高考數(shù)學易錯點點睛與高考突破 專題 排列組合二項式定理

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1、 【難點突破】 難點 1在等可能性事件的概率中考查排列、組合 1 、A、B、C、D、E五人站成一圈傳球,每人只能把球傳給他的鄰人,A傳出(算第一次)后經10次傳球又回到A的概率為 ( ) 2、 某校高三年級舉行一次演講比賽共有10位同學參賽,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位,若采用抽簽方式確定他們的演講順序,則一班有3位同學恰好被排在一起,而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為 ( ) 【解析】 基本事件總數(shù)為A1010,而事件A包括的可能實際上就是排列中的相鄰與不相3 、9支足球隊參加一地區(qū)性足球預選賽,將這9支球隊任意地均分為3組,則A、B兩個“冤家隊”

2、恰好分在同一組的概率為 ( ) ∴選求概率為∴選B。 難點 2利用二項式定理解決三項以上的展開式問題 1.(1-3x+2y)n的展開式中不含y的項的系數(shù)和為 ( ) A.2n B.-2n C.(-2)n D.1 2.(1+2x-3x2)6展開式中的x5項的系數(shù)為 ( ) A.86 B.168 C.-168 D.-8748 難點 3利用二項式定理證明不等式 1 過點P(1,0)作曲線C:y=xk,[x∈(0,+∞),k∈N*,k>1]的切線,切點為Q1,設Q1在x軸上的投影是點P1;又過點P1作曲線

3、C的切線,切點為Q2,設Q2在x軸上投影為點P2,…如此繼續(xù)下去得到一系列點Q1,Q2,…,Qn,…,設點Qn的橫坐標為an. (1)求證: (2)求證: (3)求證: 2. 8人進行乒乓球單打比賽,水平高的總能勝水平低的,欲選出水平最高的兩人,至少需要比賽的場數(shù)為__________(用數(shù)字作答) 人決出第一名,需2場比賽?!嘀辽傩枰?+2+1+2=9場比賽。 3.設坐標平面內有一個質點從原點出發(fā),沿x軸跳動,每次向正方向或負方向跳1個單位,經過5次跳動質點落在點(3,0)(允許重復過此點)處,則質點不同的運動方法共有_________種(用數(shù)字作答)。 4.從1、3、5、7中

4、任取2個數(shù)字,從0、2、4、6、8中任取2個數(shù)字,組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),其中能被5整除的四位數(shù)共有__________個(用數(shù)字作答)。 【特別提醒】 兩個基本原理是學習排列、組合的重要基礎,解決兩個原理的應用問題首先要明確所完成的事情是什么,然后再分析每一種做法,事情是否完成,從而區(qū)分分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理,運用分類計數(shù)原理時,要恰當分類,做到不重復,又不遺漏;運用分步計數(shù)原理時,關鍵是分好步,需要分析要分幾步才能完成。一個比較復雜的問題一般遵循先分類后分步的解題步驟,平時應注意養(yǎng)成一題從多角度來解的習慣。 【變式訓練】 1 設集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x

5、,y∈{1,2,3…,9},且PQ。把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x,y)作為一個點的坐標,則這樣的點個數(shù)是( ) A.9個 B.14個 C.15個 D.21個 易錯點 2 排列組合 1.用0,1,2,3,4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù),其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個數(shù)是______________. 2.將標號為1、2,… 10的10個數(shù)放入標號為1,2,…10的10個盒子內,每一個盒內放一個球莖,恰在此時好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法種數(shù)為 ( ) A.120 B.240 C.360

6、D.720 原理放入方法種數(shù)為120×2=240。∴選B。 3.已知集合A有4個元素,集合B有3個元素,集合A到B的映射中,滿足集合B的元素都有原象的有多少個? 4. 4名男同學排好有A44種方法,再在5個空檔處將4名女生插進去,有A45種方法?!嗖煌呐欧〝?shù)為A44·A45=2880 【變式訓練】 1、集合A=B={1,2,3,4,5},從A到B的映射,滿足:(1)f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5);(2)f的象只有2個。則這樣的映射有_______個. 2、(1)將10個相同的小球裝入3個編號為1、2、3的盒子,要求每個盒子里球的個數(shù)不少于盒子的編號數(shù),這樣的裝法

7、種數(shù)為__________. 易錯點 3二項式定理 1.在(x-a)10的展開式中,x7的系數(shù)是15,則實數(shù)a=_____________。 2.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展開式中,含x3的項的系數(shù)是 ( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 【錯解分析】(1+6)n的展開式應為C0n+C1n·6+C2n·62+…+Cnn6n,原式中6的次數(shù)與之不相應。 【正確解答】 C1n+C2n6+C3n·62+…+Cnn6n-1= () = 【特別提醒】 二項式定理的核心是通項公式,求二項展開式中的特

