《2020版高考數(shù)學一輪復習 課時規(guī)范練36 數(shù)學歸納法 理 北師大版.doc》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 課時規(guī)范練36 數(shù)學歸納法 理 北師大版.doc(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
課時規(guī)范練36 數(shù)學歸納法
基礎鞏固組
1.如果命題p(n)對n=k(k∈N+)成立,則它對n=k+2也成立.若p(n)對n=2也成立,則下列結論正確的是( )
A.p(n)對所有正整數(shù)n都成立
B.p(n)對所有正偶數(shù)n都成立
C.p(n)對所有正奇數(shù)n都成立
D.p(n)對所有自然數(shù)n都成立
2.用數(shù)學歸納法證明命題“當n是正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,在第二步時,正確的證法是 ( )
A.假設n=k(k∈N+),證明n=k+1時命題成立
B.假設n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1時命題成立
C.假設n=2k+1(k∈N+),證明n=k+1時命題成立
D.假設n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2時命題成立
3.(2018安徽蚌埠期末,5)用數(shù)學歸納法證明不等式“1n+1+1n+2+…+12n>1324(n>2)”的過程中,歸納遞推由n=k到n=k+1時,不等式的左邊( )
A.增加了一項12(k+1)
B.增加了兩項12k+1+12(k+1)
C.增加了兩項12k+1+12(k+1),又減少了一項1k+1
D.增加了一項12(k+1),又減少了一項1k+1
4.(2018遼寧遼陽期末,6)證明等式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6(n∈N+)時,某學生的證明過程如下:
(1)當n=1時,12=1236,等式成立;
(2)假設n=k(k∈N+)時,等式成立,
即12+22+32+…+k2=k(k+1)(2k+1)6,則當n=k+1時,
12+22+32+…+k2+(k+1)2
=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6
=(k+1)(2k2+7k+6)6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]6,
所以當n=k+1時,等式也成立,故原等式成立.
那么上述證明( )
A.全過程都正確
B.當n=1時驗證不正確
C.歸納假設不正確
D.從n=k到n=k+1的推理不正確
5.(2018遼寧撫順期中,14)用數(shù)學歸納法證明:“兩兩相交且不共點的n條直線把平面分為f(n)部分,則f(n)=1+n(n+1)2.”證明第二步歸納遞推時,用到f(k+1)=f(k)+ .
6.試證:當n∈N+時,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.
7.(2018山東師范大學附屬中學期中,18)證明:對任意的n∈N+,不等式325476…2n+12n>n+1成立.
8.(2018廣東中山一中三模,21)設數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=an2-2nan+2(n∈N+).
(1)求a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式(不需證明);
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,用數(shù)學歸納法證明:當n≥6時,有Sn<2n成立.
綜合提升組
9.設f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足:“當f(k)≥k2成立時,總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.則下列命題總成立的是( )
A.若f(3)≥9成立,則當k≥1時,均有f(k)≥k2成立
B.若f(5)≥25成立,則當k≤5時,均有f(k)≤k2成立
C.若f(7)<49成立,則當k≥8時,均有f(k)
4時,f(n)= (用n表示).
11.(2018遼寧六校協(xié)作體期中,17)是否存在常數(shù)a,b使得等式12+22+…+n2=n(2n+1)(an+b)對一切正整數(shù)n都成立?若存在,求出a,b值,并用數(shù)學歸納法證明你的結論;若不存在,請說明理由.
創(chuàng)新應用組
12.(2018河南洛陽模擬,18)將正整數(shù)作如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),….分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下,
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15,
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,
(1)求S7的值;
(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,試猜測S1+S3+…+S2n-1的結果,并用數(shù)學歸納法證明.
13.已知函數(shù)f0(x)=sinxx(x>0),設fn(x)為fn-1(x)的導數(shù),n∈N+.
(1)求2f1π2+π2f2π2的值;
(2)證明:對任意的n∈N+,等式nfn-1π4+π4fnπ4=22都成立.
參考答案
課時規(guī)范練36 數(shù)學歸納法
1.B n=k時成立,當n=2時,n=k+2成立,n為2,4,6,…,故n為所有正偶數(shù).
2.D 相鄰兩個正奇數(shù)相差2,故D選項正確.
3.C 當n=k時,左邊=1k+1+1k+2+…+12k, ①
當n=k+1時,左邊=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2,②
所以增加了兩項12k+1+12(k+1),又減少了一項1k+1,故答案為C.
4.A 考查所給的證明過程:當n=1時驗證是正確的,歸納假設是正確的,從n=k到n=k+1的推理也是正確的,即證明過程中不存在任何的問題.故選A.
5.k+1 當n=k(k≥2)時,有f(k)=1+k(k+1)2,當n=k+1時,f(k+1)=1+(k+1)(k+2)2,
∴從k到k+1左端需增加的代數(shù)式1+(k+1)(k+2)2-1-k(k+1)2=k+12(k+2-k)=k+1,
∴在證明第二步歸納推理的過程中,用到f(k+1)=f(k)+(k+1).
