2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題30 小題不小——比較大小.doc
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專題30 小題不小----比較大小 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 高考命題中,常常在選擇題或填空題中出現(xiàn)一類比較大小的問題,往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起,進(jìn)行排序.這類問題的解法往往可以從代數(shù)和幾何兩方面加以探尋,即利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象解答.本專題以一些典型例題來說明此類問題的方法與技巧. (一)常用技巧和方法 1、如何快速判斷對(duì)數(shù)的符號(hào)?八字真言“同區(qū)間正,異區(qū)間負(fù)”,容我慢慢道來: 判斷對(duì)數(shù)的符號(hào),關(guān)鍵看底數(shù)和真數(shù),區(qū)間分為和 (1)如果底數(shù)和真數(shù)均在中,或者均在中,那么對(duì)數(shù)的值為正數(shù) (2)如果底數(shù)和真數(shù)一個(gè)在中,一個(gè)在中,那么對(duì)數(shù)的值為負(fù)數(shù) 例如:等 2、要善于利用指對(duì)數(shù)圖象觀察指對(duì)數(shù)與特殊常數(shù)(如0,1)的大小關(guān)系,一作圖,自明了 3、比較大小的兩個(gè)理念: (1)求同存異:如果兩個(gè)指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同,則可通過真數(shù)的大小與指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的關(guān)系,所以要熟練運(yùn)用公式,盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況 例如:,比較時(shí)可進(jìn)行轉(zhuǎn)化,盡管底數(shù)難以轉(zhuǎn)化為同底,但指數(shù)可以變?yōu)橄嗤? ,從而只需比較底數(shù)的大小即可 (2)利用特殊值作“中間量”:在指對(duì)數(shù)中通??蓛?yōu)先選擇“-1,0,1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分,然后再進(jìn)行比較,有時(shí)可以簡(jiǎn)化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍,各個(gè)擊破”,也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì),例如,可知,進(jìn)而可估計(jì)是一個(gè)1點(diǎn)幾的數(shù),從而便于比較 4、常用的指對(duì)數(shù)變換公式: (1) (2) (3) (4)換底公式: 進(jìn)而有兩個(gè)推論: (令) (二)利用函數(shù)單調(diào)性比較大小 1、函數(shù)單調(diào)性的作用:在單調(diào)遞增,則 (在單調(diào)區(qū)間內(nèi),單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁) 2、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則: (1) (2) 3、常見描述單調(diào)性的形式 (1)導(dǎo)數(shù)形式:?jiǎn)握{(diào)遞增;單調(diào)遞減 (2)定義形式:或:表示函數(shù)值的差與對(duì)應(yīng)自變量的差同號(hào),則說明函數(shù)單調(diào)遞增,若異號(hào)則說明函數(shù)單調(diào)遞減 4、技巧與方法: (1)此類問題往往條件比較零散,不易尋找入手點(diǎn).所以處理這類問題要將條件與結(jié)論結(jié)合著分析.在草稿紙上列出條件能夠提供什么,也列出要得出結(jié)論需要什么.兩者對(duì)接通??梢源_定入手點(diǎn) (2)在構(gòu)造函數(shù)時(shí)要根據(jù)條件的特點(diǎn)進(jìn)行猜想,例如出現(xiàn)輪流求導(dǎo)便猜有可能是具備乘除關(guān)系的函數(shù).在構(gòu)造時(shí)多進(jìn)行試驗(yàn)與項(xiàng)的調(diào)整 (3)在比較大小時(shí),通??衫煤瘮?shù)性質(zhì)(對(duì)稱性,周期性)將自變量放入至同一單調(diào)區(qū)間中進(jìn)行比較 (三)數(shù)形結(jié)合比較大小 1、對(duì)稱性與單調(diào)性:若已知單調(diào)性與對(duì)稱性,則可通過作出草圖觀察得到諸如“距軸越近,函數(shù)值越……”的結(jié)論,從而只需比較自變量與坐標(biāo)軸的距離,即可得到函數(shù)值的大小關(guān)系 (1)若關(guān)于軸對(duì)稱,且單調(diào)增,則圖象可能以下三種情況,可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn):自變量距離軸越近,其函數(shù)值越小 (2)若關(guān)于軸對(duì)稱,且單調(diào)減,則圖象可能以下三種情況,可發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同點(diǎn):自變量距離軸越近,其函數(shù)值越大 2、函數(shù)的交點(diǎn):如果所比較的自變量是一些方程的解,則可將方程的根視為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).抓住共同的函數(shù)作為突破口,將其余函數(shù)的圖象作在同一坐標(biāo)系下,觀察交點(diǎn)的位置即可判斷出自變量的大小. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)1,理11】設(shè)x、y、z為正數(shù),且,則( ) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 【答案】D 【名師點(diǎn)睛】對(duì)于連等問題,常規(guī)的方法是令該連等為同一個(gè)常數(shù),在用這個(gè)常數(shù)表示出對(duì)應(yīng)的,通過作差或作商進(jìn)行比較大小.對(duì)數(shù)運(yùn)算要記住對(duì)數(shù)運(yùn)算中常見的運(yùn)算法則,尤其是換底公式和0與1的對(duì)數(shù)表示. 例2.【2017天津,文理】已知奇函數(shù)在R上是增函數(shù),.若,,,則a,b,c的大小關(guān)系為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】 【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)且在上是增函數(shù),所以在時(shí),, 從而是上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù), , ,又,則,所以即, , 所以,故選C. 【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見題,指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小,特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小,還可以解不等式. 例3.已知均為正數(shù),且,則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【名師點(diǎn)睛】本題也可用數(shù)形結(jié)合的方式比較大小,觀察發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)等式右側(cè)為的形式,而第三個(gè)等式也可變形為,從而可以考慮視分別為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn).先作出圖象,再在這個(gè)坐標(biāo)系中作出,比較交點(diǎn)的位置即可. 例4.【2018屆山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)沖刺模擬(三)】已知a=2-??13,b=log213,c=log1213,則a,b,c的大小關(guān)系為( ) A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. c>a>b 【答案】D 【解析】分析:借助于中間值1和0,利用各實(shí)數(shù)的范圍可比較大小. 詳解:a=2-??13∈(0,1),b=log213<0,c=log1213=log23>1, ∴c>a>b,故選D. 點(diǎn)睛:比較大小常用的方法有: (1)作差法(作商法); (2)利用函數(shù)單調(diào)性比較大?。? (3)借助中間變量比較大小. 例5.【2018年遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三模擬】函數(shù)fx=ex+e-xex-e-x,若a=f-12,b=fln2,c=fln13,則有( ) A. c>b>a B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a 【答案】D 【解析】分析:首先分離常數(shù)得出fx=1+2e2x-1,可判斷出fx在-∞,0上單調(diào)遞減,且x>0時(shí),fx>0,x<0時(shí),fx<0,從而判斷出 b>0,a,c<0,再根據(jù)fx在-∞,0上減函數(shù),判斷出a,c的大小關(guān)系,從而最后得出a,b,c大小關(guān)系. 且-lne>-ln3,∴-12>ln13, ∴fx在-∞,0上單調(diào)遞減, ∴f-12- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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