2020高考物理一輪復(fù)習(xí) 第九章 第2講 磁場對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用學(xué)案（含解析）.doc

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第2講　磁場對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷的作用 主干梳理 對(duì)點(diǎn)激活 知識(shí)點(diǎn)　　洛倫茲力、洛倫茲力的方向?、? 洛倫茲力公式　Ⅱ1.定義：運(yùn)動(dòng)電荷在磁場中所受的力。 2．方向 (1)判定方法：應(yīng)用左手定則，注意四指應(yīng)指向正電荷運(yùn)動(dòng)方向或負(fù)電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。 (2)方向特點(diǎn)：F⊥B，F(xiàn)⊥v。即F垂直于B和v所決定的平面。(注意B和v可以有任意夾角)。 由于F始終垂直于v的方向，故洛倫茲力永不做功。 3．洛倫茲力的大?。篎＝qvBsinθ 其中θ為電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向之間的夾角。 (1)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向垂直時(shí)，F(xiàn)＝qvB。 (2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向平行時(shí)，F(xiàn)＝0。 (3)當(dāng)電荷在磁場中靜止時(shí)，F(xiàn)＝0。 知識(shí)點(diǎn)　　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)?、? 1．若v∥B，帶電粒子以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。 2．若v⊥B，帶電粒子在垂直于磁感線的平面內(nèi)，以入射速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 3．基本公式 (1)向心力公式：qvB＝m。 (2)軌道半徑公式：r＝。 (3)周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。 (4)T、f和ω的特點(diǎn) T、f和ω的大小與軌道半徑r和運(yùn)行速率v無關(guān)，只與磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和粒子的比荷有關(guān)。比荷相同的帶電粒子，在同樣的勻強(qiáng)磁場中T、f、ω相同。 一 思維辨析 1．帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定會(huì)受到磁場力的作用。(　　) 2．洛倫茲力的方向垂直于B和v決定的平面，洛倫茲力對(duì)帶電粒子永遠(yuǎn)不做功。(　　) 3．根據(jù)公式T＝，說明帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)周期T與v成反比。(　　) 4．用左手定則判斷洛倫茲力方向時(shí)，四指指向電荷的運(yùn)動(dòng)方向。(　　) 5．帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道半徑與粒子的比荷成正比。(　　) 6．當(dāng)帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，若v與B夾角為銳角，帶電粒子的軌跡為螺旋線。(　　) 答案　1.　2.√　3.　4.　5.　6.√ 二 對(duì)點(diǎn)激活 1．(人教版選修3－1P98T1改編)下列各圖中，運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向和電荷的受力方向之間的關(guān)系正確的是(　　) 答案　B 解析　由左手定則知A中力F的方向應(yīng)豎直向上，B中力F的方向應(yīng)豎直向下，C、D中速度v與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行，不受洛倫茲力，故選B。 2. (人教版選修3－1P102T3改編)如圖所示，一束質(zhì)量、速度和電荷量不全相等的離子，經(jīng)過由正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場組成的速度選擇器后，進(jìn)入另一個(gè)勻強(qiáng)磁場中并分裂為A、B兩束，下列說法正確的是(　　) A．組成A束和B束的離子都帶負(fù)電 B．組成A束和B束的離子質(zhì)量一定不同 C．A束離子的比荷大于B束離子的比荷 D．速度選擇器中的磁場方向垂直于紙面向外 答案　C 解析　由左手定則結(jié)合帶電粒子A、B在磁場中偏轉(zhuǎn)的軌跡知A、B均帶正電，故A錯(cuò)誤。由r＝知A的比荷大于B的比荷，無法單獨(dú)判斷離子質(zhì)量關(guān)系，故B錯(cuò)誤，C正確。速度選擇器中離子受電場力向右，所以洛倫茲力應(yīng)向左，結(jié)合左手定則可判斷磁場方向應(yīng)垂直紙面向里，故D錯(cuò)誤。 考點(diǎn)細(xì)研 悟法培優(yōu) 考點(diǎn)1　洛倫茲力的特點(diǎn)及應(yīng)用 1．洛倫茲力的特點(diǎn) (1)洛倫茲力的方向總是垂直于運(yùn)動(dòng)電荷的速度方向和磁場方向共同確定的平面，所以洛倫茲力只改變速度的方向，不改變速度的大小，即洛倫茲力永不做功。 (2)當(dāng)電荷運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化時(shí)，洛倫茲力的方向也隨之變化。 (3)用左手定則判斷負(fù)電荷在磁場中運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力時(shí)，要注意將四指指向電荷運(yùn)動(dòng)的反方向。 2．洛倫茲力與電場力的比較 例1　如圖所示，在豎直平面內(nèi)放一個(gè)光滑絕緣的半圓形軌道，水平方向的勻強(qiáng)磁場與半圓形軌道所在的平面垂直。一個(gè)帶負(fù)電荷的小滑塊由靜止開始從半圓形軌道的最高點(diǎn)M滑下到最右端的過程中，下列說法中正確的是(　　) A．