232=3, 所以VC-DMB=VM-BCD=13S△BCDhM=13312=36. (20分鐘　20分) 1.(10分)如圖所示,平行四邊形ABCD中,∠DAB=60,AB=2,AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置,使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證:AB⊥DE. (2)求三棱錐E-ABD的側面積和體積. 【解析】(1)在△ABD中,因為AB=2,AD=4,∠DAB=60, 所以BD=AB2+AD2-2ABADcos∠DAB=23, 所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD. 又平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,AB?平面ABD,所以AB⊥平面EBD. 又DE?平面EBD,所以AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD. 因為CD∥AB,所以CD⊥BD,從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中,因為DB=23,DE=DC=AB=2,所以S△EDB=12DBDE=23. 因為AB⊥平面EBD,BE?平面EBD,所以AB⊥BE. 因為BE=BC=AD=4,所以S△EAB=12ABBE=4. 因為DE⊥BD,平面EBD⊥平面ABD,平面EBD∩平面ABD=BD,所以DE⊥平面ABD,而AD?平面ABD,所以DE⊥AD,故S△EAD=12ADDE=4. 故三棱錐E-ABD的側面積S=S△EDB+S△EAB+S△EAD =8+23. 因為DE⊥平面ABD,且S△ABD=S△EBD =23,DE=2, 所以V三棱錐E-ABD=13S△ABDDE=13232=433. 2.(10分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,點D1為棱PD的中點,過D1作與平面ABCD平行的平面與棱PA,PB,PC相交于點A1,B1,C1, ∠BAD=60. (1)求證:B1為PB的中點. (2)已知棱錐的高為3,且AB=2,AC,BD的交點為O,連接B1O.求三棱錐B1-ABO外接球的體積. 【解析】(1)連接B1D1. 由題意知,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面PBD∩平面ABCD=BD, 平面PBD∩平面A1B1C1D1=B1D1,則BD∥B1D1, 即B1D1為△PBD的中位線,即B1為PB的中點. (2)由(1)可得,OB1=32,AO=3,BO=1,且OA⊥OB,OA⊥OB1,OB⊥OB1, 即三棱錐B1-ABO的外接球為以OA,OB,OB1為長、寬、高的長方體的外接球,則該長方體的體對角線長d=12+(3)2+322=52,即外接球半徑R=54. 則三棱錐B1-ABO外接球的體積V=43πR3=43π543=125π48.