選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)及經(jīng)典例題

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1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 *選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱要求： 1．坐標(biāo)系：　 ① 理解坐標(biāo)系的作用.　 ② 了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. ③ 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. ④ 能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義. 2．參數(shù)方程：① 了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. ②

2、能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程. 第一講 1、 平面直角坐標(biāo)系 伸縮變換：設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。 方法1：求伸縮變換后的圖形。 由伸縮變換公式解出x、y,代入已知曲線方程就可求得伸縮變換后的曲線方程。 例:：在一個平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。 方法2：待定系數(shù)法求伸縮變換。 求伸縮變換時，先設(shè)出變換，再代入原方程或變換后的方程，求出其中系數(shù)即可。 例：在同一平面直角坐標(biāo)系中,求下列圖形變換的伸縮變換:

3、 二、極坐標(biāo) 1.極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。 2.點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角，記為。有序數(shù)對叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為. 極坐標(biāo)與表示同一個點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為. 3.若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對稱，即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。

4、4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化： 如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，且長度單位相同，設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x，y)，(ρ，θ)． (1)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo) (2)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo) 方法3：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 例： （1） 點(diǎn)M的極坐標(biāo)是 （2） 點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是 練： 三、簡單曲線的極坐標(biāo)方程 1.圓的極坐標(biāo)方程： (1)特殊情形如下表： 圓心位置 極坐標(biāo)方程 圖　形

5、 圓心在極點(diǎn)(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π) 圓心在點(diǎn)(r，0) ρ＝2rcos_θ (－≤θ<) 圓心在點(diǎn)(r，) ρ＝2rsin_θ (0≤θ<π) 圓心在點(diǎn)(r，π) ρ＝－2rcos_θ (≤θ<) 圓心在點(diǎn)(r，) ρ＝－2rsin_θ (－π<θ≤0) (2)一般情形：設(shè)圓心C(ρ0，θ0)，半徑為r，M(ρ，θ)為圓上任意一點(diǎn)，則|CM|＝r， ∠COM＝|θ－θ0|，根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0 即 2.直線的極坐標(biāo)方程： (1)特殊情形如下

6、表： 直線位置 極坐標(biāo)方程 圖　形 過極點(diǎn)，傾斜角為α (1)θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R) (2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0) 過點(diǎn)(a，0)，且與極軸垂直 ρcos_θ＝a 過點(diǎn)，且與極軸平行 ρsin_θ＝a (0<θ<π) 過點(diǎn)(a，0)傾斜角為α ρsin(α－θ)＝asin α (0<θ<π) (2)一般情形，設(shè)直線l過點(diǎn)P(ρ0，θ0)，傾斜角為α，M(ρ，θ)為直線l上的動點(diǎn)，則在△OPM中利用正弦定理可得直線l的極坐標(biāo)方程為 ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)． 方法4：

7、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化 方法5：極坐標(biāo)系下的運(yùn)算 方法6：曲線極坐標(biāo)方程的求法 四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介（了解） 1、柱坐標(biāo)系 (1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示點(diǎn)Q在平面Oxy上的極坐標(biāo)，這時點(diǎn)的位置可用有序數(shù)組(z∈R)表示．這樣，我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種對應(yīng)關(guān)系．把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系，有序數(shù)組(ρ，θ，z)叫

8、做點(diǎn)P的柱坐標(biāo)，記作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R． (2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ，z)之間的變換公式為． 2、球坐標(biāo)系 (1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn)，連接OP，記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q，Ox軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OQ時所轉(zhuǎn)過的最小正角為θ，這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，φ，θ)表示，這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，φ，θ)之間建立了一種對應(yīng)關(guān)系．把建立上述對應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系(或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組(r，φ，θ)，叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，

9、記作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π． (2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x，y，z)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換公式為． 第二講 一、參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個變數(shù)的函數(shù) 并且對于的每一個允許值，由這個方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。 相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。 二、參數(shù)方程和普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普

10、通方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表示曲線的方程的兩種不同形式，兩種方程是等價(jià)的可以互相轉(zhuǎn)化． (2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型．參數(shù)方程通過消去參數(shù)就可得到普通方程． (3)普通方程化參數(shù)方程，首先確定變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，其次將x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，則(t為參數(shù))就是曲線的參數(shù)方程． (4)在建立曲線的參數(shù)方程時，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使的取值范圍保持一致. 三、圓的參數(shù)方程 1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程 如圖圓O與x軸正半軸交點(diǎn)M0(r，0)． (