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度比磁場不存在時(shí)大 B．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)的加速度比磁場不存在時(shí)小 C．滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力比磁場不存在時(shí)小 D．滑塊從M點(diǎn)到最低點(diǎn)所用時(shí)間與磁場不存在時(shí)相等 解題探究　(1)帶負(fù)電的滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小受磁場有無的影響嗎？ 提示：因?yàn)槁鍌惼澚Σ蛔龉?，所以有無磁場對(duì)滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小無影響。 (2)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)滑塊所受洛倫茲力方向如何？ 提示：豎直向下。 嘗試解答　選D。 由于洛倫茲力不做功，故與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度不變，A錯(cuò)誤；由圓周運(yùn)動(dòng)中a＝，與磁場不存在時(shí)相比，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的加速度不變，B錯(cuò)誤；由左手定則，滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)受到的洛倫茲力向下，而滑塊所受的向心力不變，故滑塊經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力比磁場不存在時(shí)大，C錯(cuò)誤；由于洛倫茲力方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，在任意一點(diǎn)，滑塊經(jīng)過時(shí)的速度與磁場不存在時(shí)相比均不變，則運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間相等，D正確。 總結(jié)升華 洛倫茲力與安培力的聯(lián)系及區(qū)別 (1)安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)，二者是相同性質(zhì)的力，都是磁場力。 (2)安培力可以做功，而洛倫茲力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功。 [變式1]　 (多選)如圖所示，兩個(gè)傾角分別為30和60的光滑絕緣斜面固定于水平地面上，并處于方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，兩個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小滑塊甲和乙分別從兩個(gè)斜面頂端由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，兩小滑塊都將飛離斜面，在此過程中(　　) A．甲滑塊飛離斜面瞬間的速度比乙滑塊飛離斜面瞬間的速度大 B．甲滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間比乙滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間短 C．兩滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的位移大小相同 D．兩滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的過程中，重力的平均功率相等 答案　AD 解析　小滑塊飛離斜面時(shí)，洛倫茲力與重力垂直斜面的分力平衡，故：mgcosθ＝qvmB，解得vm＝，所以斜面傾角越小，飛離斜面瞬間的速度越大，故甲滑塊飛離時(shí)速度較大，故A正確；滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度恒定不變，由受力分析和牛頓第二定律可得加速度a＝gsinθ，所以甲的加速度小于乙的加速度，因?yàn)榧罪w離的最大速度大于乙的最大速度，由vm＝at得，甲在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間大于乙在斜面上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，故B錯(cuò)誤；由以上分析和x＝可知，甲在斜面上的位移大于乙在斜面上的位移，故C錯(cuò)誤；由平均功率的公式得P＝Fsinθ＝mgsinθ＝，因sin30＝cos60，sin60＝cos30，故重力的平均功率一定相等，故D正確。 考點(diǎn)2　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng) 1．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的解題思路 (1)圓心的確定 ①基本思路：與速度方向垂直的直線和軌跡圓中弦的中垂線一定過圓心。 ②兩種常見情形 情形一：已知入射方向和出射方向時(shí)，可通過入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖a所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。 情形二：已知入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以先通過入射點(diǎn)作入射方向的垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心(如圖b所示，圖中P為入射點(diǎn)，M為出射點(diǎn))。 (2)半徑的確定和計(jì)算 利用幾何知識(shí)求出該圓的可能半徑(或圓心角)，并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)： ①粒子速度的偏向角φ等于圓心角α，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角θ)的2倍(如圖所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。 ②相對(duì)的弦切角θ相等，與相鄰的弦切角θ′互補(bǔ)，即θ＋θ′＝180。 (3)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定 粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間由下式表示： t＝T。 2．帶電粒子在不同邊界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 有界勻強(qiáng)磁場是指只在局部空間存在著勻強(qiáng)磁場，帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁場，在磁場區(qū)域內(nèi)做一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也就是通過一段圓弧軌跡后離開磁場區(qū)域。帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓弧軌跡取決于粒子進(jìn)入磁場的速度大小、方向和磁場區(qū)域邊界，常見磁場區(qū)域邊界可分為如下幾種情形： 情形一：直線邊界 直線邊界磁場又分單邊直線邊界和雙邊平行直線邊界。單邊直線邊界如圖甲、乙、丙所示，粒子進(jìn)出磁場具有對(duì)稱性；雙邊平行直線邊界如圖丁、戊所示，粒子進(jìn)出磁場存在臨界條件。 解決這類問題的“三部曲”：畫軌跡、找圓心、定半徑。 如果粒子從同一直線邊界射入和射出，那么粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度與邊界的夾角和射出磁場時(shí)速度和邊界的夾角相等。 情形二：矩形邊界 矩形邊界磁場是指分布在矩形范圍內(nèi)的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧。垂直于某邊射入，從某一頂點(diǎn)射出是常見的臨界情況。 解決該類問題的關(guān)鍵是把握臨界情況，如圖所示，常見的有如下幾種情況：(設(shè)粒子從ad邊中點(diǎn)e垂直射入) (1)兩個(gè)臨界半徑 ①從d點(diǎn)射出：r1＝。 ②從c點(diǎn)射出：r＝2＋ab2。 (2)三種情況 ①r≤r1，粒子從ed段射出。 ②r1r2，粒子從cf段射出(不會(huì)到f點(diǎn))。 情形三：圓形邊界 圓形邊界磁場是指分布在圓形區(qū)域內(nèi)的有界磁場，帶電粒子在圓形邊界的勻強(qiáng)磁場中的軌跡也是一段不完整的圓弧。由于此類問題涉及兩個(gè)圓：粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓與磁場區(qū)域的圓，能很好地考查學(xué)生的綜合分析能力，所以是近年來高考的熱點(diǎn)。 帶電粒子在圓形磁場中運(yùn)動(dòng)的四個(gè)結(jié)論： (1)徑向進(jìn)出：當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)方向與磁場方向垂直時(shí)，沿圓形磁場半徑方向射入的帶電粒子，必沿徑向射出圓形磁場區(qū)域，即粒子出射速度的反向延長線必過磁場圓的圓心，如圖1所示。 (2)等角進(jìn)出：入射速度方向與過入射點(diǎn)的磁場圓半徑的夾角等于出射速度方向與過出射點(diǎn)的磁場圓半徑的夾角，如圖2所示。徑向進(jìn)出是等角進(jìn)出的一種特殊情況(θ＝0)。 (3)點(diǎn)入平出：若帶電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域圓周上一點(diǎn)沿垂直于磁場方向進(jìn)入磁場，當(dāng)帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與圓形磁場區(qū)域的半徑相同時(shí)，所有帶電粒子都以平行于磁場區(qū)域圓周上入射點(diǎn)處的切線方向射出磁場，如圖3所示。 (4)平入點(diǎn)出：若帶電粒子以相互平行的速度射入磁場，且?guī)щ娏Ｗ釉诖艌鲋凶鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑和圓形磁場區(qū)域半徑相同，則這些帶電粒子將會(huì)從磁場區(qū)域圓周上同一點(diǎn)射出，且磁場區(qū)域圓周上該點(diǎn)的切線與帶電粒子射入磁場時(shí)的速度方向平行，如圖4所示。 情形四：四分之一平面邊界 四分之一平面邊界磁場是指分布在平面直角坐標(biāo)系中某一象限范圍的有界磁場，帶電粒子的軌跡只是一部分圓弧，粒子軌跡與坐標(biāo)軸相切或垂直是常見的臨界情況。 解決該類問題的關(guān)鍵是明確粒子射入(射出)磁場的位置坐標(biāo)，及速度方向與坐標(biāo)軸的夾角關(guān)系，然后分析粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡、圓心，尋找?guī)缀侮P(guān)系求解問題。 情形五：三角形邊界 三角形邊界磁場是指分布在三角形區(qū)域內(nèi)的有界磁場，粒子的軌跡也是一段圓弧，由于三角形可以有等邊三角形、等腰三角形、直角三角形等不同類型，所以會(huì)有不同的臨界情景。 解答該類問題主要把握以下兩點(diǎn)： (1)射入磁場的方式 ①從某頂點(diǎn)射入。 ②從某條邊上某點(diǎn)(如中點(diǎn))垂直(或成某一角度)射入。 (2)射出點(diǎn)的判斷 其臨界條件是判斷軌跡可能與哪條邊相切，進(jìn)而判定出射點(diǎn)的可能位置。 例2　(2018昆明質(zhì)檢)(多選)如圖所示，MN兩側(cè)均有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，MN左側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B1，右側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2，有一質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子，自P點(diǎn)開始以速度v0向左垂直MN射入磁場中，當(dāng)離子第二次穿過磁場邊界時(shí)，與邊界的交點(diǎn)Q位于P點(diǎn)正上方，PQ之間的距離為。不計(jì)離子重力，下列說法正確的是(　　) A．B2＝B1 B．B2＝B1 C．離子從開始運(yùn)動(dòng)至第一次到達(dá)Q點(diǎn)所用時(shí)間為 D．離子從開始運(yùn)動(dòng)至第一次到達(dá)Q點(diǎn)所用時(shí)間為 解題探究　(1)PQ之間距離與帶電粒子在兩磁場中運(yùn)動(dòng)的半徑之間有何關(guān)系？ 