6.證明 (1)當n=1時,f(1)=64,命題顯然成立.
(2)假設當n=k(k∈N+,k≥1)時,f(k)=32k+2-8k-9能被64整除,則當n=k+1時,f(k+1)=32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1),
即f(k+1)=9f(k)+64(k+1),因此當n=k+1時命題也成立.
根據(jù)(1)(2)可知,對于任意n∈N+,命題都成立.
7.證明 ①當n=1時,左邊=,右邊=2,因為>2,所以不等式成立.
②假設當n=k時不等式成立,即325476…2k+12k>k+1成立.則當n=k+1時,
左邊325476…2k+12k2k+32k+2
>k+12k+32k+2=(2k+3)24(k+1)
=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)
=(k+1)+1+14(k+1)
>(k+1)+1,
所以當n=k+1時,不等式也成立.
由①②可得不等式恒成立.
8.解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.
(2)Sn=n(3+2n+1)2=n2+2n,下證:n≥6(n∈N+)時都有2n>n2+2n.
當n=6時,26>62+26,即64>48成立;
假設n=k(k≥6,k∈N+)時,2k>k2+2k成立,
那么當n=k+1時,2k+1=22k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1時,不等式成立.
故對于所有的n≥6(n∈N+),都有2n>n2+2n成立.
9.D 對A,當k=1或2時,不一定有f(k)≥k2成立;
對B,只能得出:對于任意的k≥5,均有f(k)≥k2成立,不能得出:對任意的k≤5,均有f(k)≤k2成立;
對C,若f(7)<49成立不能推出任何結論;
對D,∵f(4)=25≥16,∴對于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故選D.
10.5 (n+1)(n-2) f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,
f(n)=f(3)+3+4+…+(n-1)
=2+3+4+…+(n-1)
=12(n+1)(n-2).
11.解 分別令n=1,2,可得1=3(a+b),5=10(2a+b),解得a=16,b=16.
故猜想等式12+22+…+n2=n(2n+1)(n+1)6對一切正整數(shù)n都成立.
下面用數(shù)學歸納法證明:
①當n=1時,由上面的探求可知等式成立.
②假設n=k(k∈N+,k≥1)時猜想成立,即12+22+…+k2=k(2k+1)(k+1)6.
當n=k+1時,
12+22+…+k2+(k+1)2=k(2k+1)(k+1)6+(k+1)2
=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6
=(k+1)(2k2+7k+6)6
=(k+1)(2k+3)(k+2)6.
所以當n=k+1時,等式也成立.
由①②知猜想成立,即存在a=16,b=16使命題成立.
12.解 (1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.
(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;
猜測S1+S3+S5+…+S2n-1=n4.
證明如下:記Mn=S1+S3+S5+…+S2n-1,
①當n=1時,猜想成立.
②設當n=k時,命題成立,即Mk=S1+S3+S5+…+S2k-1=k4.
下面證明當n=k+1時,猜想也成立.
事實上,由題設可知
Sn是由1+2+3+…+(n-1)+1=n(n-1)2+1開始的n個連續(xù)自然數(shù)的和.
所以Sn=n(n-1)2+1+n(n-1)2+2+…+n(n-1)2+n=n(n2+1)2,
所以S2k+1=(2k+1)[(2k+1)2+1]2=(2k+1)(2k2+2k+1)=4k3+6k2+4k+1,
從而Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,
所以猜想在n=k+1時也成立.
綜合(1)(2)可知猜想對任何n∈N+都成立.
13.(1)解 由已知,得f1(x)=f0(x)=sinxx=cosxx-sinxx2,于是
f2(x)=f1(x)=cosxx-sinxx2
=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3,
所以f1π2=-4π2,f2π2=-2π+16π3,
故2f1π2+π2f2π2=-1.
(2)證明 由已知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對x求導,得f0(x)+xf0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sinx+,類似可得,2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+π),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sinx+3π2,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2π).
下面用數(shù)學歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+nπ2對所有的x∈N+都成立.
①當n=1時,由上可知等式成立.
②假設當n=k時,等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sinx+kπ2.因為[kfk-1(x)+xfk(x)]=kfk-1(x)+fk(x)+xfk(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),
sinx+kπ2=cosx+kπ2x+kπ2=sinx+(k+1)π2,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sinx+(k+1)π2.
因此當n=k+1時,等式也成立.
綜合①②可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sinx+nπ2對所有的n∈N+都成立.
令x=π4,可得nfn-1π4+π4fnπ4=sin π4+nπ2(n∈N+),
所以nfn-1π4+π4fnπ4=22(n∈N+).
鏈接地址:http://zhongcaozhi.com.cn/p-5445656.html