8、定項或特定項的系數(shù)通常中從通項公式入手的,所以對通項的理解、記憶和應用是重點,二項式定理是一個恒等式,對待恒等式通常有兩種思路:一是利用恒等的多項式對應的系數(shù)相等;二是賦值。事實上,二項式定理結合“恒等”與“賦值”兩條思路可以使很多求二項展開式的系數(shù)的問題迎刃而解,近幾年高考二項式定理的考查一般為選擇、填空題,便我們在復習時應有主動應用二項式定理解題的意識,因為二項式定理在證明帶隊不等式組合等式中有很好的應用。 【變式訓練】 1 若(1-2x)2006=a0+a1x+a2x2+…a2006x2006(x∈R),則 (a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2006)=

9、__________(用數(shù)字作答)。 【2013高考突破】 1 將1,2,3…,9這9個數(shù)字填在3×3的正方形方格中,要求每一列從上到下的依次增大,每一行從左到右均依次增大,當4固定在中心位置時,則填寫空茖的方法有 ( ) A.6種 B.12種 C.18種 D.24種 答案: B 解析:首先確定1、9分別在左上角和右下角,2、3 只能在4的上方和左方,有2種填方,5,6,7,8填在其它位置有=6種方法.依分步計數(shù)原理有2=12種填法,所以選B. 2 某重點中學要把9臺相同的電腦送給農村三所希望小學,每個小學到少2臺電腦,不同的送法種數(shù)為(

10、 ) A.10種 B.9種 C.8種 D.6種 3 從裝有4粒大小、形狀相同,顏色不同的玻璃球的的瓶中,隨意一次倒出若干粒玻璃球莖(至少一粒),則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比例出偶數(shù)粒玻璃球的概率 ( ) A.小 B.大 C.相等 D.大小不能確定 8 若n∈N*,n<100,且二項式(x3+)n的展開式中存在常數(shù)項,求所有滿足條件的n的值的和。 10 若(x+1)+(x+1)2+…+(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,求a0+a1+…+an. 答案:

11、解:令x=2,得a0+a1+…+an=3+32+…+3n= 11 從集合{1,2,3,…,20}中選3不同的數(shù)使這3個數(shù)成遞增的等差數(shù)列,則這樣的數(shù)列共有多少個? 12 將一個四棱錐的每個頂點染上顏色,使同一條棱上的兩端點異色,如果有5種顏色或供使用,那么不同的染色方法總數(shù)有多少種? 14 已知函數(shù)f(x)=f(2)=2f(3)<3,且f(x)的圖像按向量e=(-1,0)平移后得到的圖像關于原點成中心對稱圖形。 (1)求a、b、c的值; ∴Tn≥2n -2.∴原不等式成立. (第(3)問可以用數(shù)學歸納法加以證明) 15.完成下列選擇題與填空題 (1)有三個不同的信箱,

12、今有四封不同的信欲投其中,則不同的投法有種. A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名學生爭奪三項冠軍,獲得冠軍的可能的種數(shù)是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位學生參加三項不同的競賽, ①每位學生必須參加一項競賽,則有不同的參賽方法有; ②每項競賽只許有一位學生參加,則有不同的參賽方法有; ③每位學生最多參加一項競賽,每項競賽只許有一位學生參加,則不同的參賽方法有。 16.今有2個紅球、3個黃球、4個白球,同色球不加以區(qū)分,將這9個球排成一列有種不同的方法(用數(shù)字作答). 17.(1)在二項式的展開式中

13、,含的項的系數(shù)是( ) A. B. C. D. 答案 B 18.展開式中不含的項的系數(shù)絕對值的和為,不含的項的系數(shù)絕對值的和為,則的值可能為 A.B. C.D. 20.(1)某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,則不同的選派方案共有種; (2)5名志愿者分到3所學校支教,每個學校至少去一名志愿者,則不同的分派方法共有( ) (A)150種 (B)180種 (C)200種 (D)280種 21.平面上給定10個點,任意三點不共線,由這

14、10個點確定的直線中,無三條直線交于同一點(除原10點外),無兩條直線互相平行。求:(1)這些直線所交成的點的個數(shù)(除原10點外)。(2)這些直線交成多少個三角形. (2)同解法一。 22.已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角,求符合這些條件的直線的條數(shù)。 (2)的展開式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項數(shù)是 (A)0    ?。˙)2    ?。–)4     (D)6 解析:本題主要考查二項式展開通項公式的有關知識; (2)的展開式通項為,因此含x的正整數(shù)次冪的項共有2項.選B; 24

15、.(1)將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 按照以上排列的規(guī)律,第行()從左向右的第3個數(shù)為▲ 25.證明下列不等式: (1)≥()n,(a、b∈{x|x是正實數(shù)},n∈N); (2)已知a、b為正數(shù),且+=1,則對于n∈N有 (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。 26.(1)求4×6n+5n+1被20除后的余數(shù); (2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9,得余數(shù)是多少? (3)根據下列要求的精確度,求1.025的近似值。①精確到0. 01;②精確到0.001。 內容總結 (1)②每項競賽只許有一位學生參加,則有不同的參賽方法有

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