提示：2r2－2r1＝。 (2)離子在兩磁場中各運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間？ 提示：分別運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期。 嘗試解答　選AC。 畫出離子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示。由qvB＝m，解得r＝，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1的區(qū)域，r1＝，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2的區(qū)域，r2＝，根據(jù)題述，2r2－2r1＝，聯(lián)立解得B2＝B1，A正確，B錯(cuò)誤。由T＝可知，離子在左側(cè)勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝，離子在右側(cè)勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t2＝＝，離子從開始運(yùn)動(dòng)至第一次到達(dá)Q點(diǎn)所用時(shí)間為t＝t1＋t2＝＋＝，C正確，D錯(cuò)誤。 總結(jié)升華 1．帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法 2．作帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)需注意的問題 (1)四個(gè)點(diǎn)：分別是入射點(diǎn)、出射點(diǎn)、軌跡圓心和入射速度直線與出射速度直線的交點(diǎn)。 (2)六條線：圓弧兩端點(diǎn)所在的軌跡半徑，入射速度所在直線和出射速度所在直線，入射點(diǎn)與出射點(diǎn)的連線，圓心與兩條速度所在直線交點(diǎn)的連線。前面四條線構(gòu)成一個(gè)四邊形，后面兩條線為對(duì)角線。 (3)三個(gè)角：速度偏轉(zhuǎn)角、圓心角、弦切角，其中偏轉(zhuǎn)角等于圓心角，也等于弦切角的兩倍。 [變式2]　(2016四川高考改編)如圖所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。一帶電粒子從a點(diǎn)沿ad方向射入磁場，當(dāng)速度大小為v1時(shí)，粒子從b點(diǎn)離開磁場；當(dāng)速度大小為v2時(shí)，粒子從c點(diǎn)離開磁場。不計(jì)粒子重力，則v1與v2的大小之比為(　　) A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．∶2 答案　C 解析　粒子以速度v1進(jìn)入磁場從b點(diǎn)射出時(shí)，由幾何關(guān)系得R1sin60＝，得R1＝l，同理粒子以速度v2進(jìn)入磁場從c點(diǎn)射出時(shí)，由幾何關(guān)系得R2sin30＝lcos30，得R2＝l，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，由Bqv＝m得半徑R＝，兩次入射速度之比＝＝，C正確，A、B、D錯(cuò)誤。 考點(diǎn)3　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的多解問題 1.帶電粒子電性不確定形成多解 受洛倫茲力作用的帶電粒子，可能帶正電，也可能帶負(fù)電，在相同的初速度條件下，正、負(fù)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡不同，形成多解。 如圖甲，帶電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如帶正電，其軌跡為a，如帶負(fù)電，其軌跡為b。 2．磁場方向不確定形成多解 有些題目只告訴了磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，而未具體指出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，此時(shí)由于磁感應(yīng)強(qiáng)度方向不確定形成多解。 如圖乙，帶正電粒子以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，如B垂直紙面向里，其軌跡為a，如B垂直紙面向外，其軌跡為b。 3．速度不確定形成多解 有些題目只指明了帶電粒子的電性，但未具體指出速度的大小或方向，此時(shí)必須要考慮由于速度的不確定而形成的多解。常有兩種情形：(1)入射速度方向一定，大小不同；(2)入射速率一定，方向不同。 如圖丙所示，帶電粒子在洛倫茲力作用下飛越有界磁場時(shí)，由于粒子速度大小不確定，因此，它可能穿過下邊界，也可能轉(zhuǎn)過180反向飛出，于是形成了多解。 4．運(yùn)動(dòng)的周期性形成多解 帶電粒子在電場和磁場的組合場空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)往往具有往復(fù)性，從而形成多解。如圖丁所示。 　　　　 例3　 (2018湖南湘東五校聯(lián)考)(多選)如圖所示，在xOy平面內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，第一、二、四象限內(nèi)的磁場方向垂直紙面向里，第三象限內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外，P(－L,0)、Q(0，－L)為坐標(biāo)軸上的兩個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)有一電子從P點(diǎn)沿PQ方向射出，不計(jì)電子的重力，下列說法正確的是(　　) A．若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好經(jīng)原點(diǎn)O第一次射出磁場分界線，則電子運(yùn)動(dòng)的路程一定為 B．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，則電子運(yùn)動(dòng)的路程一定為πL C．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，則電子運(yùn)動(dòng)的路程一定為2πL D．