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1、專題三 動點型問題 所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或曲線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜，靈活運用有關(guān)數(shù)學知識解決問題. 近年深圳中考運動變化類的壓軸題題目展示涉及:單一(雙)動點在三角形、四邊形、圓、直線（如2016年深圳卷第22題）、拋物線（如2016年深圳卷第23題）上運動，幾何圖形整體運動問題.知識點涉及:全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊四邊形的判定和性質(zhì)、圓的相關(guān)性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)等.數(shù)學思想涉及:分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程思想.解答這類問題的關(guān)鍵是正確分類畫出直觀圖形.“動點型問題”題型繁多，題意創(chuàng)新，
2、考察學生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等，是近幾年深圳中考題的熱點和難點. 解決動點問題的關(guān)鍵是“動中求靜”.從變換的角度和運動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖象等圖形，通過“對稱、動點的運動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理.在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學“動點”探究題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì).函數(shù)揭示了運動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律，是初中數(shù)學的重要內(nèi)容.動點問題反映的是一種函數(shù)思想，由于
3、某一個點或某圖形有條件地運動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動點問題中的函數(shù)關(guān)系.題型一題型一 建立動點問題的函數(shù)關(guān)系式建立動點問題的函數(shù)關(guān)系式( (或函數(shù)圖象或函數(shù)圖象) )【例題 1】(2014黑龍江省)如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形ABCD中，AD邊的中點處有一動點P，動點P沿PDCBAP運動一周，則P點的縱坐標y與點P走過的路程s之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是( )思路分析：將動點P的運動過程劃分為PD，DC，CB，BA，AP共5個階段，分別進行分析，最后得出結(jié)論.D解答：動點P運動過程中:當0s 時，動點P在線段PD上運動，此時y=2保持不變;當
4、 s 時，動點P在線段DC上運動，此時y由2到1逐漸減少;當 s 時，動點P在線段CB上運動，此時y=1保持不變;當 s 時，動點P在線段BA上運動，此時y由1到2逐漸增大;當 s4時，動點P在線段AP上運動，此時y=2保持不變.結(jié)合函數(shù)圖象，只有D選項符合要求.故答案選D.1212323252527272點動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強，能力要求高，它能全面地考查學生的實踐操作能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.動態(tài)幾何常常出現(xiàn)在特殊圖形里，考查問題也是特殊圖形，所以要把
5、握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)，圖形的特殊位置).動點問題一直是中考熱點，近幾年考查探究運動中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段、面積的最值.題型二題型二 動態(tài)幾何型題目動態(tài)幾何型題目(一)點動問題【例題 2】(2014安徽省)如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點P從A點出發(fā)，按ABC的方向在邊AB和BC上移動.記PA=x，點D到直線PA的距離為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )思路分析：點P在AB上時，點D到AP的距離為AD的長度，點P在BC上時，根據(jù)ADBC,可知APB=PA
6、D，再利用相似三角形列出比例式，并整理得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，從而得解.解答：點P在AB上時，0 x3，點D到AP的距離為AD的長度，是定值4.點P在BC上時，3x5，ADBC，APB=PAD.又B=DEA=90，ABPDEA. ，即 . .縱觀各選項，只有B選項圖形符合.故答案選B.ABAPDEDA34xy12yx(二)線動問題【例題 3】（2015茂名市）如圖，四邊形ABCD為正方形，若AB=4，E是AD邊上一點（點E不與點A,D重合），BE的中垂線交AB于點M，交DC于點N.設(shè)AE=x，則圖中陰影部分的面積S與x的大致圖象是（ ）思路分析：根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可以證明BE=MN，陰影
7、部分的面積等于正方形ABCD的面積減去四邊形MBNE的面積，得到S關(guān)于x的二次函數(shù)，然后確定函數(shù)的大致圖形C C解答：過點N作NFAB于點F.四邊形ABCD是正方形，MNBE,AD=NF,A=MFN=90,ABE+AEB=90,ABE+BMN=90.AEB=BMN.在ABE和FNM中，AEB=BMN,A=MFN,AD=NF,ABEFMN（AAS）.BE=MN.在ABE中， 陰影部分的面積根據(jù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，這個函數(shù)的圖形是開口向下，對稱軸是y軸，頂點是（0，8），自變量的取值范圍是0 x4故答案選C.22216,BEABAEx211=8.22MBNESBE MNx四邊形221116(8)
8、8.22Sxx (三)面動問題【例題 4】(2014玉林市)如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.設(shè)小三角形移動的距離為x，兩個三角形重疊的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是() 思路分析：根據(jù)題目提供的條件可以求出函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式判斷函數(shù)的圖象的形狀.B解答:當x1時，兩個三角形重疊的面積為小三角形的面積， 當1x2時，重疊三角形的邊長為2-x，高為 當x=2時,兩個三角形重疊的面積為0.故答案選B.1331.224y 3(2),2x 213(2)3(2)(2) .224xyxx動態(tài)問題是近幾年來
9、中考數(shù)學的熱點題型.這類試題信息量大，其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為中考試題熱點中的熱點，雙動點問題對同學們獲取信息和處理信息的能力要求更高.解題時需要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運動、變化的全過程，并特別關(guān)注運動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動中取靜，靜中求動.題型三題型三 雙動點問題雙動點問題【例題 5】(2014武漢市)如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=6 cm，BC=8 cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以5 cm/s的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以4 cm/s的速度向點B勻速運動，運動時間為t(0t2)s，連接PQ.(1)若
10、BPQ與ABC相似，求t的值;(2)如圖，連接AQ，CP.若AQCP，求t的值;(3)試證明:PQ的中點在ABC的一條中位線上.思路分析：此題考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等，關(guān)鍵是畫出圖形，作出輔助線構(gòu)造相似三角形，注意分兩種情況討論.解:(1)當BPQBAC時，BP=5t，QC=4t，AB=10 cm，BC=8 cm， t=1.當BPQBCA時， t=1或 時，BPQ與ABC相似.,BPBQBABC584,108tt,BPBQBCBA584,810tt32.41t 3241t (2)如圖a，過點P作PMBC于點M，AQ，CP相交于點N.則有PB=5t，PM=3t，CM=8-4t，NAC+NCA=90，PCM+NCA=90，NAC=PCM且ACQ=PMC=90.ACQCMP. 解得 .ACQCCMPM64,843ttt7,8t (3)如圖b，仍有PMBC于點M，PQ的中點設(shè)為D點，再作PEAC于點E，DFAC于點F.ACB=90，DF為梯形PECQ的中位線.QC=4t，PE=8-BM=8-4t，BC=8，過BC的中點R作直線平行于AC，RC=DF=4成立.D在過點R的中位線上.PQ的中點在ABC的一條中位線上.2PEQCDF8444.2ttDF
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