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1、 【課標要求】 1理解充要條件的意義 2會判斷證明充要條件 【核心掃描】 1判斷命題的充要條件(重點) 2證明充要條件和求充要條件(難點)第第2課時充要條件課時充要條件 充要條件的概念 一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱_顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的_，即如果pq，那么p與q互為充要條件 想一想：p是q的充要條件與p的充要條件是q有什么區(qū)別？ 提示p是q的充要條件指的是pq是充分性，qp是必要性， p的充要條件是q中，qp是充分性，pq是必要性自學導引自學導引充要充要充要條件充要條件 如何理解充要條件 p是q的充要條件意味著“p成
2、立，則q必成立，p不成立，則q必不成立”，簡記為“有之必有果，無之則無果” 拓展：命題成立的四種條件 若pq，q p，則p是q的充分不必要條件 若p q，qp，則p是q的必要不充分條件 若p q，q p，則p是q的既不充分，也不必要條件 若pq，qp，則p是q的充要條件名師點睛名師點睛題型一題型一充分條件、必要條件、充要條件的判斷充分條件、必要條件、充要條件的判斷 指出下列各題中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”中選出一種作答) (1)在ABC中，p：AB，q：BCAC； (2)對于實數(shù)x，y，p：xy6，q：x2或y4； (3
3、)在ABC中，p：sin Asin B，q：tan Atan B； (4)已知x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.【例例1】 思路探索 要判斷p是q的什么條件，只需判斷兩個命題 “若p，則q”，“若q，則p”的真假即可 解(1)在ABC中，顯然有ABBCAC，所以p是q的充要條件 (2)因為：x2且y4xy6，即綈 q綈 p，但綈p 綈 q，所以p是q的充分不必要條件 (3)取A120，B30，p q，又取A30，B120，q p，所以p是q的既不充分也不必要條件 (4)因為p：A(1，2)， q：B(x，y)|x1或y2，pq，但qp， p是q的充分不必要條件 規(guī)律
4、方法 判斷充分條件、必要條件、充要條件問題時常用的方法： (1)定義法：直接判斷pq和qp是否成立，然后得出結(jié)論 (2)等價法：利用命題的等價形式： pq q p，qp p q，pq. 與 p q的等價關(guān)系，對于條件和結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法 (3)集合法：設條件p對應集合A，條件q對應集合B.則若AB，則p是q的充分不必要條件， 若AB，則p是q的充分條件 若AB，則p是q的充要條件 (4)傳遞法：由推式的傳遞性：p1p2p3pn，則p1pn. 【變式變式1】 下列命題：若A是B的必要不充分條件，則B是A的充分不必要條件；已知a，bR，則|ab|a|b|的充要條件是ab0；“x1
5、”是“x21”的充分不必要條件； 在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要條件其中正確的是_(填序號) 解析中充要條件是ab0；中等價命題是“x21”是“x1”的充分不必要條件是錯誤的，應為必要不充分條件中ABabsin Asin B所以是真命題 答案 已知： O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.求證： dr是直線l與 O相切的充要條件 思路探索 設p：dr，q：直線l與 O相切要證p是q的充要條件，只需分別證明充分性(pq)和必要性(qp)即可 解如圖所示，作OPl于點P，則OPd. (1)充分性(pq)：若dr，則點P在 O上 在直線l上任取一點Q(異于點P)，連接OQ.