若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，則電子運(yùn)動(dòng)的路程可能為πL，也可能為2πL 解題探究　(1)B、C、D選項(xiàng)中“電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)”，經(jīng)原點(diǎn)O一定是第一次射出磁場分界線就過原點(diǎn)O嗎？ 提示：不一定，可能存在多解。 (2)軌跡半徑如何確定？ 提示：由幾何關(guān)系知可能有2Rcos45＝L或2Rcos45＝L等。 嘗試解答　選AD。 電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其運(yùn)動(dòng)半徑為R，若電子從P點(diǎn)出發(fā)恰好經(jīng)原點(diǎn)O第一次射出磁場分界線，則其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，則有2Rcos45＝L，半徑R＝L，從P點(diǎn)到O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為四分之一圓周，所以運(yùn)動(dòng)的路程s＝＝，A正確。電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)，若電子恰好經(jīng)原點(diǎn)O第一次射出磁場分界線，則軌跡如圖甲所示，運(yùn)動(dòng)路程為一個(gè)圓周，即s1＝2πR＝2πL；若電子從P點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過原點(diǎn)O到達(dá)Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，根據(jù)幾何關(guān)系有2R′cos45＝，圓周運(yùn)動(dòng)半徑R′＝，運(yùn)動(dòng)的路程為s2＝22＝22＝πL，B、C錯(cuò)誤，D正確。 總結(jié)升華 求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)多解問題的技巧 (1)分析題目特點(diǎn)，確定題目多解性形成原因。 (2)作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖(全面考慮多種可能性)。 (3)若為周期性的多解問題，尋找通項(xiàng)式，若是出現(xiàn)幾種周期性解的可能性，注意每種解出現(xiàn)的條件。 [變式3]　如圖甲所示，M、N為豎直放置且彼此平行的兩塊平板，板間距離為d，兩板中央各有一個(gè)小孔O、O′且正對(duì)，在兩板間有垂直于紙面方向的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化如圖乙所示(垂直于紙面向里的磁場方向?yàn)檎较?。有一群正離子在t＝0時(shí)垂直于M板從小孔O射入磁場，已知正離子質(zhì)量為m，電荷量為q，正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期都為T0，不考慮由于磁場變化而產(chǎn)生的電場的影響，不計(jì)離子所受重力。求： (1)磁感應(yīng)強(qiáng)度B0的大?。? (2)若正離子從O′孔垂直于N板射出磁場所用的時(shí)間最短，請畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡并求出該最短時(shí)間； (3)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子射入磁場時(shí)的速度v0的可能值。 答案　(1)　(2)軌跡圖見解析　T0 (3)(n＝1,2,3，…) 解析　(1)設(shè)離子軌道半徑為R，洛倫茲力提供向心力：B0qv0＝ 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期T0＝ 由以上兩式得：B0＝。 (2)軌跡如右圖， 最短時(shí)間tmin＝T0。 (3)要使正離子從O′孔垂直于N板射出磁場，正離子在兩板之間只運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期即T0時(shí)，R＝。 當(dāng)正離子在兩板之間運(yùn)動(dòng)n個(gè)周期，即nT0時(shí)， R＝(n＝1,2,3，…) B0qv0＝ 聯(lián)立得正離子的速度的可能值為v0＝＝(n＝1,2,3，…)。 考點(diǎn)4　帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界和極值問題 1.解題思路 以題目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等詞語為突破口，運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)粒子的速度方向找出偏轉(zhuǎn)方向，同時(shí)由磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡、定好圓心，建立幾何關(guān)系。 2．尋找臨界點(diǎn)常用的結(jié)論 (1)剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。 (2)當(dāng)速度v一定時(shí)，弧長越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長。 (3)當(dāng)速度v變化時(shí)，圓心角越大的，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長。 例4　(2018武昌調(diào)研)(多選)如圖所示，在一個(gè)等腰直角三角形區(qū)域ABC內(nèi)，存在方向垂直于紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(邊界上有磁場)，AC＝BC＝l，∠C＝90。質(zhì)量為m、電荷量為＋q的大量相同的粒子以不同速率從AB邊上距A點(diǎn)為l的D點(diǎn)既垂直于邊界AB又垂直于磁場方向射入勻強(qiáng)磁場，不計(jì)粒子間的相互作用及粒子重力，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．