高考文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題 極坐標(biāo)與參數(shù)方程

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1、 1．曲線的極坐標(biāo)方程． (1)極坐標(biāo)系：一般地，在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，自點(diǎn)O引一條射線Ox，同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針方向?yàn)檎较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．其中，點(diǎn)O稱為極點(diǎn)，射線Ox稱為極軸． (2)極坐標(biāo)(ρ，θ)的含義：設(shè)M是平面上任一點(diǎn)，ρ表示OM的長(zhǎng)度，θ表示以射線Ox為始邊，射線OM為終邊所成的角．那么，有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．顯然，每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)，決定一個(gè)點(diǎn)的位置．其中ρ稱為點(diǎn)M的極徑，θ稱為點(diǎn)M的極角． 極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大區(qū)別在于：在直角坐標(biāo)系中，平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的，而在

2、極坐標(biāo)系中，對(duì)于給定的有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)，可以確定平面上的一點(diǎn)，但是平面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)卻不是唯一的． (3)曲線的極坐標(biāo)方程：一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上的任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐標(biāo)適合方程f(ρ，θ)＝0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程． 2．直線的極坐標(biāo)方程． (1)過極點(diǎn)且與極軸成φ0角的直線方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下圖所示． (2)與極軸垂直且與極軸交于點(diǎn)(a，0)的直線的極坐標(biāo)方程是ρcos θ＝a，如下圖所示． (3)與極軸平行且在x軸的上方，與x軸的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程

3、為ρsin θ＝a，如下圖所示． 3．圓的極坐標(biāo)方程． (1)以極點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓的方程為ρ＝r，如圖1所示． (2)圓心在極軸上且過極點(diǎn)，半徑為r的圓的方程為ρ＝2rcos_θ，如圖2所示． (3)圓心在過極點(diǎn)且與極軸成的射線上，過極點(diǎn)且半徑為r的圓的方程為ρ2rsin_θ，如圖3所示． 4．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化． 若極點(diǎn)在原點(diǎn)且極軸為x軸的正半軸，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)M(ρ，θ)化為平面直角坐標(biāo)M(x，y)的公式如下： 或者ρ＝，tan θ＝， 其中要結(jié)合點(diǎn)所在的象限確定角θ的值． 1．曲線的參數(shù)方程的定義． 在平面直角坐標(biāo)系中，如

4、果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，即并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)． 2．常見曲線的參數(shù)方程． (1)過定點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角為α的直線： (t為參數(shù))， 其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(x0，y0)為起點(diǎn)，點(diǎn)M(x，y)為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離． 根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論： ①設(shè)A，B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則|AB|＝|tB－tA|＝； ②線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于. (2

5、)中心在P(x0，y0)，半徑等于r的圓： (θ為參數(shù)) (3)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的橢圓： (θ為參數(shù)). 中心在點(diǎn)P(x0，y0)，焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． (4)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的雙曲線： (θ為參數(shù)). (5)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線： (t為參數(shù)，p>0)． 注：sec θ＝. 3．參數(shù)方程化為普通方程． 由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù)，消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法，消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x，y的限制． 1．已知點(diǎn)A的極坐

6、標(biāo)為，則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是(2，－2)． 2．把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(，－)化為極坐標(biāo)，結(jié)果為． 3．曲線的極坐標(biāo)方程ρ＝4sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4． 4．以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是ρ＝2cos． 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(θ為參數(shù))的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為3． 解析：由直線l：得y＝x－a.由橢圓C：得＝＝1.所以橢圓C的右頂點(diǎn)為(3，0)．因?yàn)橹本€l過橢圓的右頂點(diǎn)，所以0＝3－a，即a＝3. 一、選擇題 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸

7、為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是(C) A. B. C. D. 2．若圓的方程為(θ為參數(shù))，直線的方程為(t為參數(shù))，則直線與圓的位置關(guān)系是(B) A．相離 B．相交 C．相切 D．不能確定 3．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cos θ，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為(D) A. B．2 C. D．2 解析：由題意可得直線和圓的方程分別為x－y－4＝0，x2＋y2＝4x，所以圓心C(2，0)，半徑r＝2

8、，圓心(2，0)到直線l的距離d＝，由半徑，圓心距，半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，解得弦長(zhǎng)為2. 4．已知?jiǎng)又本€l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，則直線l與圓O：(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是(A) A．相交 B．相切 C．相離 D．過圓心 解析：動(dòng)直線l平分圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1，即圓心(2，1)在直線l上，又圓O：的普通方程為x2＋y2＝9且22＋12<9，故點(diǎn)(2，1)在圓O內(nèi)，則直線l與圓O的位置關(guān)系是相交． 二、填空題 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是(θ是參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)方程

9、可寫為ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0． 解析：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，(θ是參數(shù))，∴根據(jù)sin2θ＋cos2θ＝1，可得x2＋(y＋2)2＝1，即x2＋y2＋4y＋3＝0.∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋4ρsin θ＋3＝0. 6．在平面直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則圓C的圓心的極坐標(biāo)為． 三、解答題 7．求極點(diǎn)到直線ρ＝(ρ∈R)的距離． 解析：由ρ＝?ρsin θ＋ρcos θ＝1?x＋y＝1， 故d＝＝. 8．極坐標(biāo)系中，A為曲線ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的動(dòng)點(diǎn)，B為直線ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上

10、的動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值． 9．(2015·大連模擬)曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍，得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6. (1)求曲線C2和直線l的普通方程； (2)P為曲線C2上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最值． 解析：(1)由題意可得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，即C2：＋＝1， 直線l：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化為直角坐標(biāo)方程為x－2y－6＝0. (2)設(shè)點(diǎn)P(2cos θ，

11、sin θ)，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)P到直線l的距離為 d＝ ＝ ＝ ＝. 所以≤d≤2，故點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為2，最小值為. 10．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(3，5)，傾斜角為. (1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值． 解析：(1)由曲線C的參數(shù)方程(θ為參數(shù))，得普通方程為(x－1)2＋(y－2)2＝16，即x2＋y2－2x－4y＝11＝0. 直線l經(jīng)過定點(diǎn)P(3，5)，傾斜角為，直線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))． (2)將直線的參數(shù)方程代入x2＋y2－2x－4y－11＝0，整理，得t2＋(2＋3)t－3＝0，設(shè)方程的兩根分別為t1，t2，則t1t2＝－3， 因?yàn)橹本€l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3. 內(nèi)容總結(jié)