為什么質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零

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1、2013年3月 Vol. 31 No. 05 中學(xué)物理 為什么質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零 宋金鳳 (巴東縣第一高級(jí)中學(xué)湖北巴東444300) ? 60 ? ? 60 ? 在2012年全國(guó)高考物理試題的新課程版和大綱版中各 有一道題目涉及到?質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力 為宅這一問(wèn)題，原題如下： 新課程版第21題:假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均 勻的球體?一礦井深度為圧巳知質(zhì)童分布均勻的球売對(duì)殼內(nèi) 物體的引力為空F井慮部和地面處的空力加速度大小之比為 大綱版第25題：一單擺在地面處的擺動(dòng)周期與在某礦 井底部擺動(dòng)周期的比值為k.設(shè)地球的半徑為R

2、.假定地球的 密度均勻?已知質(zhì)童均勻分布的球売對(duì)殼內(nèi)物體的引力為 零，求礦井的深度d? 在這兩道高考題中十質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體 的引力為零”都作為已知條件給了考生?作為考生只需要知 道這個(gè)結(jié)論就可以了 ■但作為教師就必須知道為什么放在內(nèi) 部的物體所受萬(wàn)有引力為零，因?yàn)檫€要給下一屆乃至下幾屆 的學(xué)生講清楚原理和原因.筆者給岀了以下三種方法予以 說(shuō)明： 1.將萬(wàn)有引力與電場(chǎng)力進(jìn)行類比得岀結(jié)論. 在學(xué)習(xí)靜電場(chǎng)中我們知道:均勻帶電球面內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處 為零?那么對(duì)于萬(wàn)有引力，我們認(rèn)為物體在其周圍形成了引 力場(chǎng)?電荷與電荷之間的作用力與他們之間距離的平方成反 比，而萬(wàn)有引力定律也滿足平方反比關(guān)

3、系，即電荷之間的相 互作用力與物體間的萬(wàn)有引力滿足相似的規(guī)律，所以質(zhì)最分 布均勻的球殼內(nèi)部的萬(wàn)有引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)也為零.由上面的類 比可知:質(zhì)址分布均勻的球殼對(duì)球殼內(nèi)部的物體的萬(wàn)有引力 為零. 2?用微元法進(jìn)行簡(jiǎn)略的證明. 如圖1所示■在球殼內(nèi)部任取一點(diǎn) /—沐 P,在P點(diǎn)放一質(zhì)童為m的質(zhì)點(diǎn)，過(guò)P ( 點(diǎn)作兩條直線，設(shè)兩條直線之間的夾［ 力/彳 \ 角為久讓Q無(wú)限小?在球殼上以兩條 Y/R I 直線與球殼的交點(diǎn)為直徑畫圓?由于o V 丿 無(wú)限小，所以在球殼上所取的就是兩 個(gè)近似的微小圓柱.設(shè)球殼的厚度為 圖1 d,球殼的密度為P,則這兩個(gè)微小圓柱 的質(zhì)量分別為: 叫=p ? n(n\

4、n0)2d (1) = p ? 7r(Rsin0)2d (2) 由萬(wàn)有引力可知 F. = G芳 ⑶ 由以上4個(gè)式子可得 Fg = F2 = GmpqrdsxnQ. 由于F,和A方向相反，故這兩個(gè)微小圓柱對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引 力的合力為零?由對(duì)稱性可知■整個(gè)球殼對(duì)方在P點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn) 的引力為零. 3.用微積分去證明. 設(shè)球殼的半徑為乩厚度為必球殼的密度為小建立如圖 2所示的三維坐標(biāo)系?在球殼內(nèi)的M點(diǎn)放一質(zhì)點(diǎn)m,其坐標(biāo)為 (0,0,r),由對(duì)稱性可知，球殼對(duì)質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力必然沿著z 軸方向，在兀軸和y軸方向的合力為零?在球上取一微元P,其 坐標(biāo)為(心80)，如圖3所示,可得該微元的體積為 dV

5、 = RsinOd<t> ? RdO ? dR9 由余弦定理可知屮M間的距離為 尸=/ + F - 2/?rcos0, dF = 2蟹人普—咖鈕R / +/r - 2&COS0 F在z軸上的分懾為 dFt = dFcosa 由(1).(2)、(3)可知 廠 何小中/cosa(廠-Rcos0)sinO»八" 化=滬亦才廠觀妞兒 由上式可得 (1) (3) f 2r r “叫嚴(yán)阿畀芒叢驚嚴(yán) 故 F, =0. 通過(guò)以上三種方法可知:質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物 體的引力為零?第一、二種方法學(xué)生可以聽僮?而第三種方法 對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)知識(shí)不夠，但是可以告知他們計(jì)算的 方法，以后學(xué)了微積分知識(shí)之后就可以實(shí)際應(yīng)用了? 而由積分公式 ? 60 ?