速率在(3－2)的粒子都會(huì)從BC邊離開磁場 解題探究　(1)從AC邊離開磁場的臨界點(diǎn)是什么？ 提示：與AC相切，從C點(diǎn)離開，兩個(gè)臨界點(diǎn)。 (2)從AB邊離開磁場，粒子會(huì)運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周，運(yùn)動(dòng)的最大位移如何確定？ 提示：x＝2r，即r取最大時(shí)x最大。 嘗試解答　選AC。 作出帶電粒子從AC邊離開的軌跡，如圖所示，軌跡DEF與AC邊相切，切點(diǎn)為E，DC為剛好從C點(diǎn)離開磁場區(qū)域的帶電粒子的軌跡。當(dāng)帶電粒子從C點(diǎn)離開時(shí)，粒子的軌跡半徑為r1＝l，又由qv1B＝m得v1＝；當(dāng)粒子軌跡剛好與AC邊相切時(shí)，由幾何關(guān)系有l(wèi)＝r2＋r2，則r2＝(－1)l，又由qv2B＝m得v2＝，所以帶電粒子的速率滿足時(shí)，帶電粒子都會(huì)從BC邊離開磁場，D錯(cuò)誤。 總結(jié)升華 1．利用縮放圓法探索臨界狀態(tài) 當(dāng)帶電粒子以任一速率沿特定方向射入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們的速率v0越大，在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑也越大，它們運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心在垂直速度方向的直線PP′上。此時(shí)可以用“縮放圓法”分析——以入射點(diǎn)為定點(diǎn)，圓心位于直線PP′上，將半徑縮放作粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而探索出臨界條件，問題便迎刃而解。 2．帶電粒子在矩形有界勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題 由于矩形磁場有四個(gè)邊界，所以帶電粒子在此類磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)往往會(huì)存在臨界問題——帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與某一邊界相切，具體情況如下： (1)粒子射入的初速度方向和矩形磁場某邊界垂直，如圖甲所示。 ①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場中做半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界射出磁場區(qū)域； ②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從側(cè)面邊界飛出磁場； ③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從對(duì)面邊界飛出磁場。 (2)粒子射入的初速度方向和矩形磁場某邊界成一夾角，如圖乙所示。 ①當(dāng)粒子速度較小時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從原邊界飛出磁場； ②當(dāng)粒子速度在某一范圍內(nèi)時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從上側(cè)面邊界飛出磁場； ③當(dāng)粒子速度較大時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從右側(cè)面邊界飛出磁場； ④當(dāng)粒子速度更大時(shí)，粒子將在磁場中做部分圓周運(yùn)動(dòng)后從下側(cè)面邊界飛出磁場。 這類在矩形磁場中求解時(shí)間范圍、速度范圍等的問題是熱點(diǎn)。綜合以上兩種情況，尋找“相切或相交”的臨界點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵；另外在磁場邊界上還有粒子不能達(dá)到的區(qū)域即“盲區(qū)”，也要引起大家注意。 [變式4]　如圖所示，正方形區(qū)域abcd內(nèi)(含邊界)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，ab＝l，Oa＝0.4l，大量帶正電的粒子從O點(diǎn)沿與ab邊成37的方向以不同的初速度v0射入磁場，不計(jì)粒子重力和粒子間的相互作用，已知帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，sin37＝0.6，cos37＝0.8。 (1)求帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間； (2)若帶電粒子從ad邊離開磁場，求v0的取值范圍。 答案　(1)　(2)l>R。 因朝不同方向發(fā)射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P1就是α粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為確定P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作圓弧交cd于Q點(diǎn)，過Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1。即NP1＝。 再考慮N的右側(cè)。任何α粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓弧，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。由圖中幾何關(guān)系得NP2＝， 所求長度為P1P2＝NP1＋NP2， 代入數(shù)值得P1P2＝20 cm。 [答案]　20 cm 名師點(diǎn)睛　(1)解決帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維，尋找臨界點(diǎn)，確定臨界狀態(tài)，根據(jù)粒子的速度方向，找出半徑方向，同時(shí)由磁場邊界和題設(shè)條件畫好軌跡，定好圓心，建立幾何關(guān)系。粒子射出或不射出磁場的臨界狀態(tài)是粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場邊界相切。 (2)要重視分析時(shí)的尺規(guī)作圖，規(guī)范而準(zhǔn)確的作圖可突出幾何關(guān)系，使抽象的物理問題更形象、直觀。 