11、1)設(shè)M(x，y)為圓O上任一點(diǎn)，以O(shè)M為終邊的角設(shè)為θ，則以θ為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))． 其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時轉(zhuǎn)過的角度． (2)設(shè)動點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開始逆時針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω，則OM0經(jīng)過時間t轉(zhuǎn)過的角θ＝ωt，則以t為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動的時間． 2．圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程 圓心為(a，b)，半徑為r的圓的參數(shù)方程可以看成將圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓通過坐標(biāo)平移得到，所以其參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 四、圓錐曲線的參數(shù)方程 1、橢圓

12、的參數(shù)方程 (1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是[0，2π)． (2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是[0，2π)． (3)中心在(h，k)的橢圓普通方程為＋＝1，則其參數(shù)方程為(φ是參數(shù))． 2．雙曲線的參數(shù)方程 (1)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線－＝1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍為φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠． (2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線－＝1的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))． 3．拋物線的參數(shù)方程 (1)拋物線

13、y2＝2px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． (2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)． 方法1：參數(shù)方程和普通方程的互化 五、直線的參數(shù)方程 1．直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 2．直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義 (1)參數(shù)t的絕對值表示參數(shù)t所對應(yīng)的點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離． (2)當(dāng)與e(直線的單位方向向量)同向時，t取正數(shù)．當(dāng)與e反向時，t取負(fù)數(shù)，當(dāng)M與M0重合時，t＝0． 3．直線參數(shù)方程的其他形式 對于同一條直線的普通方程，選取的參

14、數(shù)不同，會得到不同的參數(shù)方程．我們把過點(diǎn)M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線，選取參數(shù)t＝M0M得到的參數(shù)方程(t為參數(shù))稱為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，此時的參數(shù)t有明確的幾何意義． 一般地，過點(diǎn)M0(x0，y0)，斜率k＝(a，b為常數(shù))的直線，參數(shù)方程為(t為參數(shù))，稱為直線參數(shù)方程的一般形式，此時的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義． 方法2：求直線參數(shù)方程 方法3：參數(shù)方程問題的解決辦法 解決參數(shù)問題的一個基本思路：將其轉(zhuǎn)化為普通方程，然后在直角坐標(biāo)系下解決問題。 方法4：利用參數(shù)的幾何意義解題

15、 六、漸開線與擺線（了解） 1．漸開線的概念及參數(shù)方程 (1)漸開線的產(chǎn)生過程及定義 把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓． (2)圓的漸開線的參數(shù)方程 以基圓圓心O為原點(diǎn)，直線OA為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端M的坐標(biāo)為(x，y)，則有(φ是參數(shù))．這就是圓的漸開線的參數(shù)方程． 2．?dāng)[線的概念及參數(shù)方程 (1)擺線的產(chǎn)生過程及定義 平面內(nèi)，一個動圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個固定點(diǎn)所經(jīng)

16、過的軌跡，叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線． (2)半徑為r的圓所產(chǎn)生擺線的參數(shù)方程為 (φ是參數(shù))． 練習(xí) 1．曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ）． A． B． C． D． 2．把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）． A． B． C． D． 3．若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）． A． B． C． D． 4．點(diǎn)在圓的（ ）． A．內(nèi)部 B．外部 C．圓上 D．與θ的值有關(guān) 5．參數(shù)方程為表示的曲線是（

17、 ）． A．一條直線 B．兩條直線 C．一條射線 D．兩條射線 6．兩圓與的位置關(guān)系是（ ）． A．內(nèi)切 B．外切 C．相離 D．內(nèi)含 7．與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方程為（ ）． A． B． C． D． 8．曲線的長度是（ ）． A． B． C． D． 9．點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)，則的最大值為（ ）． A． B． C． D． 10．直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為

18、（ ）． A． B． C． D． 11．若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則等于（ ）． A． B． C． D． 12．直線被圓所截得的弦長為（ ）． A． B． C． D． 13．參數(shù)方程的普通方程為__________________． 14．直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______． 15．直線與圓相切，則_______________． 16．設(shè)，則圓的參數(shù)方程為____________________． 17．求直線和直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，及點(diǎn)與的距離． 18．已知直線經(jīng)過點(diǎn),傾斜角， （1）寫出直線的參數(shù)方程． （2）設(shè)與圓相交與兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積． 19．分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程化為普通方程： （1）為參數(shù)，為常數(shù)；（2）為參數(shù)，為常數(shù)． 20．已知直線過定點(diǎn)與圓：相交于、兩點(diǎn)． 求：（1）若，求直線的方程； （2） 若點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，求弦的方程． - 20 - / 20