6、在RtOPQ中，OQOPr.所以，除點P外 直線l上的點都在 O的外部，即直線l與 O僅有一個公共點P.所以直線l與 O相切題型題型二二充要條件的證明充要條件的證明【例例2】 (2)必要性(qp)：若直線l與 O相切，不妨設切點為P，則OPl.因此，dOPr. 規(guī)律方法 (1)證明充要條件，一般是從充分性和必要性兩方面進行，此時應特別注意充分性和必要性所推證的內(nèi)容是什么 (2)要分清命題中的條件和結(jié)論，防止充分性和必要性弄顛倒，由條件結(jié)論是證充分性，由結(jié)論條件是證必要性 求證：關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個根為1的充要條件是abc0. 證明先證必要性：方程ax2bxc0有一個根為1， x1滿
7、足方程ax2bxc0， a12b1c0，即abc0，必要性成立 再證充分性：abc0，cab，代入方程ax2bxc0中，可得ax2bxab0，即(x1)(axab)0， 故方程ax2bxc0有一個根為1，充分性成立 因此，關(guān)于x的方程ax2bxc0有一個根為1的充要條件是abc0.【變式變式2】 已知方程 x2(2k1)xk20，求使方程有兩個大于1的根的充要條件 思路探索 求充要條件就是求它的等價命題題型題型三三求充分條件求充分條件【例例3】 規(guī)律方法 求充要條件常用下列兩種方法： (1)先由結(jié)論尋找使之成立的必要條件，再驗證它也是使結(jié)論成立的充分條件，既保證充分性和必要性都成立 (2)變換
8、結(jié)論為等價命題，使每一步都可逆，直接得到使命題成立的充要條件 求不等式ax22x10恒成立的充要條件【變式變式3】 (14分)已知條件p：Ax|x2(a1)xa0，條件q：Bx|x23x20 (1)若a3，則p是q的什么條件？ (2)若p是q的充分不必要的條件，求實數(shù)a的取值范圍 審題指導 本題綜合考查了充分性、必要性的概念與判定，以及一元二次不等式的求解 規(guī)范解答 (1)a3時，Ax|x24x3 0 x|1x3，Bx|x23x20 x|1x2. . . . . . . . . . 4分 因為BA，所以p是q必要不充分的條件. . . . . 7分題型題型四四充要條件的應用充要條件的應用【例例
9、4】 (2)Bx|1x2，Ax|x2(a1)xa0 x|(x1)(xa)0. . . . . . 10分 因為p是q充分不必要的條件， 所以AB，. . . . . . 12分 所以1a2. . . . . . . 14分 【題后反思】 若條件p、q構(gòu)成的集合分別為A、B，則ABp是q的充分條件； BAp是q的必要條件； ABp是q的充要條件 解法一由p：x|2x10，得 p：Ax|x10， q：Bx|x1m，m0 因為 p是 q的必要不充分條件，所以 q p， p q. 所以BA，畫數(shù)軸分析知，BA滿足的條件是 解得m9，即m的取值范圍是m|m9【變式變式4】 法二因為 p是 q的必要不充分
10、條件，所以p是q的充分不必要條件 而p：Px|2x10，q：Qx|1mx1m，m0， 對于給出一些命題之間的關(guān)系， 判定兩個命題之間的充分性、必要性的 問題，可構(gòu)造如右圖所示的推式鏈圖， 表示已知甲是乙的必要條件，丙是乙的 充分不必要條件，由圖易得丙是甲的充分不必要條件 已知p、q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，那么： (1)s是q的什么條件？ (2)r是q的什么條件？ (3)p是q的什么條件？方法技巧構(gòu)造推式鏈圖判定充分性、必要性方法技巧構(gòu)造推式鏈圖判定充分性、必要性【示示例例】 思路分析 可將已知r、p、q、s的關(guān)系用圖表示，然后利用圖示解答問題 解由圖可知，(1)因為qs，srq，所以s是q的充要條件 (2)因為rq，qsr，所以r是q的充要條件 (3)因為qsrp，而p/ q，所以p是q的必要不充分條件 方法點評 對于這類給出一些命題之間的因果關(guān)系(即充要性)，判定兩個命題之間充要條件的關(guān)鍵在于構(gòu)造推式鏈圖，即將題目給出充分、必要、充要條件等分別用推式表示出來，然后將它鏈接起來，從鏈接圖中可得到條件與結(jié)論之間的推式，從而判定其充要條件
高中數(shù)學 112第2課時充要條件課件 蘇教版選修21