【針對(duì)訓(xùn)練】 1．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場方向垂直于紙面向外。許多質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子以相同的速率v沿紙面內(nèi)由x軸負(fù)方向與y軸正方向之間各個(gè)方向從原點(diǎn)O射入磁場區(qū)域。不計(jì)重力及粒子間的相互作用。下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R＝，正確的圖是(　　) 答案　D 解析　如圖，從O點(diǎn)水平向左沿x軸負(fù)方向射出的粒子，軌跡為圓，和x軸相切于O點(diǎn)，在x軸上方，半徑為R；沿y軸正方向射出的粒子軌跡為半圓，在y軸右側(cè)，和x軸交點(diǎn)距O點(diǎn)為2R，其余方向射入的帶電粒子，軌跡圓旋轉(zhuǎn)，最遠(yuǎn)點(diǎn)均在以O(shè)為圓心、半徑為2R的圓周上，故D正確。 2. (多選)如圖所示，寬d＝4 cm的有界勻強(qiáng)磁場，縱向范圍足夠大，磁場方向垂直紙面向里?，F(xiàn)有一群正粒子從O點(diǎn)以相同的速率沿紙面不同方向進(jìn)入磁場，若粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝10 cm，則(　　) A．右邊界：－8 cm8 cm有粒子射出 D．左邊界：00)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場，速度與OM成30角。已知該粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力。粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由qvB＝m得R＝，分析圖中角度關(guān)系可知，PO′半徑與O′Q半徑在同一條直線上。則PQ＝2R，所以O(shè)Q＝4R＝，D正確。 4．(2017全國卷Ⅲ)如圖，空間存在方向垂直于紙面(xOy平面)向里的磁場。在x≥0區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B0；x＜0區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為λB0(常數(shù)λ＞1)。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的帶電粒子以速度v0從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向射入磁場，此時(shí)開始計(jì)時(shí)，當(dāng)粒子的速度方向再次沿x軸正向時(shí)，求：(不計(jì)重力) (1)粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間； (2)粒子與O點(diǎn)間的距離。 答案　(1)　(2) 解析　(1)在勻強(qiáng)磁場中，帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在x≥0區(qū)域，圓周半徑為R1；在x<0區(qū)域，圓周半徑為R2，由洛倫茲力公式及牛頓第二定律得 qB0v0＝m① qλB0v0＝m② 粒子速度方向轉(zhuǎn)過180時(shí)，所需時(shí)間t1為 t1＝③ 粒子再轉(zhuǎn)過180時(shí)，所需時(shí)間t2為 t2＝④ 聯(lián)立①②③④式得，所求時(shí)間為 t0＝t1＋t2＝。⑤ (2)由幾何關(guān)系及①②式得，所求距離為 d0＝2(R1－R2)＝。 5．(2018江蘇高考)如圖所示，真空中四個(gè)相同的矩形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，高為4d，寬為d，中間兩個(gè)磁場區(qū)域間隔為2d，中軸線與磁場區(qū)域兩側(cè)相交于O、O′點(diǎn)，各區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。某粒子質(zhì)量為m、電荷量為＋q，從O沿軸線射入磁場。當(dāng)入射速度為v0時(shí)，粒子從O上方處射出磁場。取sin53＝0.8，cos53＝0.6。 (1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B； (2)入射速度為5v0時(shí)，求粒子從O運(yùn)動(dòng)到O′的時(shí)間t； (3)入射速度仍為5v0，通過沿軸線OO′平移中間兩個(gè)磁場(磁場不重疊)，可使粒子從O運(yùn)動(dòng)到O′的時(shí)間增加Δt，求Δt的最大值。 答案　(1)　(2)　(3) 解析　(1)粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r0＝ 由題意知r0＝ 解得B＝。 (2)粒子入射速度為5v0時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)半徑 r＝＝5r0＝， 如圖所示，設(shè)粒子在矩形磁場中的偏轉(zhuǎn)角為α， 由d＝rsinα，得sinα＝，即α＝53 在一個(gè)矩形磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t1＝ 解得t1＝ 直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝ 則t＝4t1＋t2＝。 (3)將中間兩磁場分別向中央移動(dòng)距離x， 粒子從O點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的最大偏移量 y＝2r(1－cosα)＋xtanα 由y≤2d，解得x≤d 則當(dāng)xm＝d時(shí)，Δt有最大值 粒子直線運(yùn)動(dòng)路程的最大值 sm＝＋(2d－2xm)＝3d 增加路程的最大值Δsm＝sm－2d＝d 增加時(shí)間的最大值Δtm＝＝。 配套課時(shí)作業(yè) 　　時(shí)間：45分鐘　滿分：100分 一、選擇題(本題共10小題，每小題7分，共70分。其中1～5為單選，6～10為多選) 1．如圖，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場。