新版高中數學北師大版選修21課時作業(yè)：第3章 習題課4 Word版含解析

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1、新版數學北師大版精品資料 習題課(4) 一、選擇題 1． 已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(　　) A．π B．4π C．8π D．9π 解析：設P(x，y)，由|PA|＝2|PB|， 得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以點P的軌跡是以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，故S＝4π.故選B. 答案：B 2． 方程＝表示(　　) A．兩條線段 B．兩條直線 C．兩條射線 D．一條射線和一條線段 解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥

2、0. ∴y＝|x|，|x|≤1，∴曲線表示兩條線段，故選A. 答案：A 3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，A(2,0)為長軸的一個端點， 弦BC過橢圓的中心O，且＝0，|－|＝2|－|，則其焦距為(　　) A． B． C． D． 解析：如右圖，a＝2，由＝0?∠C＝90， |BC|＝2|AC|，∴|OC|＝|AC|， ∴C(1，－1)代入橢圓方程得＋＝1， ∴b2＝，又a2＝4，∴c2＝4－＝，∴c＝. ∴2c＝. 答案：C 4．已知雙曲線E的中心為原點，F(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N(－12，－15)，則E的方程為(　　

3、) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)，由題意知c＝3，a2＋b2＝9.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，兩式作差得＝＝＝.又直線AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2. 代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以雙曲線的標準方程是－＝1. 答案：B 5．[2014湖南省長沙一中期中考試]已知拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，過F作傾斜角為30的直線，與拋物線交于A，B兩點，若∈(0,1)，則＝(　　) A． B． C． D． 解析：本題主要考查直線與拋物線的位置關系．因為拋物線的焦點為(0

4、，)，直線方程為y＝x＋，與拋物線方程聯立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝.故選C. 答案：C 6．[2014浙江省學軍中學期中考試]如圖，F1、F2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A、B兩點．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D． 解析：本題主要考查雙曲線的幾何性質．∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90，又由雙曲

5、線的定義得：|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝，∴雙曲線的離心率e＝＝，故選A. 答案：A 二、填空題 7．已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，若△ABF2是正三角形，則這個橢圓的離心率是__________． 解析：設AF1＝1，由△ABF2是正三角形知，|AF2|＝2

6、，|F1F2|＝，所以橢圓的離心率e＝＝ ＝＝. 答案： 8．若直線y＝2x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標是________． 解析：本題主要考查直線與拋物線相交時的性質和設而不求數學思想的應用．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立方程得，整理得4x2－16x＋9＝0，由根與系數之間的關系知x1＋x2＝4，y1＋y2＝2(x1＋x2)－6＝2，所以線段AB的中點坐標為(2,1)． 答案：(2,1) 9．已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為F(，0)，直線y＝x－1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫坐標為－，則此雙曲線的方程是__________．

7、解析：設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 依題意c＝. ∴方程可化為－＝1. 由 得(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則x1＋x2＝. ∵＝－， ∴－＝－，解得a2＝2. ∴雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 三、解答題 10．直線y＝ax＋1與雙曲線3x2－y2＝1相交于A，B兩點． (1)求線段AB的長； (2)當a為何值時，以AB為直徑的圓經過坐標原點？ 解：由，得(3－a2)x2－2ax－2＝0， Δ＝4a2－4(3－a2)(－2)＝24－4a2>0， ∴a∈(－，)． 設A(x1，y1

8、)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝. (1)|AB|＝＝ ＝ ＝. (2)由題意知，OA⊥OB，則x1x2＋y1y2＝0， ∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0. 即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0， ∴(1＋a2)＋a＋1＝0，解得a＝1.即a＝1時，以AB為直徑的圓經過坐標原點． 11．[2014鄭州外國語學校月考]已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F1且傾斜角為45的直線l與橢圓相交于A，B兩點． (1)求AB的中點坐標； (2)求△ABF2的周長與面積． 解：(1)由＋＝1，知a＝，b＝，c＝1. ∴F1(－1,0

9、)，F2(1,0)，∴l(xiāng)的方程為y＝x＋1， 聯立消去y得5x2＋6x－3＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x0，y0)，則 x1＋x2＝－，x1x2＝－，x0＝＝－，y0＝＝＝＋1＝(或y0＝x0＋1＝－＋1＝)， ∴中點坐標為M(－，)． (2)由題意知，F2到直線AB的距離d＝＝＝， |AB|＝＝， ∴S△ABF2＝|AB|d＝＝， △ABF2的周長＝4a＝4. 12．已知拋物線C1：y2＝4px(p>0)，焦點為F2，其準線與x軸交于點F1；橢圓C2：分別以F1、F2為左、右焦點，其離心率e＝；且拋物線C1和橢圓C2的一個交點記為M. (1)

10、當p＝1時，求橢圓C2的標準方程； (2)在(1)的條件下，若直線l經過橢圓C2的右焦點F2，且與拋物線C1相交于A，B兩點，若弦長|AB|等于△MF1F2的周長，求直線l的方程． 解：(1)設橢圓方程為＋＝1(a>b>0)， 由已知得＝，① c＝1，② ∴a＝2，c＝1，b＝， ∴橢圓方程為＋＝1. (2)①若直線l的斜率不存在， 則l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)， ∴|AB|＝4. 又∵△MF1F2的周長等于 |MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6≠|AB|. ∴直線l的斜率必存在． ②設直線l的斜率為k，則l：y＝k(x－1)， 由，得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， ∵直線l與拋物線C1有兩個交點A，B， ∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4 ＝16k2＋16>0，且k≠0 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則可得x1＋x2＝，x1x2＝1. 于是|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝ ＝＝， ∵△MF1F2的周長等于 |MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6， ∴由＝6，解得k＝. 故所求直線l的方程為y＝(x－1)．