2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式專題檢測試卷 新人教A版選修4-5.docx
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第三講 柯西不等式與排序不等式 專題檢測試卷(三) (時間:90分鐘 滿分:120分) 一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分) 1.設(shè)a1≤a2≤a3…≤an,b1≤b2≤b3…≤bn為兩組實(shí)數(shù),在排序不等式中,順序和,反序和,亂序和的大小關(guān)系為( ) A.反序和≥亂序和≥順序和 B.反序和=亂序和=順序和 C.反序和≤亂序和≤順序和 D.反序和、亂序和、順序和大小關(guān)系不確定 答案 C 2.已知m2+n2=2,t2+s2=8,則|mt+ns|的最大值為( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B 解析 ∵(m2+n2)(t2+s2)≥(mt+ns)2, ∴(mt+ns)2≤28=16, ∴|mt+ns|≤4. 當(dāng)且僅當(dāng)ms=nt時,等號成立. 3.已知a,b,c為正數(shù),則(a+b+c)的最小值為( ) A.1B.C.3D.4 答案 D 解析 (a+b+c) =[()2+()2] ≥2=22=4, 當(dāng)且僅當(dāng)a+b=c時取等號. 4.設(shè)a,b,c為正數(shù),a+b+4c=1,則++2的最大值是( ) A.B.C.2D. 答案 B 解析 1=a+b+4c=()2+()2+(2)2 =[()2+()2+(2)2](12+12+12) ≥(++2)2, ∴(++2)2≤3,即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4c時等號成立. 5.函數(shù)f(x)=+cosx,則f(x)的最大值是( ) A.B.C.1D.2 答案 A 解析 由f(x)=+cosx, 得f(x)=+cosx ≤=. 當(dāng)且僅當(dāng)cosx=時取等號. 6.設(shè)a,b,c均為實(shí)數(shù),則的最大值為( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由(a2+2b2+3c2)≥2, 即(a2+2b2+3c2)≥(a+b+c)2, ∴≤. ∴≤. 7.已知a,b,x1,x2∈R+,ab=1,x1+x2=2,則M=(ax1+bx2)(bx1+ax2)與4的大小關(guān)系是( ) A.M>4B.M<4C.M≥4D.M≤4 答案 C 解析 (ax1+bx2)(bx1+ax2) =[()2+()2][()2+()2] ≥[(x1+x2)]2=(x1+x2)2=4. 8.已知x+y+z=1,則2x2+3y2+z2的最小值為( ) A.B.C.D. 答案 D 解析 ∵(2x2+3y2+z2)≥(x+y+z)2=1, ∴2x2+3y2+z2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)==時,等號成立. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 9.函數(shù)y=5+的最大值為__________. 答案 6 解析 由柯西不等式,得y=5+ ≤=2=6, 當(dāng)且僅當(dāng)5=, 即x=時,等號成立. 10.如圖,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,則陰影部分的矩形面積之和________空白部分的矩形面積之和. 答案 ≥ 解析 由題圖可知,陰影部分的面積等于a1b1+a2b2,而空白部分的面積等于a1b2+a2b1,根據(jù)順序和≥反序和可知,答案為≥. 11.已知0<x<1,0<y<1,則函數(shù)f(x)=+的最小值是________. 答案 解析 由三角不等式,得 + ≥=. 當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x,y=1-y,即x=,y=時,等號成立.故f(x)的最小值為. 12.設(shè)a=(-2,1,2),|b|=6,則ab的最小值為______,此時b=________. 答案 -18 (4,-2,-4) 解析 根據(jù)柯西不等式的向量形成,有|ab|≤|a||b|, ∴|ab|≤6=18. 當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k,使a=kb時,等號成立. ∴-18≤ab≤18. ∴ab的最小值為-18,此時b=-2a=(4,-2,-4). 三、解答題(本大題共6小題,每小題10分,共60分) 13.設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù),且a+b+c=9,求++的最小值. 解 ∵(a+b+c) =[()2+()2+()2] ≥2=18,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時等號成立. ∴++≥2, ∴++的最小值為2. 14.(2017江蘇)已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a2+b2=4,c2+d2=16,證明:ac+bd≤8. 證明 由柯西不等式,得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 因?yàn)閍2+b2=4,c2+d2=16, 所以(ac+bd)2≤64, 因此ac+bd≤8. 15.已知二次三項(xiàng)式f(x)=ax2+bx+c的所有系數(shù)均為正數(shù),且a+b+c=1,求證:對于任何正數(shù)x1,x2,當(dāng)x1x2=1時,必有f(x1)f(x2)≥1. 證明 f(x1)f(x2)=(ax+bx1+c)(ax+bx2+c) ≥[a()2+b+c]2 =f2()=f2(1)=1. 故f(x1)f(x2)≥1. 16.已知x2+2y2+3z2=,求3x+2y+z的最小值. 解 (x2+2y2+3z2)≥2=(3x+2y+z)2, ∴(3z+2y+z)2≤(x2+2y2+3z2)=12, ∴-2≤3x+2y+z≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)x2=9y2=81z2, 即x=-,y=-,z=-時取“=”. ∴3x+2y+z的最小值為-2. 17.求三個實(shí)數(shù)x,y,z,使得它們同時滿足下列方程:2x+3y+z=13,4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82. 解 將兩個方程相加,得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108, ① 又第一個方程可變形為2x+(3y+3)+(z+2)=18, ② 由①②及柯西不等式,得(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2≥[2x+(3y+3)+(z+2)]2, 即108≥182=108,即柯西不等式中的等號成立. 所以2x=3y+3=z+2=6,故x=3,y=1,z=4. 18.設(shè)x,y,z∈R,且++=1,求x+y+z的取值范圍. 解 由柯西不等式,得 [42+()2+22]≥2=(x+y+z)2, 即251≥(x+y+z)2. ∴|x+y+z|≤5,∴-5≤x+y+z≤5. ∴x+y+z的取值范圍是[-5,5].- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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