一質(zhì)量為m、帶電荷量為＋q且不計(jì)重力的粒子，以速度v沿與半徑PO夾角θ＝30的方向從P點(diǎn)垂直磁場射入，最后粒子垂直于MN射出，則磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　根據(jù)題述可得帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r滿足rcos60＝R，r＝2R。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，qvB＝m，解得磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B＝，B正確。 2．如圖所示，一帶電塑料小球質(zhì)量為m，用絲線懸掛于O點(diǎn)，并在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，最大擺角為60，水平磁場垂直于小球擺動(dòng)的平面。當(dāng)小球自左方擺到最低點(diǎn)時(shí)，懸線上的張力恰為零，則小球自右方最大擺角處擺到最低點(diǎn)時(shí)懸線上的張力為(　　) A．0 B．2mg C．4mg D．6mg 答案　C 解析　設(shè)小球自左方最大擺角處擺到最低點(diǎn)時(shí)速度為v，則mv2＝mgL(1－cos60)，此時(shí)qvB－mg＝m，當(dāng)小球自右方最大擺角處擺到最低點(diǎn)時(shí)，v大小不變，洛倫茲力方向發(fā)生變化，此時(shí)有T－mg－qvB＝m，解得T＝4mg，故C正確。 3．如圖所示，正三角形的三條邊都與圓相切，在圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，質(zhì)子P(H)和氦核Q(He)都從A點(diǎn)沿∠BAC的角平分線方向射入磁場，質(zhì)子P(H)從C點(diǎn)離開，氦核Q(He)從相切點(diǎn)D離開磁場，不計(jì)粒子重力，則質(zhì)子和氦核的入射速度大小之比為(　　) A．6∶1 B．3∶1 C．2∶1 D．3∶2 答案　A 解析　設(shè)圓形區(qū)域的半徑為R，質(zhì)子P的入射速度大小為v1，質(zhì)量為m，電荷量為e，質(zhì)子從C點(diǎn)離開，在磁場中其運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為60，設(shè)其軌跡半徑為r1，則有tan60＝，解得r1＝R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可知，ev1B＝m，解得v1＝；設(shè)氦核Q的入射速度大小為v2，則質(zhì)量為4m，電荷量為2e，氦核Q從D點(diǎn)離開磁場，在磁場中其運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)的圓心角為120，設(shè)其軌跡半徑為r2，則有tan60＝，解得r2＝，根據(jù)洛倫茲力提供向心力可知，2ev2B＝4m，解得v2＝，質(zhì)子和氦核的入射速度大小之比為v1∶v2＝∶＝6∶1，A正確。 4．如圖所示，在真空中，水平導(dǎo)線中有恒定電流I通過，導(dǎo)線的正下方有一質(zhì)子初速度方向與電流方向相同，則質(zhì)子可能的運(yùn)動(dòng)情況是(　　) A．沿路徑a運(yùn)動(dòng) B．沿路徑b運(yùn)動(dòng) C．沿路徑c運(yùn)動(dòng) D．沿路徑d運(yùn)動(dòng) 答案　B 解析　由安培定則，電流在下方產(chǎn)生的磁場方向指向紙外，由左手定則，質(zhì)子剛進(jìn)入磁場時(shí)所受洛倫茲力方向向上。則質(zhì)子的軌跡必定向上彎曲，因此C、D必錯(cuò)；由于洛倫茲力方向始終與電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直，故其運(yùn)動(dòng)軌跡必定是曲線，則B正確，A錯(cuò)誤。 5．如圖所示，在x軸上方存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。在xOy平面內(nèi)，從原點(diǎn)O處沿與x軸正方向成θ角(0<θ<π)以速率v發(fā)射一個(gè)帶正電的粒子(重力不計(jì))。則下列說法正確的是(　　) A．若v一定，θ越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短 B．若v一定，θ越大，則粒子離開磁場的位置距O點(diǎn)越遠(yuǎn) C．若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的角速度越大 D．若θ一定，v越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短 答案　A 解析　由左手定則可知，帶正電的粒子向左偏轉(zhuǎn)。若v一定，θ越大，則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越短，A正確；若v一定，θ等于90時(shí)，粒子離開磁場的位置距O點(diǎn)最遠(yuǎn)，為2r＝，B錯(cuò)誤；若θ一定，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期與v無關(guān)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的角速度與v無關(guān)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與v無關(guān)，C、D錯(cuò)誤。 6．長為l的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，如圖所示。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離為l，極板不帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度v2、v1＝v2或v1 T 解析　 (1)帶電粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則qvB＝，解得R＝0.5 m，而＝0.5 m，故圓心一定在x軸上，軌跡如圖甲所示， 由幾何關(guān)系可知OQ＝R＋Rcos37＝0.9 m。 (2)帶電粒子不從x軸射出，臨界軌跡如圖乙所示。 由幾何關(guān)系得OP＝R′＋R′sin37，R′＝， 解得B1＝ T。 磁感應(yīng)強(qiáng)度B′>B1，即B′> T。